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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | | Zeige [mm] n^2 [/mm] teilt [mm] \summe_{i=1}^{n}i^3 [/mm] für ein ungereades n |
Hallo, ich sitze schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe komme aber auf keine Lösung. Ich habe es auch schon mit Induktion versucht, komme aber trotzdem nicht weiter ... Hat jemand einen Tipp für mich?
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> Zeige [mm]n^2[/mm] teilt [mm]\summe_{i=1}^{n}i^3[/mm]
> Hallo, ich sitze schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe
> komme aber auf keine Lösung. Ich habe es auch schon mit
> Induktion versucht, komme aber trotzdem nicht weiter ...
> Hat jemand einen Tipp für mich?
Hallo Physy,
das Problem ist wohl ganz einfach, dass die
Behauptung falsch ist ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Physy |
Tut mir leid, ich habe eine Angabe vergessen und die Frage aktuallisiert.
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> Tut mir leid, ich habe eine Angabe vergessen und die Frage
> aktuallisiert.
Aha, dann sieht es schon etwas anders aus. Unter dieser
Vorgabe kannst du es doch schon mit vollständiger Induktion
versuchen:
Sei [mm] S_n:=\summe_{i=1}^{i=n}i^3 [/mm] (mit ungeradem n). Dann musst du, um zur nächsten
zu betrachtenden Summe [mm] S_{n+2} [/mm] zu kommen, zwei Summanden
dazufügen:
[mm] S_{n+2}=S_n+(n+1)^3+(n+2)^3
[/mm]
Nimm an (Induktionsvoraussetzung), dass [mm] S_n=t*n^2 [/mm] mit [mm] t\in\IN
[/mm]
und versuche zu zeigen, dass dann [mm] S_{n+2} [/mm] ein ganzzahliges
Vielfaches von [mm] (n+2)^2 [/mm] sein muss !
Ein anderer (vielleicht einfacherer) Weg wäre der, für
die Summe [mm] S_n [/mm] (für alle [mm] n\in\IN) [/mm] eine viel weiter gehende
Formel zu entdecken und zu beweisen und dann daraus
die gewünschte Teilbarkeitsaussage herzuleiten.
LG Al-Chw.
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