Taylorreihe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Do 24.01.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Sei f:(0,2) [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{x^{2}-2x}
[/mm]
i. Berechnen Sie die Taylorreihe der Funktion von f im Entwicklungspunkt 1.
ii. ...
iii. ... |
N'Abend Leute,
ich brauche Hilfe! Ich komme einfach nicht auf die Bildungsvorschrift!
Habe bisher die ersten drei Ableitungen gebildet und ihren Funktionswert am Entwicklungspunkt 1 berechnet.
[mm] f(x)=\bruch{1}{x^{2}-2x} [/mm] f(1)=-1
[mm] f'(x)=\bruch{(2-2x)}{(x^{2}-2x)^{2}} [/mm] f'(1)=0
[mm] f''(x)=-2*\bruch{(2-2x)(2x-2)}{(x^{2}-2x)^{3}}-2* \bruch{1}{(x^{2}-2x)^{2}} [/mm] f''(1)=-10
[mm] f'''(x)=6*\bruch{(2-2x)(2x-2)^{2}}{(x^{2}-2x)^{4}}+8*\bruch{(2x-2)}{(x^{2}-2x)^{3}}-4*\bruch{(2-2x)}{(x^{2}-2x)^{3}}
[/mm]
So ... und nun hänge ich... weiß wirklich nicht wie ich auf die Bildungsvorschrift komme... und versuche es schon ne Weile.
Kann jemand helfen, bitte??
Silfde
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Hallo silfide,
> Sei f:(0,2) [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{1}{x^{2}-2x}[/mm]
> i.
> Berechnen Sie die Taylorreihe der Funktion von f im
> Entwicklungspunkt 1.
> ii. ...
> iii. ...
> N'Abend Leute,
>
> ich brauche Hilfe! Ich komme einfach nicht auf die
> Bildungsvorschrift!
>
> Habe bisher die ersten drei Ableitungen gebildet und ihren
> Funktionswert am Entwicklungspunkt 1 berechnet.
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x^{2}-2x}[/mm] f(1)=-1
> [mm]f'(x)=\bruch{(2-2x)}{(x^{2}-2x)^{2}}[/mm] f'(1)=0
> [mm]f''(x)=-2*\bruch{(2-2x)(2x-2)}{(x^{2}-2x)^{3}}-2* \bruch{1}{(x^{2}-2x)^{2}}[/mm]
> f''(1)=-10
>
> [mm]f'''(x)=6*\bruch{(2-2x)(2x-2)^{2}}{(x^{2}-2x)^{4}}+8*\bruch{(2x-2)}{(x^{2}-2x)^{3}}-4*\bruch{(2-2x)}{(x^{2}-2x)^{3}}[/mm]
>
>
> So ... und nun hänge ich... weiß wirklich nicht wie ich
> auf die Bildungsvorschrift komme... und versuche es schon
> ne Weile.
>
> Kann jemand helfen, bitte??
>
Führe zunächst eine Partialbruchzerlegung durch,
und entwickle dann diese Partialbrüche in eine
geometrische Reihe.
>
> Silfde
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Do 24.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Mathepower,
danke für den Tipp. Ich versuchs mal und melde mich später nochmal.
silfide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Sa 26.01.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | | ii. Zeigen Sie, dass für alle 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < 1 die Taylorreihe von f auf [mm] [\varepsilon, [/mm] 2- [mm] \varepsilon] [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert. Tipp geometrische Reihe! |
Hallo Leute,
mühesam ernährt sich das Eichhörnchen.
Habe jetzt:
[mm] f^{n}(x)= (-1)^{n} \bruch{n!}{2(-2+x)^{n+1}}+(-1)^{n-1} \bruch{n!}{2x^{n+1}}
[/mm]
rausbekommen und mit Induktion bewiesen und bin durch einsetzten und umformen auf die Taylorreihe (Entwicklungspunkt a=1) gekommen:
[mm] T_{f}(x)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(1+(-1)^{n})(n!)^{2}}{-2}(x-1)^n
[/mm]
Soweit so gut... nun hänge ich wieder ... und dachte mir das ich den Hauptsatz zu Potenzreihen anwenden kann ( Falls [mm] lim(\wurzel[n]{|a_{k}|} [/mm] =: r [mm] \in [0,\infty] [/mm] exsistiert, so konvergiert die Potzenzreihe absolut und gleichmäßig auf jeden Intervall [a-p,a+p] mit p<r.
Aber das funktioniert nicht! (wegen den zu betrachtenden Intervall, dem Entwicklungspunkt und dem Limes (der ist gleich 0))
Kann jemand Hilfestellung leisten??
