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| Aufgabe | | Berechne sin(0.5) mit einem Fehler kleiner als [mm] 10^{-10} [/mm] |
Hallo miteinander!
Ich soll sin(0.5) approximieren und das mittels Taylor-Reihe oder/ und Restglied.
Ich bin noch sehr ungeschickt im Umgang mit Taylor-Reihen, also habe ich mir mal den ganzen Morgen Informationen dazu gesucht. Ich habe mal diese Aufgabe mit Mathematica mit der Sinus-Formel so ausgerechnet:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{0.5^(2n+1)}{(2n+1)!}- \summe_{n=0}^{m}(-1)^{n}*\bruch{0.5^(2n+1)}{(2n+1)!}<10^{-10}.
[/mm]
Das gilt ab n=4. Das ist aber sicherlich nicht der Sinn der Aufgabe, oder? Ich habe dann mal versucht die Taylorreihe von sin(0) und sin(0.5) zu bilden. sin(0) war einfach, aber bei sin(0.5), habe ich das folgende Problem:
f'(0.5)=cos(0.5)
f''(0.5)=-sin(0.5)
f"'(0.5)=-cos(0.5)
f""(0.5)=sin(0.5)
usw.
Das hilft mir aber keine Spur weiter, da ich ja die Werte von sin(0.5) und cos(0.5) ja nicht kenne. Ich suche sie ja!
Kann mir jemand eine Hilfe geben? Ich soll diese Aufgabe mit dem Restglied berechnen. Restglied= f(x)-Taylorformel.
Vielen Dank!!!
Euer,
Gork's!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mi 31.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du kannst die Lagrange Form des Restgliedes für Taylorreihen benutzen.
[mm] \br{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
[/mm]
a ist ein Wert zwischen x und [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_0 [/mm] ist der Entwicklungspunkt der Taylorreihe, hier ist [mm] x_0=0.
[/mm]
Im Restglied muss n so groß gewählt werden, das die geforderte Genauigkeit von [mm] 10^{-10} [/mm] erreicht wird.
Da alle Ableitungen von sin entweder wieder eine Sinus- oder Cosinusfunktion ergeben, kann der Term [mm] |f^{(n+1)}(a)| [/mm] mit 1 abgeschätzt werden.
Also ist nur noch [mm] |\br{1}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}| [/mm] zu betrachten
Macht man das, kommt man wie von Dir angegeben auf N=4.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Mi 31.01.2007 | | Autor: | GorkyPark |
Danke vielmals für die Antwort.
Ich hatte es gestern Nachmittag selber gelöst und hab vergessen die Frage auf dem Forum zu streichen. Ich bin nämlich genau auf den gleichen Lösungsweg gekommen wie du vorgeschlagen hast, war mir aber nicht sicher. :D
Jetzt habe ich die Bestätigung! Danke und tschüss!
GorkyPark
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