Taylorreihe und Restglied < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute! Hab folgende Aufgabe teilweise gelöst:
Bestimmen Sie das Taylorpolynom (2 Grades) von f(x)= [mm] \wurzel{1+x} [/mm] um x0= 0 ! Also muss ich die McLaurinreihe verwenden, stimmts?
Als ergebnis für die Reihe hab ich : 1+ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
Stimmt das so, oder hab ichs mir zu leicht gemacht?
Und jetzt ist noch nach dem Restlied gefragt. Ich hab zwar ne formel, aber ich weis nciht welche werte ich einsetzen muss. kommt da überhaupt ein Zahlenwert raus?
Außerdem soll ich hiermit " [mm] \wurzel{1,5}" [/mm] berechnen. und den Fehler abschätzen. weis aber nciht was damit gemeint sein soll.
mfg
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> Bestimmen Sie das Taylorpolynom (2 Grades) von f(x)=
> [mm]\wurzel{1+x}[/mm] um x0= 0 ! Also muss ich die McLaurinreihe
> verwenden, stimmts?
Ja, aber soweit ich weiß, ist die McLaurin-Reihe dasselbe wie ne Taylorreihe, nur mit Entwicklungspunkt [mm]x_0=0[/mm], oder? Also macht's ja keinen großen Unterschied, wie man's nennt 
> Als ergebnis für die Reihe hab ich : 1+ [mm]\bruch{1}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{8}
[/mm]
>
> Stimmt das so, oder hab ichs mir zu leicht gemacht?
Naja, das sind bis jetzt nur die Koeffizienten der Reihe. Du hast wahrscheinlich die Formel [mm]a_n=\bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!}[/mm] für [mm]n \in \IN_0[/mm] benutzt, oder? Soweit richtig, aber das Polynom lautet dann [mm]T_{n,x_0}=a_0 \cdot (x-x_0)^0 + a_1 \cdot (x-x_0)^1 + a_2 \cdot (x-x_0)^2[/mm].
Also in diesem Fall: [mm]T_{2,0}=1 + \bruch{1}{2}x - \bruch{1}{8} x^2[/mm].
> Und jetzt ist noch nach dem Restlied gefragt. Ich hab zwar
> ne formel, aber ich weis nciht welche werte ich einsetzen
> muss. kommt da überhaupt ein Zahlenwert raus?
Nö, keine Zahl, sondern auch ein Polynom. Ich kenne bei Taylorreihen zwei verschiedene Darstellungen des Restglieds. Einmal nach Cauchy (mit Integralen), einmal nach Lagrange.
Das Lagrange-Restglied berechnet sich nach der Formel:
[mm]R_{n,x_0}=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot (x-x_0)^{n+1}[/mm], wobei [mm]\xi[/mm] eine Zwischenstelle ist, die zwischen dem Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] und der Stelle [mm]x[/mm] liegt, an der das Polynom ausgewertet werden soll.
> Außerdem soll ich hiermit " [mm]\wurzel{1,5}"[/mm] berechnen. und
> den Fehler abschätzen. weis aber nciht was damit gemeint
> sein soll.
Naja, [mm]\wurzel{1,5}[/mm] ist doch nichts anderes als [mm]f(0,5)=\wurzel{1+0,5}[/mm].
Also sollst du diesen Wert [mm]x=0,5[/mm], an dem du das Polynom auswerten willst, in dein Taylorpolynom einsetzen.
Und die Fehlerabschätzung funktioniert dann mit dem Restglied: du musst schauen, wo der Betrag des Restglieds mit [mm]x_0=0[/mm] und [mm]x=0,5[/mm] und dem [mm]\xi \in [0;0,5][/mm] betragsmäßig maximal wird (betragsmäßig deswegen, weil die Abweichung in "beide Richtungen" möglich ist).
Also eigentlich nur eine Extremwertaufgabe für das [mm]\xi[/mm] in den Grenzen [mm][0;0,5][/mm] (Randwertbetrachtungen nicht vergessen).
Wenn's noch irgendwo nicht klappen sollte, einfach nachfragen.
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Hi.
Danke für deine Antwort!
Klar, dummer Fehler! hab die "x" und "x²" bei den Koeffizienten vergessen!
Das mit dem Restglied hab ich nicht so gut verstanden.
