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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mi 08.09.2010 | | Autor: | hennes82 |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion [mm] y=\bruch{1}{x-3} [/mm] in der Umgebung des Punktes x=0 in eine Taylorreihe und geben Sie den Konvergenzbereich an. |
Ich habe zunächst die Ableitungen bis zur 4.Ordnung bestimmt.
Also [mm] y'=-\bruch{1}{(x-3)^{2}}
[/mm]
[mm] y''=\bruch{2}{(x-3)^{3}}
[/mm]
[mm] y'''=-\bruch{6}{(x-3)^{4}}
[/mm]
[mm] y^{(4)}=\bruch{24}{(x-3)^{5}}
[/mm]
Für x=0 ergeben sich folgende Werte:
[mm] y(0)=-\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] y'(0)=-\bruch{1}{9}
[/mm]
[mm] y''(0)=-\bruch{2}{27}
[/mm]
[mm] y'''(0)=-\bruch{6}{81}
[/mm]
[mm] y^{(4)}(0)=-\bruch{24}{243}
[/mm]
Für die Taylorreihe um das Entwicklungszentrum [mm] x_0=0 [/mm] ergibt sich:
[mm] y(x)=\bruch{1}{x-3}=y(0)+\bruch{y'(0)}{1!}(x-x_0)^1+\bruch{y''(0)}{2!}(x-x_0)^2+\bruch{y'''(0)}{3!}(x-x_0)^3+\bruch{y^{(4)}(0)}{4!}(x-x_0)^4+...
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{9}x-\bruch{1}{27}x^2-\bruch{1}{81}x^3-\bruch{1}{243}x^4+...
[/mm]
Ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Meine Idee war ein Bildungsgesetz dieser Reihe zu finden.
Das wäre dann [mm] y=\summe_{n=1}^{n}-\bruch{1}{3^n}x^{n-1}
[/mm]
Aber was mach ich dann damit?
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Hallo hennes82,
> Entwickeln Sie die Funktion [mm]y=\bruch{1}{x-3}[/mm] in der
> Umgebung des Punktes x=0 in eine Taylorreihe und geben Sie
> den Konvergenzbereich an.
> Ich habe zunächst die Ableitungen bis zur 4.Ordnung
> bestimmt.
>
> Also [mm]y'=-\bruch{1}{(x-3)^{2}}[/mm]
> [mm]y''=\bruch{2}{(x-3)^{3}}[/mm]
> [mm]y'''=-\bruch{6}{(x-3)^{4}}[/mm]
> [mm]y^{(4)}=\bruch{24}{(x-3)^{5}}[/mm]
>
> Für x=0 ergeben sich folgende Werte:
> [mm]y(0)=-\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]y'(0)=-\bruch{1}{9}[/mm]
> [mm]y''(0)=-\bruch{2}{27}[/mm]
> [mm]y'''(0)=-\bruch{6}{81}[/mm]
> [mm]y^{(4)}(0)=-\bruch{24}{243}[/mm]
>
> Für die Taylorreihe um das Entwicklungszentrum [mm]x_0=0[/mm]
> ergibt sich:
>
> [mm]y(x)=\bruch{1}{x-3}=y(0)+\bruch{y'(0)}{1!}(x-x_0)^1+\bruch{y''(0)}{2!}(x-x_0)^2+\bruch{y'''(0)}{3!}(x-x_0)^3+\bruch{y^{(4)}(0)}{4!}(x-x_0)^4+...[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{9}x-\bruch{1}{27}x^2-\bruch{1}{81}x^3-\bruch{1}{243}x^4+...[/mm]
>
> Ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Meine Idee war ein
> Bildungsgesetz dieser Reihe zu finden.
>
> Das wäre dann [mm]y=\summe_{n=1}^{n}-\bruch{1}{3^n}x^{n-1}[/mm] (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") )
Beachte, dass die obere Grenze nicht $n$ sondern [mm] $\infty$ [/mm] lauten muss!
bzw. [mm]-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^{n+1}}\cdot{}x^n[/mm]
>
> Aber was mach ich dann damit?
Den Konvergenzradius bestimmen (Cauchy-Hadamard)
Eine schöne und schnelle Alternative hätte ich anzubieten, die allerlei Arbeit erspart und in Klausuren wertvolle Zeit spart.
Denke an die geometrische Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n[/mm], die für [mm]|x|<1[/mm] gegen [mm]\frac{1}{1-x}[/mm] konvergiert.
Du hast [mm]\frac{1}{x-3}=-\frac{1}{3}\cdot{}\red{\frac{1}{1-\frac{x}{3}}}[/mm]
Und siehe da: das ist (geometrische Reihe s. oben) [mm]=-\frac{1}{3}\cdot{}\red{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{3}\right)^n}[/mm]
Den Konvergenzradius bekommst du auf diese Weise direkt mit geschenkt ...
Noch eine kleine Umformung und die Reihe hat genau die Gestalt deines Ergebnisses (oder meiner Version davon)
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mi 08.09.2010 | | Autor: | hennes82 |
Hab nochmal weiter gerechnet.
Es gilt ja [mm] y=\summe_{n=1}^{n}-\bruch{1}{3^n}x^{n-1}=\summe_{n=0}^{n}-\bruch{1}{3^{n+1}}x^n
[/mm]
Das heißt, für [mm] a_n [/mm] gilt:
[mm] a_n=-\bruch{1}{3^{n+1}}
[/mm]
Für den Konvergenzradius r gilt:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=|\bruch{-\bruch{1}{3^{n+1}}}{-\bruch{1}{3^{n+2}}}|=|-\bruch{1}{3^{n+1}}(-\bruch{3^{n+2}}{1})|=|\bruch{3^{n+2}}{3^{n+1}}|=|3|.
[/mm]
Also gilt für den Konvergenzbereich -3<x<3.
Richtig?
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Hallo hennes!
> Es gilt ja [mm]y=\summe_{n=1}^{n}-\bruch{1}{3^n}x^{n-1}=\summe_{n=0}^{n}-\bruch{1}{3^{n+1}}x^n[/mm]
Wie oben bereits geschrieben wurde: die obere Summengrenze muss [mm]\infty[/mm] lauten und nicht [mm]n_[/mm] !
> Das heißt, für [mm]a_n[/mm] gilt: [mm]a_n=-\bruch{1}{3^{n+1}}[/mm]
> Für den Konvergenzradius r gilt:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=|\bruch{-\bruch{1}{3^{n+1}}}{-\bruch{1}{3^{n+2}}}|=|-\bruch{1}{3^{n+1}}(-\bruch{3^{n+2}}{1})|=|\bruch{3^{n+2}}{3^{n+1}}|=|3|.[/mm]
> Also gilt für den Konvergenzbereich -3<x><3.
> Richtig?
Du musst die beiden Fälle [mm]x_1 \ = \ -3[/mm] bzw. [mm]x_2 \ = \ +3[/mm] noch separat untersuchen.
Gruß vom
Roadrunner
</x>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mi 08.09.2010 | | Autor: | hennes82 |
Ok.
Vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo,
> Du musst die beiden Fälle [mm]x_1 \ = \ -3[/mm] bzw. [mm]x_2 \ = \ +3[/mm]
> noch separat untersuchen.
Das könnte sich der Fragesteller ebenfalls sparen, wenn er den Ansatz mit der geometrischen Reihe verfolgte ...
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
>
LG
schachuzipus
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