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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Di 28.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | a)Welche der folgenden Aussagen gelten für a,b,c,d [mm] \in \IZ:
[/mm]
i) a|(b+c) [mm] \Rightarrow [/mm] a|b oder a|c
ii) a|(b+c) [mm] \Rightarrow [/mm] a|b und a|c
iii) a [mm] \equiv [/mm] b (mod n), c [mm] \equiv [/mm] d (mod n) [mm] \Rightarrow [/mm] a+c [mm] \equiv [/mm] b+d (mod n)
iv) a [mm] \equiv [/mm] b (mod n), b [mm] \equiv [/mm] c (mod n) [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \equiv [/mm] c (mod n)
v) n Primzahl, a|n [mm] \Rightarrow a=\pm [/mm] 1 oder [mm] a=\pm [/mm] n
vi) kgV(a,b)|(a*b)
b)Welche Aussagen gelten in allen Gruppen (G, [mm] \circ)?
[/mm]
i) Für alle a [mm] \in [/mm] G [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] G mit [mm] b^{-1} \circ [/mm] a [mm] \circ [/mm] b =e
ii) Für alle a [mm] \in [/mm] G [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a^{n}=e [/mm] |
Hallo,
also erst mal zu a) i) und ii) müssten falsch sein, denn 2|20, jedoch weder 15 noch 5.
iii) iv) v) und vi) behaupte ich mal, sind allesamt wahr.
Zu b) i) Wenn a [mm] \not= [/mm] e , geht das schon in ner abelschen Gruppe mit Ordnung größer 1 schief, denn dann ist: [mm] b^{-1} \circ [/mm] b [mm] \circ [/mm] a = a [mm] \not= [/mm] e
ii) Also in endlichen Gruppen stimmt das auf jeden Fall, aber wie schaut das im Unendlichen aus, ist für n=0: [mm] a^{0} [/mm] nicht immer gleich e?
Ich hoffe mir kann jmd. weiterhelfen bzw. korrigieren, wenn eine meiner Aussagen falsch ist.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:56 Mi 29.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> a)Welche der folgenden Aussagen gelten für a,b,c,d [mm]\in \IZ:[/mm]
>
> i) a|(b+c) [mm]\Rightarrow[/mm] a|b oder a|c
> ii) a|(b+c) [mm]\Rightarrow[/mm] a|b und a|c
> iii) a [mm]\equiv[/mm] b (mod n), c [mm]\equiv[/mm] d (mod n) [mm]\Rightarrow[/mm]
> a+c [mm]\equiv[/mm] b+d (mod n)
> iv) a [mm]\equiv[/mm] b (mod n), b [mm]\equiv[/mm] c (mod n) [mm]\Rightarrow[/mm] a
> [mm]\equiv[/mm] c (mod n)
> v) n Primzahl, a|n [mm]\Rightarrow a=\pm[/mm] 1 oder [mm]a=\pm[/mm] n
> vi) kgV(a,b)|(a*b)
> b)Welche Aussagen gelten in allen Gruppen (G, [mm]\circ)?[/mm]
> i) Für alle a [mm]\in[/mm] G [mm]\exists[/mm] b [mm]\in[/mm] G mit [mm]b^{-1} \circ[/mm] a
> [mm]\circ[/mm] b =e
> ii) Für alle a [mm]\in[/mm] G [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a^{n}=e[/mm]
>
> also erst mal zu a) i) und ii) müssten falsch sein, denn
> 2|20, jedoch weder 15 noch 5.
Ja.
> iii) iv) v) und vi) behaupte ich mal, sind allesamt wahr.
Ja.
> Zu b) i) Wenn a [mm]\not=[/mm] e , geht das schon in ner abelschen
> Gruppe mit Ordnung größer 1 schief, denn dann ist: [mm]b^{-1} \circ[/mm]
> b [mm]\circ[/mm] a = a [mm]\not=[/mm] e
Ja. Im Allgemeinen gilt das genau dann, wenn $a = e$ ist.
> ii) Also in endlichen Gruppen stimmt das auf jeden Fall,
Ja.
> aber wie schaut das im Unendlichen aus, ist für n=0: [mm]a^{0}[/mm]
> nicht immer gleich e?
Ja. Aber ist 0 bei euch eine natuerliche Zahl? (Das waer der einzige Haken hier...)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Mi 29.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
vielen Dank soweit. Ja, 0 is bei uns ne natürliche Zahl, zumal wir die natürlichen Zahlen über die Peano-Dedekind-Axiome eingeführt haben.
Viele Grüße
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