Taylorreihe, Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{1 - x} [/mm] um den Punkt [mm] x_{0} [/mm] = 2 in der Form [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \alpha_{k}(x [/mm] - [mm] x_{0})^{k}, [/mm] und ihren Konvergenzradius. Konvergiert die Taylorreihe gegen f? Wenn ja, auf welchem Intervall? |
f(x) = [mm] \bruch{1}{1 - x} [/mm] = (1 - [mm] x)^{-1}, x_{0} [/mm] = 2
f'(x) = (1 - [mm] x)^{-2}
[/mm]
f''(x) = 2(1 - [mm] x)^{-2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(1 - x)^3}
[/mm]
f'''(x) = 6(1 - [mm] x)^{-3} [/mm] = [mm] \bruch{6}{(1 - x)^4}
[/mm]
f''''(x) = 24(1 - [mm] x)^{-4} [/mm] = [mm] \bruch{24}{(1 - x)^5}
[/mm]
[mm] P_{f}(x) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(a)}{n!} [/mm] (x - [mm] a)^{n}
[/mm]
[mm] P_{f}(2) [/mm] = f(2) + [mm] \bruch{f'(2)}{1}(x [/mm] - 2) + [mm] \bruch{f''(2)}{2}(x [/mm] - [mm] 2)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{f'''(2)}{6}(x [/mm] - [mm] 2)^{3} [/mm] + ... = -1 + (x - 2) - (x - [mm] 2)^2 [/mm] + (x - [mm] 2)^3 [/mm] - (x - [mm] 2)^4 [/mm] + ...
[mm] \summe_{k = 0}^{\infty} (-1)^{k+1}(x [/mm] - [mm] x_{0})^{k}
[/mm]
Ich ersetze z = x - 2 und berechne den Konvergenzradius (oder ich versuch es zumindest, bin mir da unsicher):
|z| < [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^{k + 1} * z^{k}}{(-1)^{k + 2} * z^{k +1}}| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] z = z
|z| = z
|x - 2| = x - 2
|x - 2| = x - 2, für x >= 2
|x - 2| = -(x - 2), für x < 2
x - 2 = x - 2
x = x
[mm] L_{1} [/mm] = [mm] \{ x | x >= 2 \}
[/mm]
x - 2 = -(x - 2)
-x - 2 = x - 2
-x = x
[mm] L_{2} [/mm] = [mm] \{ 0 \}
[/mm]
Gesamtlösung für Konvergenzradius: L = [mm] L_{1} \cup L_{2}
[/mm]
Wo hab ich hier meine Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mi 01.09.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> |z| < [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^{k + 1} * z^{k}}{(-1)^{k + 2} * z^{k +1}}|[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] z = z
Diese Zeile müßte dir doch sehr zu denken geben, da steht ja letztendlich |z| < z ... Was sind denn die [mm] a_i?
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n + 1}} [/mm] | = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{(-1)^{k + 1}}{(-1)^{k + 2}} [/mm] | = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] -1 = -1
|z| < -1
|x - 2| < -1
Lösungsmenge ist die leere Menge, denn ein Betrag kann nicht kleiner als 0 sein.
Stimmt das jetzt so ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mi 01.09.2010 | | Autor: | statler |
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{a_{n}}{a_{n + 1}}[/mm] | =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{(-1)^{k + 1}}{(-1)^{k + 2}}[/mm]
> | = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] -1 = -1
Ich bitte erneut um einen ganz genauen Blick auf diese Zeile.
> Stimmt das jetzt so ?
Leider nee.
Gruß Dieter
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Achsoooo, ich hab die Betragsstriche vergessen, stimmts?
Dann ist der Limes natürlich 1.
|z| < 1
|x - 2| < 1
x - 2 < 1, für x >= 2
x < 3 => [mm] L_{1} [/mm] = [mm] \{ x | 2 <= x < 3 \}
[/mm]
-(x - 2) < 1 |*(-1)
x - 2 > -1
x > 1, für x < 2 => [mm] L_{2} [/mm] = [mm] \{ x | 1 < x < 2 \}
[/mm]
[mm] \IL [/mm] = [mm] L_{1} \cop L_{2} [/mm] = [mm] \{ x | 1 < x < 3 \}
[/mm]
Jetzt stimmts aber hoffentlich oder?
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Hallo john_rambo,
> Achsoooo, ich hab die Betragsstriche vergessen, stimmts?
So isses.
>
> Dann ist der Limes natürlich 1.
>
> |z| < 1
>
> |x - 2| < 1
>
> x - 2 < 1, für x >= 2
>
> x < 3 => [mm]L_{1}[/mm] = [mm]\{ x | 2 <= x < 3 \}[/mm]
>
> -(x - 2) < 1 |*(-1)
>
> x - 2 > -1
>
> x > 1, für x < 2 => [mm]L_{2}[/mm] = [mm]\{ x | 1 < x < 2 \}[/mm]
>
> [mm]\IL[/mm] = [mm]L_{1} \cop L_{2}[/mm] = [mm]\{ x | 1 < x < 3 \}[/mm]
>
> Jetzt stimmts aber hoffentlich oder?
>
Ja, jetzt stimmts. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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