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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | n [mm] \in \IN [/mm] habe die Dezimaldarstellung n= [mm] a_0 [/mm] + 10 [mm] a_1 [/mm] + [mm] 10^2 a_2 +..+10^k a_k [/mm] mit [mm] a_0, a_1, a_2 ,...,a_k \in \{0,1,2,..9\}
[/mm]
Beweise: Die Zahl n ist genau dann durch 7 teilbar wenn der folgende ausdruck durch 7 teilbar ist:
[mm] (a_0 [/mm] + 10 [mm] a_1 [/mm] + 100 [mm] a_2) [/mm] - [mm] (a_3 [/mm] + 10 [mm] a_4 [/mm] + 100 [mm] a_5) [/mm] + [mm] (a_6 [/mm] + 10 [mm] a_7 [/mm] + 100 [mm] a_8) \pm [/mm] .. |
mein nichtsbringender Ansatz:
[mm] 10\equiv3 [/mm] (mod 7)
[mm] 10^i \equiv3^i [/mm] (mod 7)
[mm] n=a_0 [/mm] + 10 [mm] a_1 [/mm] + [mm] 10^2 a_2 +..+10^k a_k \equiv a_0 [/mm] + 3 [mm] a_1 [/mm] + [mm] 3^2 a_2 +..+3^k a_k [/mm] (mod 7)
mhm
n= [mm] \sum_{i=0}^k a_i 10^i
[/mm]
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Hallo,
dann versuchen wir´s doch anders. Überlege, wie sich die gegebene Zahl und die daraus gebildete Zahl unterscheiden und beacht 7|1001.
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Lu- |
n=$ [mm] a_0 [/mm] $ + 10 $ [mm] a_1 [/mm] $ + $ [mm] 10^2 a_2 +..+10^k a_k [/mm] $= $ [mm] \sum_{i=0}^k a_i 10^i [/mm] $
und
$ [mm] (a_0 [/mm] $ + 10 $ [mm] a_1 [/mm] $ + 100 $ [mm] a_2) [/mm] $ - $ [mm] (a_3 [/mm] $ + 10 $ [mm] a_4 [/mm] $ + 100 $ [mm] a_5) [/mm] $ + $ [mm] (a_6 [/mm] $ + 10 $ [mm] a_7 [/mm] $ + 100 $ [mm] a_8) \pm [/mm] $ .. = [mm] \sum_{i=0}^2 a_i 10^i [/mm] - [mm] \sum_{i=3}^5 a_i 10^{i-3} [/mm] + [mm] \sum_{i=6}^8 a_i 10^{i-6}-...
[/mm]
> gegebene Zahl und die daraus gebildete Zahl unterscheiden
Die Zehnerpotenzen gehen nur bis [mm] 10^2 [/mm] und es werden jeweils 3 Summanden abgezogen und 3 dazuaddiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich habe einen Beweis im Internet gefunden:
[mm] 10^3 \equiv [/mm] -1 (7)
[mm] 10^{6n} \equiv [/mm] 1 (7)
[mm] 10^{6n+3} \equiv [/mm] -1 (7)
[mm] 10^{6n+1} \equiv [/mm] 10 (7)
[mm] 10^{6n+2} \equiv [/mm] 100 (7)
[mm] 10^{6n+3} \equiv [/mm] -1 (7)
[mm] 10^{6n+4} \equiv [/mm] -10 (7)
[mm] 10^{6n+5} \equiv [/mm] -100 (7)
Wieso rechnet man hier die hochzahlen in Modulo 6?
Und wieso weiß man das gilt:
[mm] 10^{6n} \equiv [/mm] 1 (7)
[mm] 10^{6n+3} \equiv [/mm] -1 (7)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Fr 27.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Ich habe einen Beweis im Internet gefunden:
> [mm]10^3 \equiv[/mm] -1 (7)
>
> [mm]10^{6n} \equiv[/mm] 1 (7)
> [mm]10^{6n+3} \equiv[/mm] -1 (7)
>
>
> [mm]10^{6n+1} \equiv[/mm] 10 (7)
> [mm]10^{6n+2} \equiv[/mm] 100 (7)
> [mm]10^{6n+3} \equiv[/mm] -1 (7)
> [mm]10^{6n+4} \equiv[/mm] -10 (7)
> [mm]10^{6n+5} \equiv[/mm] -100 (7)
>
> Wieso rechnet man hier die hochzahlen in Modulo 6?
> Und wieso weiß man das gilt:
> [mm]10^{6n} \equiv[/mm] 1 (7)
> [mm]10^{6n+3} \equiv[/mm] -1 (7)
Hallo,
weil 1001 durch 7 teilbar ist, weiß man
[mm] 1000$\equiv$-1 [/mm] mod 7 bzw. [mm] $10^3\equiv$-1 [/mm] mod 7 .
Wenn man diese Kongruenz mit 2, 3, 4, 5 usw. potenziert, erhält man
[mm] $(10^3)^2\equiv(-1)^2 [/mm] mod 7
[mm] $(10^3)^3\equiv(-1)^3 [/mm] mod 7
usw. Die Zehnerpotenzen mit den Exponenten 3, 6, 9, 12 usw. lassen also abwechselnd den Rest 1 und den Rest -1.
Der Rest 1 tritt bei den geraden und somit auch durch 6 teilbaren Exponenten 6, 12, 18, ... auf.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke, das verstehe ich.
Aber ist der Beweis so vollständig?
Weil ich starte ja von einer wahren Aussage aus und verwende nicht 7/n wie in der angabe..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Fr 27.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast bisher keinen vollst Beweis aufgeschrieben, nur die nötigen informationen, die man für einen beweis braucht.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:38 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Lu- |
ok danke, der beweis ist nun klar.
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