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Forum "Diskrete Mathematik" - Teilbarkeit
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Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Sa 29.11.2008
Autor: Roli772

Aufgabe 1
Sei [mm] (x_{s}x_{s-1} [/mm] ... [mm] x_{1}x_{0})_{10} [/mm] die Dezimaldarstellung der [mm] \IN [/mm] n.

a) Zu zeigen, dass n - [mm] \summe_{i=0}^{s} x_{i} [/mm] durch 3 teilbar ist.

Aufgabe 2
b) Zu zeigen, dass n - [mm] \summe_{i=0}^{s} (-1)^i x_{i} [/mm] durch 11 teilbar ist.

Sollen zeigen 3 teilt n - [mm] \summe_{i=0}^{s} x_{i}. [/mm]

In einem vorigen Beispiel (hier nicht angeführt) wurde gezeigt, dass 3 | [mm] (10^i-1). [/mm] (Bzw. wurde gezeigt, dass 11 | [mm] (10^i [/mm] - [mm] (-1)^i) [/mm] (relevant für Aufgabe b)).

Womöglich könnte man das folgenderweise verwenden:
[mm] \summe_{i=0}^{s} (x_{i} [/mm] * [mm] 10^i [/mm] - [mm] x_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{s} x_{i} [/mm] * [mm] (10^i [/mm] - 1) -> (Anm. von [mm] 10^i-1 [/mm] wissen wir, dass durch 3 teilbar ist).

Jedoch weiter komme ich nicht, kann mir da wer einen Tipp geben?
Danke für Eure Hilfe!
Lg Sr

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Sa 29.11.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Sei [mm](x_{s}x_{s-1}[/mm] ... [mm]x_{1}x_{0})_{10}[/mm] die
> Dezimaldarstellung der [mm]\IN[/mm] n.
>  
> a) Zu zeigen, dass n - [mm]\summe_{i=0}^{s} x_{i}[/mm] durch 3
> teilbar ist.
>  b) Zu zeigen, dass n - [mm]\summe_{i=0}^{s} (-1)^i x_{i}[/mm] durch
> 11 teilbar ist.
>  Sollen zeigen 3 teilt n - [mm]\summe_{i=0}^{s} x_{i}.[/mm]
>  
> In einem vorigen Beispiel (hier nicht angeführt) wurde
> gezeigt, dass 3 | [mm](10^i-1).[/mm] (Bzw. wurde gezeigt, dass 11 |
> [mm](10^i[/mm] - [mm](-1)^i)[/mm] (relevant für Aufgabe b)).
>  
> Womöglich könnte man das folgenderweise verwenden:
>  [mm]\summe_{i=0}^{s} (x_{i}[/mm] * [mm]10^i[/mm] - [mm]x_{i})[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{s} x_{i}[/mm]
> * [mm](10^i[/mm] - 1) -> (Anm. von [mm]10^i-1[/mm] wissen wir, dass durch 3
> teilbar ist).

Eigentlich hast du schon Alles:

[mm] n - \summe_{i=0}^{s} x_{i} = \summe_{i=0}^{s} x_{i} 10^i - \summe_{i=0}^{s} x_{i} = \summe_{i=0}^{s}x_i(10^i-1) [/mm]

Da [mm] $10^i-1$ [/mm] durch 3 teilbar ist, ist auch [mm] $x_i(10^i-1)$ [/mm] durch 3 teilbar. Was folgt für die Summe?

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
                
Bezug
Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 So 30.11.2008
Autor: Roli772

Ok super. Danke für deine schnelle Antwort!

Und hättest du auch noch einen Tipp für das zweite Beispiel,
11  teilt n -  [mm] \summe_{i=0}^{s} (-1)^i x_{i}? [/mm]

Lg Sr

Bezug
                        
Bezug
Teilbarkeit: Nochmal genauso!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 So 30.11.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Ok super. Danke für deine schnelle Antwort!
>  
> Und hättest du auch noch einen Tipp für das zweite
> Beispiel,
>  11  teilt n -  [mm]\summe_{i=0}^{s} (-1)^i x_{i}?[/mm]

Versuch's doch mal genauso wie beim ersten!

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 So 30.11.2008
Autor: Roli772

hmm ok..

d.h. ich gehe von
n - [mm] \summe_{i=0}^{s} (-1)^i x_{i} [/mm] aus. Wissen, [mm] (10^i [/mm] - [mm] (-1)^i) [/mm] ist durch 11 teilbar, also:
= [mm] \summe_{i=0}^{s} ((-1)^i x_{i} [/mm] * [mm] 10^i [/mm] - [mm] (-1)^i x_{i}*(-1)^i) [/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{s} ((-1)^i x_{i} [/mm] * [mm] 10^i [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{s} (-1)^i x_{i}*(-1)^i) [/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{s} (-1)^i x_{i} [/mm] * [mm] (10^i [/mm] - [mm] ((-1)^i) [/mm]
Daraus würde folgen, dass der 2. teil durch 11 teilbar ist (ohnehin schon bewiesen), und somit auch jedes vielfache (in dem fall * [mm] (-1)^i x_{i}). [/mm]
Liege ich da richtig oda hab ich wo einen Denkfehler?

Aja, was mir auch noch nicht klar ist beim vorigen Beispiel, wo das "n -" hinverschwindet, bzw. warum ich von der angabe  n - [mm] \summe_{i=0}^{s} x_{i} [/mm] auf  [mm] \summe_{i=0}^{s} x_{i} 10^i [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{s} x_{i} [/mm]  schließen kann.

Danke für deine Zeit!

Lg Sr

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Bezug
Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 So 30.11.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> hmm ok..
>  
> d.h. ich gehe von
>  n - [mm]\summe_{i=0}^{s} (-1)^i x_{i}[/mm] aus. Wissen, [mm](10^i[/mm] -
> [mm](-1)^i)[/mm] ist durch 11 teilbar, also:
>  = [mm]\summe_{i=0}^{s} ((-1)^i x_{i}[/mm] * [mm]10^i[/mm] - [mm](-1)^i x_{i}*(-1)^i)[/mm]

Das ist falsch. Per definition ist

[mm] n = \summe_{i=0}^{s} x_i 10^i [/mm],

denn die [mm] $x_i$ [/mm] bilden die Dezimaldarstellung von n.

Viele Grüße
   Rainer

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Bezug
Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 So 30.11.2008
Autor: Roli772

Hm... ok jetzt bin i verwirrt,
dass musst du mir jetzt genauer erklären.

Sry, bin heute ein wenig schwer von Begriff.
Lg Sr

Bezug
                                                        
Bezug
Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 So 30.11.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Hm... ok jetzt bin i verwirrt,
>  dass musst du mir jetzt genauer erklären.

Nimm dir ein Beispiel:

n=123

Dann ist doch

[mm] x_0 = 3[/mm], [mm] x_1 = 2[/mm], [mm] x_2 = 1[/mm]

und

[mm] 123 = 3*10^0 + 2 * 10^1 + 1 * 10^2 [/mm]

Viele Grüße
   Rainer

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Teilbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:40 So 30.11.2008
Autor: Roli772

ok, danke. Das ist verständlich.


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