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| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl, [mm] \alpha=e^{\bruch{2\pi}{p}*i}, [/mm] und a, b [mm] \in \IZ. [/mm] Zeigen Sie dass a|b in [mm] \IZ [/mm] genau dann gilt, wenn auch a|b in [mm] \IZ[\alpha] [/mm] gilt. |
Hallo zusammen!
Ich verstehe obige Aufgabenstellung nicht!
[mm] \IZ[\alpha]={ \summe^{p-2}_{i=0} a_i*\alpha^{i}, a_i \in \IZ}
[/mm]
Was sind denn a, b in [mm] \IZ[\alpha]? [/mm] Konstante Polynome, d. h. [mm] a_i=0 [/mm] wenn i größer 0?
Aber dann wäre das ja trivial! Eine andere Interpretation fällt mir aber gerade nicht ein...
Kann mir jemand helfen und erklären, was zu tun ist?
Das wäre echt super!
Vielen Dank 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Fr 16.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo schneckennnudel,
> [mm]\IZ[\alpha]={ \summe^{p-2}_{i=0} a_i*\alpha^{i}, a_i \in \IZ}[/mm]
>
> Was sind denn a, b in [mm]\IZ[\alpha]?[/mm] Konstante Polynome, d.
> h. [mm]a_i=0[/mm] wenn i größer 0?
Genau.
> Aber dann wäre das ja trivial!
Nein.
$a|b$ in [mm] $\IZ$ [/mm] heißt, dass ein [mm] $c\in\IZ$ [/mm] existiert mit [mm] $a\cdot [/mm] c=b$.
$a|b$ in [mm] $\IZ[\alpha]$ [/mm] heißt, dass ein [mm] $c\in\IZ[\alpha]$ [/mm] existiert mit [mm] $a\cdot [/mm] c=b$.
Die Hinrichtung ist in der Tat trivial. Für die Rückrichtung musst du zeigen, dass die Existenz eines [mm] $c\in\IZ[\alpha]$ [/mm] mit [mm] $a\cdot [/mm] c=b$ bereits die Existenz eines solchen [mm] $c\in\IZ$ [/mm] impliziert.
Viele Grüße
Tobias
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Ok, danke für deine schnelle Antwort, Tobias!
Aber, wenn ich das ausschreibe, als für die Rückrichtung: Ich weiß es existiert [mm] C=\summe^{p-2}_{i=0} c_i \alpha^{i}, [/mm] sodass:
a * C = a * [mm] \summe^{p-2}_{i=0} c_i \alpha^{i} [/mm] = b, dann folgt doch sofort, dass die [mm] c_i [/mm] mit i [mm] \ge [/mm] 1 0 sein müssen. Das a hat keine [mm] \alpha [/mm] zu beiten, sodass sich da welche auslöschen könnten. Und damit C [mm] \in \IZ. [/mm] Oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Fr 16.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, danke für deine schnelle Antwort, Tobias!
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> Aber, wenn ich das ausschreibe, als für die
> Rückrichtung: Ich weiß es existiert [mm]C=\summe^{p-2}_{i=0} c_i \alpha^{i},[/mm]
> sodass:
>
> a * C = a * [mm]\summe^{p-2}_{i=0} c_i \alpha^{i}[/mm] = b, dann
> folgt doch sofort, dass die [mm]c_i[/mm] mit i [mm]\ge[/mm] 1 0 sein müssen.
> Das a hat keine [mm]\alpha[/mm] zu beiten, sodass sich da welche
> auslöschen könnten. Und damit C [mm]\in \IZ.[/mm] Oder nicht?
Wenn du es noch etwas sauberer aufschreibst (und den Fall $a = 0$ getrennt beachtest), ja.
LG Felix
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