Ich habs nach dem Buch "Mathematik für Ingenieure" gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist das Richtig so? (Der Text im Bild stammt ebenfalls aus dem oben genn. Buch)
mfg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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> Ich habs nach dem Buch "Mathematik für Ingenieure"
> gemacht:
Das von Lothar Papula? Kenn ich, und find ich auch ziemlich gut.
Meine Notation stammt aus dem "Gelben Rechenbuch" von Peter Furlan.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ist das Richtig so? (Der Text im Bild stammt ebenfalls aus
> dem oben genn. Buch)
Hmmm, kann man für die meisten Fälle so stehenlassen.
Ist so: hier bei der Restgliedabschätzung wollen wir rausfinden, wo das Restglied zwischen dem Entwickl.pkt. [mm]x_0[/mm] und der auszuwertenden Stelle [mm]x[/mm] maximal wird (mein [mm]\xi[/mm] ist in deinem Buch einfach das [mm]x_m[/mm], sonst kein Unterschied). Da das Intervall für dieses [mm]x_m[/mm] meistens recht klein ist, ist es unwahrscheinlich, dass sich dort drin ein "richtiges Maximum" versteckt - da hol ich mal weiter aus:
wenn du eine auf einem Intervall [mm]I[/mm] stetige und differenzierbare Funktion hast, und du willst ihr Min/Max auf diesem Intervall wissen, dann nimmst du normalerweise zuerstmal die Ableitung der Funktion, setzt sie =0, und bekommst damit Kandidaten für Extremstellen (also alle Punkte, an denen man eine waagrechte Steigung der Kurve hat). Da wir hier am absoluten Maximum der Rest-Funktion interessiert sind, kann sich am Rand des Intervalls noch ein Funktionswert befinden, der kleiner ist als die Extremwert-Kandidaten (Randpunkte erfüllen meistens nicht diese [mm]f'(x)=0-[/mm]Bedingung, da dort die Steigung meistens nicht =0 ist, und können somit nur durch Einsetzen der Ränder gefunden werden).
Hier mal deine Restglied-Funktion im gewünschten Intervall:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du siehst, in diesem Intervall gibt's keinen "regulären" [mm]f'(x)=0-[/mm]Extrempunkt, und somit liegen Min & Max der Funktion auf dem Rand.
Was in deinem Buch gemeint ist: meistens ist das zu untersuchende Intervall so klein, dass sich keine Extrempunkte darin "verstecken", und somit das Maximum des Restglieds auf dem Rand liegt.
In Ausnahmefällen kann's aber natürlich vorkommen, dass die Restglied-Kurve z.B. so aussieht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
In diesem Fall wär das Maximum des Restglieds eben nicht am Rand, sondern zwischendrin.
Ist der Unterschied klar geworden?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo.
Vielen dank dass du dir soviel zeit für mein Problem nimmst!
Die Formeln hab ich nicht aus dem Papula, sondern aus "Mathematik für Ingenieure" vom Teubner Verlag Autoren: Brauch , Dreyer, Haacke
Mein 2."Lieblingsbuch" neben dem Papula ;)
Also ich glaub, ich weis jetzt, was Du mir sagen willst. Da wir Randwerte etc. (noch) nicht in Mathe durchgenommen haben, hab ich mich im netz ein bissl schlau gemacht. Ich verstehe jetzt im großen und ganzen deine Ausführungen. Deine Diagramme haben's plausibler gemacht!!
Ich hab jetzt das Restglied für x= 0 und einmal für x= 0,5 bestimmt.
Ich bekomm für x=0: 0,00781
für x=0,5: 0,0170
Kann das hinhauen? Sagt mir also das Ergebnis, dass der Fehler bzw. mein berechneter Wert des Taylorpolynoms für [mm] \wurzel{1,5} [/mm] um diese Werte schwanken kann?
Ich hoffe, dass ichs jetzt richtig hab.
Oh mann.. Ich schreib am Mittwoch Mathe und muss mir noch eigenwerte, Gaussverfahren usw. aneignen :(
viele grüße, Limschlimm
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> Ich hab jetzt das Restglied für x= 0 und einmal für x= 0,5
> bestimmt.
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> Ich bekomm für x=0: 0,00781
> für x=0,5: 0,0170
Mit dem Restglied [mm]R(x)=\bruch{1}{128 \cdot \wurzel{(1+x)^5}}[/mm] bekomm ich für [mm]x=0[/mm] dasselbe, aber für [mm]x=0,5[/mm] bekomm ich 0,00283505757.
