Taylorreihe und Konv.radius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum Entwicklungspunkt a=0.
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) [/mm] |
Hallo,
ich habe bereits die Aufgabe gelöst, doch weiß nicht, weshalb dort der Entwicklungspunkt gegeben ist. Ich habe [mm] e^{x} [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] durch den Summenausdruck ersetzt :
[mm] e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x{k}}{k!}
[/mm]
[mm] e^{-x}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{-x{k}}{k!}
[/mm]
Wenn ich alles in die Formel einsetze und den Fall k=2n ( also k ist gerade) betrachte, kann ich ja mit der Folge [mm] \bruch{1}{(2n)!} [/mm] den Konvergenzradius berechnen ( habe in diesem Fall [mm] r=\infty [/mm] raus.)
Doch wo benötige ich den Entwicklungspunkt? Bzw. wieso ist er angegeben? Kann mir das einer verraten?
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Hallo alfonso2020,
> Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum
> Entwicklungspunkt a=0.
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> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x})[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe bereits die Aufgabe gelöst, doch weiß nicht,
> weshalb dort der Entwicklungspunkt gegeben ist. Ich habe
> [mm]e^{x}[/mm] und [mm]e^{-x}[/mm] durch den Summenausdruck ersetzt :
>
> [mm]e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x{k}}{k!}[/mm]
>
> [mm]e^{-x}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{-x{k}}{k!}[/mm]
>
Besser so:
[mm]e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
[mm]e^{-x}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\left(-x\right)^{k}}{k!}[/mm]
> Wenn ich alles in die Formel einsetze und den Fall k=2n (
> also k ist gerade) betrachte, kann ich ja mit der Folge
> [mm]\bruch{1}{(2n)!}[/mm] den Konvergenzradius berechnen ( habe in
> diesem Fall [mm]r=\infty[/mm] raus.)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Doch wo benötige ich den Entwicklungspunkt? Bzw. wieso ist
> er angegeben? Kann mir das einer verraten?
Die Exponentialreihe, die Du benutzt hast,
ist hier eine Taylorreihe um den Entwicklungspunkt a=0.
[mm]e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\left(x-a\right)^{k}}{k!}[/mm]
Gruss
MathePower
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Sprich wenn ich den Entwicklungspunkt a=2 gegeben habe würde dort :
[mm] e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\left(x-2\right)^{k}}{k!} [/mm]
hinkommen?
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Hallo alfonso2020,
> Sprich wenn ich den Entwicklungspunkt a=2 gegeben habe
> würde dort :
>
> [mm]e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\left(x-2\right)^{k}}{k!}[/mm]
>
Das ist nicht ganz richtig.
Die Taylorreihe lautet dann:
[mm]e^{x}=\blue{e^{2}}\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\left(x-2\right)^{k}}{k!}[/mm]
> hinkommen?
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Mo 21.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sprich wenn ich den Entwicklungspunkt a=2 gegeben habe
> würde dort :
>
> [mm]e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\left(x-2\right)^{k}}{k!}[/mm]
>
> hinkommen?
Nein !
Es ist [mm]e^{Otto}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{Otto^{k}}{k!}[/mm]
Ist $Otto=x-2$, so haben wir
[mm]e^{x-2}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x-2)^{k}}{k!}[/mm]
FRED
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