Silfide
P.S. Ich denke das ich folgendes anwenden muss, weiß aber nicht wie:
Gleichmäßige Konvergenz heißt, dass zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] n_{0} [/mm] exsistert mit der Eigenschaft dass für alle [mm] n\gen_{0}
[/mm]
[mm] |f(t)-\summe_{k=0}^{n} c_{k}(t-a)^{k}|< \varepsilon [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] [a-p,a+p]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 So 27.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> ii. Zeigen Sie, dass für alle 0 < [mm]\varepsilon[/mm] < 1 die
> Taylorreihe von f auf [mm][\varepsilon,[/mm] 2- [mm]\varepsilon][/mm]
> gleichmäßig gegen f konvergiert. Tipp geometrische
> Reihe!
>
>
> Hallo Leute,
>
> mühesam ernährt sich das Eichhörnchen.
>
> Habe jetzt:
> [mm]f^{n}(x)= (-1)^{n} \bruch{n!}{2(-2+x)^{n+1}}+(-1)^{n-1} \bruch{n!}{2x^{n+1}}[/mm]
>
> rausbekommen und mit Induktion bewiesen und bin durch
> einsetzten und umformen auf die Taylorreihe
> (Entwicklungspunkt a=1) gekommen:
>
>
> [mm]T_{f}(x)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(1+(-1)^{n})(n!)^{2}}{-2}(x-1)^n[/mm]
Hallo Silfide,
die Formel für die Glieder der Taylorreihe lautet [mm] $a_n={f^{(n)}(1) \over n!}\,.$ [/mm] Damit kürzt sich das $n!$ weg.
>
> Soweit so gut... nun hänge ich wieder ... und dachte mir
> das ich den Hauptsatz zu Potenzreihen anwenden kann ( Falls
> [mm]lim(\wurzel[n]{|a_{k}|}[/mm] =: r [mm]\in [0,\infty][/mm] exsistiert, so
> konvergiert die Potzenzreihe absolut und gleichmäßig auf
> jeden Intervall [a-p,a+p] mit p<r.
Das ist falsch! Einmal muß der Limes nicht existieren. Und tut er in unserem Fall auch nicht, da die [mm] $a_n$ [/mm] abwechselnd 0 und 1 sind. Zum anderen ist der Konvergenzradius der Kehrwert (!) von:
[mm] $\limsup \root [/mm] n [mm] \of {|a_n|}\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 So 27.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
du hast natürlich Recht.
Die Taylorreihe lautet:
[mm] T_{f}(x)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(1+(-1)^{n})}{-2}(x-1)^n
[/mm]
hat beim Auflösen ein Fehler drin.
Allerdings weiß ich immer noch nicht, wie ich mit der Aufgabe umgehen soll. Bisher haben wir nur auf glm. Konvergenz von Funktionsfolgen untersucht.
Addaptiere ich das, bekomme ich:
[mm] |f(x)-s_{n}(x)=|\bruch{1}{(x^{2}-2x)}-\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(1+(-1)^{n})}{-2}|
[/mm]
Versuche gerade beide Terme zusammenzufassen und dann ne Abschaetzung durchzuführen...
Komme aber nicht weiter.
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 27.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> du hast natürlich Recht.
>
> Die Taylorreihe lautet:
>
>
> [mm]T_{f}(x)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(1+(-1)^{n})}{-2}(x-1)^n[/mm]
>
> hat beim Auflösen ein Fehler drin.
>
> Allerdings weiß ich immer noch nicht, wie ich mit der
> Aufgabe umgehen soll. Bisher haben wir nur auf glm.
> Konvergenz von Funktionsfolgen untersucht.
>
> Addaptiere ich das, bekomme ich:
>
> [mm]|f(x)-s_{n}(x)=|\bruch{1}{(x^{2}-2x)}-\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(1+(-1)^{n})}{-2}|[/mm]
>
> Versuche gerade beide Terme zusammenzufassen und dann ne
> Abschaetzung durchzuführen...
>
> Komme aber nicht weiter.
>
Hallo Mia,
Du darfst hier ruhig Sätze benutzen, um die gleichmäßige Konvergenz nachzuweisen. Dazu sind sie da.
Wir haben es hier mit einer Potenzreihe zu tun, und wir wissen, daß eine Potenzreihe auf jedem kompakten Teilintervall des Konvergenzintervalls gleichmäßig konvergiert.
Wie groß ist der Konvergenzradius?
Wie sieht das Konvergenzintervall aus?
Wenn Du das hast, kannst Du zeigen, daß für jedes [mm] $\epsilon,\;0<\epsilon [/mm] < 1,$ das Intervall [mm] $[\epsilon; 2-\epsilon]$ [/mm] im Konvergenzintervall enthalten ist.
Fertig!
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mo 28.01.2013 | | Autor: | silfide |
Danke Helbig,
Der Konvergenzradius ist 1 und das Konvergenzintervall ist [0,2]
Und [e,2-e] [mm] \subset [/mm] [0,2], weil e>0.
Mia
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