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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die nachfolgende Funktion die Taylor-Reihe und ihren Konvergenzradius (a [mm] \in \IR [/mm] konstant)
f(x) = [mm] \frac{e^{ax}}{1+\frac{x}{2}} [/mm] |
Guten Morgen zusammen,
schon wieder ich und ein Reihen Problem :)
Ich bin mir unsicher wie ich vorgehen muss.
Mein erster Gedanke war, ableiten und dann Entwicklungspunkt einsetzen um zu sehen wie sich die Reihe entwickelt und dann auf die Taylorreihe zu schließen, aber ich hab ja gar keinen Entwicklungspunkt.
Gut, neuer Gedanke gesucht: die Taylorreihe für [mm] e^x [/mm] einsetzen unter beachtng von a natürlich.
Das würde dann ergeben:
[mm] e^{ax} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{a^k*x^k}{k!}
[/mm]
Aber was mach ich dann?
Vorgehen für Konvergenzradius ist mir bekannt, mir gehts hier jetzt hauptsächlich erst mal darum die Taylorreihe zu bestimmen.
Liebe Grüße
miilkyway
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Mi 23.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie für die nachfolgende Funktion die
> Taylor-Reihe und ihren Konvergenzradius (a [mm]\in \IR[/mm]
> konstant)
>
> f(x) = [mm]\frac{e^{ax}}{1+\frac{x}{2}}[/mm]
> Guten Morgen zusammen,
>
> schon wieder ich und ein Reihen Problem :)
>
> Ich bin mir unsicher wie ich vorgehen muss.
>
> Mein erster Gedanke war, ableiten und dann
> Entwicklungspunkt einsetzen um zu sehen wie sich die Reihe
> entwickelt und dann auf die Taylorreihe zu schließen, aber
> ich hab ja gar keinen Entwicklungspunkt.
> Gut, neuer Gedanke gesucht: die Taylorreihe für [mm]e^x[/mm]
> einsetzen unter beachtng von a natürlich.
>
> Das würde dann ergeben:
>
> [mm]e^{ax}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \frac{a^k*x^k}{k!}[/mm]
>
> Aber was mach ich dann?
>
> Vorgehen für Konvergenzradius ist mir bekannt, mir gehts
> hier jetzt hauptsächlich erst mal darum die Taylorreihe zu
> bestimmen.
Schreibe [mm] \bruch{1}{1+\bruch{x}{2}} [/mm] als geometrische Reihe und berechne mit dieser Reihe und [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{a^k*x^k}{k!} [/mm] das Cauchyprodukt.
FRED
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> Liebe Grüße
> miilkyway
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Mi 23.01.2013 | | Autor: | miilkyway |
Oh man eigentlich gar nicht so schwer, ich erkenn bloß immer nicht was ich machen muss!!
Danke für den Tipp, werd ich dann gleich mal berechnen!
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Ok, den Anfang bekomm ich hin, aber dann hackt es beim Cauchy Produkt wieder etwas
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{a^k*x^k}{k!}*\summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{2^k} [/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} \frac{a^j*x^j}{j!}*\frac{x^{k-j}}{2^{k-j}}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} \frac{a^j*x^k}{j!*2^{k-j}}
[/mm]
an dieser Stelle hab ich meistens meine Schwierigkeiten, weil ich dann immer nicht weiß wie es weiter geht.
Ich probier jetzt mal weiter so wie ich denk, aber bin mir absolut unsicher ob das so richtig ist
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \summe_{j=0}^{k} \frac{k!}{j!*2^{k-j}}*a^j*x^k
[/mm]
und ab dann weiß ich aber wirklich gar nicht mehr weiter!
Stimmt das was ich bisher gemacht hab überhaupt?
Wie mache ich denn dann weiter?
LG
miilkyway
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Hallo miilkyway,
> Ok, den Anfang bekomm ich hin, aber dann hackt es beim
> Cauchy Produkt wieder etwas
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \frac{a^k*x^k}{k!}*\summe_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{2^k}[/mm]
Die hintere Reihe muss doch [mm] $\sum\limits_{k\ge 0}\left(\red -\frac{x}{2}\right)^k$ [/mm] sein, also in der Summe etwa [mm] $\frac{x^k}{(-2)^k}$
[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} \frac{a^j*x^j}{j!}*\frac{x^{k-j}}{2^{k-j}}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} \frac{a^j*x^k}{j!*2^{k-j}}[/mm]
>
> an dieser Stelle hab ich meistens meine Schwierigkeiten,
> weil ich dann immer nicht weiß wie es weiter geht.
>
> Ich probier jetzt mal weiter so wie ich denk, aber bin mir
> absolut unsicher ob das so richtig ist
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \summe_{j=0}^{k} \frac{k!}{j!*2^{k-j}}*a^j*x^k[/mm]
Das ist sehr gut, schreibe nur statt der 2 eine -2
Nun, das [mm] $x^k$ [/mm] hängt nicht von j ab, das kannst du auch rausziehen, das [mm] $\frac{1}{(-2)^{k-j}}$ [/mm] kannst du schreiben als [mm] $\frac{(-2)^j}{(-2)^k}$.
[/mm]
Da kannst du [mm] $\frac{1}{(-2)^k}$ [/mm] auch noch rausziehen ...
>
> und ab dann weiß ich aber wirklich gar nicht mehr weiter!
>
> Stimmt das was ich bisher gemacht hab überhaupt?
> Wie mache ich denn dann weiter?
>
>
> LG
> miilkyway
Gruß
schachuzipus
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> >
> > = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \summe_{j=0}^{k} \frac{k!}{j!*2^{k-j}}*a^j*x^k[/mm]
>
> Das ist sehr gut, schreibe nur statt der 2 eine -2
oh ja klar, dummer Leichtsinnsfehler!
>
> Nun, das [mm]x^k[/mm] hängt nicht von j ab, das kannst du auch
> rausziehen, das [mm]\frac{1}{(-2)^{k-j}}[/mm] kannst du schreiben
> als [mm]\frac{(-2)^j}{(-2)^k}[/mm].
>
> Da kannst du [mm]\frac{1}{(-2)^k}[/mm] auch noch rausziehen ...
ok, also dann bekomm ich:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}*x^k\summe_{j=0}^{k} \frac{k!}{j!}*\frac{(-2)^j}{(-2)^k}*a^j*
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^k*\frac{1}{k!}*\frac{1}{(-2)^k}*\summe_{j=0}^{k}\frac{k!}{j!}*(-2)^j*a^j
[/mm]
ich bin mir jetzt nicht sicher, aber ich hab ne aufgabe, auch cauchy produkt, da wird dann an der Stelle (also nachdem so aufgeteilt wurde das man alles was nicht von j abhängt rauszieht) alles mit "j" verschwindet (?)
Kann das sein? Oder was passiert jetzt? :)
LG
miilkyway
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 26.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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