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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Zeige, dass das Einfache-Runge-Kutta-Verfahren
[mm] \eta_{k+1}=\eta_k+h*\frac{1}{6}*(k_1+4*k_2+k_3)
[/mm]
mit
[mm] k_1 [/mm] = f(t, [mm] \eta_k)
[/mm]
[mm] k_2 [/mm] = [mm] f(t+\frac{h}{2}, \eta_k [/mm] + [mm] \frac{h}{2}k_1)
[/mm]
[mm] k_3 [/mm] = f(t +h, [mm] \eta_k [/mm] + [mm] h(-k_1 [/mm] + [mm] 2k_2)
[/mm]
ein Einschrittverfahren dritter Ordnung ist. |
Um die Ordnung eines Einschrittverfahrens zu ermitteln betrachte ich den Konsistenzfehler [mm] \tau(h; [/mm] t, y(t), f) := [mm] \frac{1}{h}*(y(t+h) -y(t)-h*\Phi(h;t,y(t),f)
[/mm]
Um hier zu ermitteln wie groß dei Ordnug des Fehlers ist muss ich die die gegebenen Funktionen y(t+h) und [mm] \Phi [/mm] Taylor-Entwickeln
y(t+h) = y(t) + h*y'(t) + [mm] \frac{h^2}{2}*y''(t) [/mm] + [mm] O(h^3)
[/mm]
= y(t) + h* f(t, y(t)) + [mm] \frac{h^2}{2}*(f_t [/mm] + [mm] f_y*f)(t,y(t))
[/mm]
Beim Runge Kutta Verfahren betrachte ich die einzelnen [mm] k_i [/mm] erst einmal getrennt:
[mm] k_1 [/mm] = f(t, y(t)) = ...
hier beginnen jetzt meine Probleme was Taylorentwickle ich hier wie?
Ich wäre Dankbar wenn mir hier jmd weiterhelfen könnte.
Danke und Gruß
Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zerwas,
> Zeige, dass das Einfache-Runge-Kutta-Verfahren
> [mm]\eta_{k+1}=\eta_k+h*\frac{1}{6}*(k_1+4*k_2+k_3)[/mm]
> mit
> [mm]k_1[/mm] = f(t, [mm]\eta_k)[/mm]
> [mm]k_2[/mm] = [mm]f(t+\frac{h}{2}, \eta_k[/mm] + [mm]\frac{h}{2}k_1)[/mm]
> [mm]k_3[/mm] = f(t +h, [mm]\eta_k[/mm] + [mm]h(-k_1[/mm] + [mm]2k_2)[/mm]
> ein Einschrittverfahren dritter Ordnung ist.
> Um die Ordnung eines Einschrittverfahrens zu ermitteln
> betrachte ich den Konsistenzfehler [mm]\tau(h;[/mm] t, y(t), f) :=
> [mm]\frac{1}{h}*(y(t+h) -y(t)-h*\Phi(h;t,y(t),f)[/mm]
>
> Um hier zu ermitteln wie groß dei Ordnug des Fehlers ist
> muss ich die die gegebenen Funktionen y(t+h) und [mm]\Phi[/mm]
> Taylor-Entwickeln
>
> y(t+h) = y(t) + h*y'(t) + [mm]\frac{h^2}{2}*y''(t)[/mm] + [mm]O(h^3)[/mm]
> = y(t) + h* f(t, y(t)) + [mm]\frac{h^2}{2}*(f_t[/mm] +
> [mm]f_y*f)(t,y(t))[/mm]
>
> Beim Runge Kutta Verfahren betrachte ich die einzelnen [mm]k_i[/mm]
> erst einmal getrennt:
> [mm]k_1[/mm] = f(t, y(t)) = ...
> hier beginnen jetzt meine Probleme was Taylorentwickle ich
> hier wie?
Zunächst einmal gibt es bei [mm]k_{1}[/mm] nichts zu entwickeln.
Erst [mm]k_{2}[/mm] mußt Du in eine Taylorreihe um [mm]\left(t,\eta_{k}\right)[/mm] entwickeln.
>
> Ich wäre Dankbar wenn mir hier jmd weiterhelfen könnte.
>
> Danke und Gruß
> Zerwas
>
> Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Zerwas |
Okay danke erstmal.
Aber die wahrscheinlich dumme Frage: Warum ist bei [mm] k_1 [/mm] nichts zu entwickeln?
Und wie entwickle ich dann [mm] k_2 [/mm] und [mm] k_3 [/mm] um (t, [mm] \eta_k) [/mm] ?
Entwickle ich nicht eigentlich um [mm] (t+\frac{h}{2}, \eta_k [/mm] + [mm] \frac{h}{2}f(t,\eta_k) [/mm] ? oder verdrehe ich hier was?