Dass es ein kleinerer Wert ist als bei [mm]x=0[/mm], sollte aus der Zeichnung meiner letzten Antwort klar sein: das Maximum des Restglieds sollte am linken Rand des Intervalls liegen.
> Kann das hinhauen? Sagt mir also das Ergebnis, dass der
> Fehler bzw. mein berechneter Wert des Taylorpolynoms für
> [mm]\wurzel{1,5}[/mm] um diese Werte schwanken kann?
![[]](/images/popup.gif) Hier findest du einen ziemlich guten Link über Taylor & Restglied (den Link hat Stefan mal in einer seiner Antworten gesetzt).
Soweit ich das verstanden habe, ist das der Wert, um den dein Wert von [mm]f(0,5)[/mm] aus dem Taylor-Polynom maximal von richtigen Wert [mm]\wurzel{1,5}[/mm] abweichen kann.
> Ich hoffe, dass ichs jetzt richtig hab.
>
> Oh mann.. Ich schreib am Mittwoch Mathe und muss mir noch
> eigenwerte, Gaussverfahren usw. aneignen :(
Eigenwerte & ~vektoren berechnen ist ziemlich einfach, da wirst du hier im Forum einige durchgerechnete Aufgaben finden können.
Und das Gaußverfahren ist auch nicht schwer, wenn man die Treppenform verinnerlicht hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 So 30.01.2005 | | Autor: | Limschlimm |
Hallo.
Ja, du hast recht. Ich hab mich bei x= 0,5 verrechnet. Hab vergessen durch 3! zu teilen... ;)
Danke für alles!.. Jetzt kann ich wenigstens Taylorrheihen inkl. restglied (halbwegs gut) berechnen!
Muss noch ohne Ende üben! Hab netto noch einen Tag um mir Gauss alg. und eigenwerte etc. beizubringen :(. Muss noch für Physik am Dienstag lernen (optik, Wellenoptik, Atom-und Kernphysik)!
Wenn ich alle Klausuren bestehe (zum 1.mal) dann bekommst Du von mir 1.Flasche selbstgebrannten, griechischen ouzo ;))
Vielen Dank nochmal für deine Hilfe und den Link!
(scheint aber nicht zu gehen. ich guck mal ob ich per google drauf stoß)
viele Grüße, MQ
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 So 30.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
> Ja, du hast recht. Ich hab mich bei x= 0,5 verrechnet. Hab
> vergessen durch 3! zu teilen... ;)
Optimal, dann hat's ja geklappt.
> Danke für alles!.. Jetzt kann ich wenigstens Taylorrheihen
> inkl. restglied (halbwegs gut) berechnen!
Ist auch nicht sooo schwer. Man muss sich eigentlich nur die Formel für die Koeffizienten merken.
> Muss noch ohne Ende üben! Hab netto noch einen Tag um mir
> Gauss alg. und eigenwerte etc. beizubringen :(. Muss noch
> für Physik am Dienstag lernen (optik, Wellenoptik, Atom-und
> Kernphysik)!
Oha, dann mal viel Spaß. Atom- und Kernphysik fand ich ziemlich interessant, aber nicht gerade einfach. Im Gegensatz zu der billigen Schein-Klausur, die ich schreiben musste. Wenn ich mich recht erinner, dann haben 7 oder 8 von 26 Punkten zum Bestehen gereicht. Die wollten wirklich keinen durchfallen lassen.
> Wenn ich alle Klausuren bestehe (zum 1.mal) dann bekommst
> Du von mir 1.Flasche selbstgebrannten, griechischen ouzo
> ;))
Jaaaa, das hör ich gern. Da wünsch ich uns beiden natürlich viel Glück
> Vielen Dank nochmal für deine Hilfe und den Link!
> (scheint aber nicht zu gehen. ich guck mal ob ich per
> google drauf stoß)
Komisch, hatte den Link selber noch ausprobiert.
Wenn du bei google "taylor restglied" eingibst, dann ist der 3. Treffer gleich der Link zum entsprechenden Matheraum-Thread, und dort findest du dann den Link von Stefan (in seiner Antwort vom 01.10.2004, 08:41).
> viele Grüße, MQ
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