Dann bekomme ich ja:
$ [mm] k_2 [/mm] $ = $ [mm] f(t+\frac{h}{2}, \eta_k [/mm] $ + $ [mm] \frac{h}{2}*f(t,\eta_k)) [/mm] $
= [mm] f(t,\eta_k) [/mm] + [mm] \frac{h}{2}*(f_t [/mm] + [mm] f_y*f) [/mm] + [mm] \frac{h^2}{8}*(f_{tt} [/mm] + [mm] 2*f_{ty}f [/mm] + [mm] f_{yy}*f^2) [/mm] + [mm] \frac{h^3}{48}*(f_{ttt} [/mm] + [mm] 3*f_{tty}f [/mm] + [mm] 3*f_{tyy}f^2 [/mm] + [mm] f_{yyy}f^3)
[/mm]
und eben noch länger bei [mm] k_3
[/mm]
Passt das so?
Danke und Gruß Zerwas
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Hallo Zerwas,
> Okay danke erstmal.
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> Aber die wahrscheinlich dumme Frage: Warum ist bei [mm]k_1[/mm]
> nichts zu entwickeln?
Weil Du Dich hier um keinen konkreten Punkt entwickeln kannst.
>
> Und wie entwickle ich dann [mm]k_2[/mm] und [mm]k_3[/mm] um (t, [mm]\eta_k)[/mm] ?
>
> Entwickle ich nicht eigentlich um [mm](t+\frac{h}{2}, \eta_k[/mm] +
> [mm]\frac{h}{2}f(t,\eta_k)[/mm] ? oder verdrehe ich hier was?
Da verdrehst Du was.
>
> Dann bekomme ich ja:
>
> [mm]k_2[/mm] = [mm]f(t+\frac{h}{2}, \eta_k[/mm] + [mm]\frac{h}{2}*f(t,\eta_k))[/mm]
>
> = [mm]f(t,\eta_k)[/mm] + [mm]\frac{h}{2}*(f_t[/mm] + [mm]f_y*f)[/mm] +
> [mm]\frac{h^2}{8}*(f_{tt}[/mm] + [mm]2*f_{ty}f[/mm] + [mm]f_{yy}*f^2)[/mm] +
> [mm]\frac{h^3}{48}*(f_{ttt}[/mm] + [mm]3*f_{tty}f[/mm] + [mm]3*f_{tyy}f^2[/mm] +
> [mm]f_{yyy}f^3)[/mm]
>
> und eben noch länger bei [mm]k_3[/mm]
>
> Passt das so?
Ja, das passt.
>
> Danke und Gruß Zerwas
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Zerwas |
Aber wieso habe ich dann [mm] \frac{h}{2} [/mm] statt nur h?
Genauer meine Taylorformel lautet ja:
f(t+h) = [mm] \sum_{k = 0}^\infty{\frac{h^k}{k!}*f^{(k)}(t)}
[/mm]
Wenn ich jetzt um [mm] (t,\eta_k) [/mm] entwickle sollte ich ja vor den jeweiligen Ableitungen einmal [mm] \frac{h^0}{1} [/mm] dann [mm] \frac{h^1}{1} [/mm] dann [mm] \frac{h^2}{2} [/mm] usw stehen haben.
Ich habe ja aber viel größere Were im Nenner nämlich [mm] \frac{\frac{h}{2}^k}{k!}
[/mm]
Wo kommen die dann her? ... Bzw. wo steh ich auf dem Schlauch?
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Hallo Zerwas,
> Aber wieso habe ich dann [mm]\frac{h}{2}[/mm] statt nur h?
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> Genauer meine Taylorformel lautet ja:
> f(t+h) = [mm]\sum_{k = 0}^\infty{\frac{h^k}{k!}*f^{(k)}(t)}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt um [mm](t,\eta_k)[/mm] entwickle sollte ich ja vor
> den jeweiligen Ableitungen einmal [mm]\frac{h^0}{1}[/mm] dann
> [mm]\frac{h^1}{1}[/mm] dann [mm]\frac{h^2}{2}[/mm] usw stehen haben.
>
> Ich habe ja aber viel größere Were im Nenner nämlich
> [mm]\frac{\frac{h}{2}^k}{k!}[/mm]
>
> Wo kommen die dann her? ... Bzw. wo steh ich auf dem
> Schlauch?
Hier entwicklest Du ja [mm]f\left(t+\bruch{h}{2}}\right)[/mm] in eine Taylorreihe:
[mm]f(t+\bruch{h}{2}) =\sum_{k = 0}^\infty{\frac{\left(h/2\right)^k}{k!}*f^{(k)}(t)}[/mm]
Gruß
MathePower
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