Teilbarkeit beweisen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mo 21.11.2011 | | Autor: | HannSG |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] 6^{2n-1}+1 [/mm] ist durch 7 teilbar |
Mein Ansatz ist:
[mm] \bruch{6^{2n-1}+1}{7} \ge1
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob ich hier schon einen Denkfehler gemacht habe. Ansonsten bin ich jetzt wie bei der vollst. Induktion vorgegangen. Ich habe n+1 eingesetzt und nach n aufgelöst. Da kommt bei mir dann [mm] n\ge0 [/mm] raus.
aber ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
daraus würde nicht folgen, dass n eine natürliche zahl wäre.
induktion ist schon mal gut. überlege dir doch mal, wie [mm] 6^{1}; 6^{3}, 6^{5} [/mm] jeweils aussieht, also was sich dort verändert, wenn n hochgezählt wird. es muss ja immer gelten, dass [mm] 6^{2n-1} [/mm] mod 7 [mm] \equiv [/mm] 6 ist. da würde ich ansetzten
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Hallo HannSG,
kleine Ergänzung:
Ich mache das immer gerne relativ schematisch so:
Nach IV gilt: [mm]7\mid\left(6^{2n-1}+1\right)[/mm]
Wir wollen hin zu [mm]7\mid\left(6^{2n+1}+1\right)[/mm]
Wenn [mm]a\mid b[/mm], dann auch [mm]a\mid c\cdot{}b[/mm]
Um zu dem Exponenten zu gelangen, müssen wir also mit [mm] $6^2$ [/mm] multiplizieren:
Daher wegen der IV und Mult. mit [mm]6^2[/mm]:
[mm]7\mid \left[6^2\cdot{}\left(6^{2n-1}+1\right)\right]=\left(6^{2n+1}+36\right)=\left(6^{2n+1}+1\right) \ + \ 35[/mm]
Nun noch eine elementare Teilbarkeitsregel anwenden - welche?
Und du bist am Ziel ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mo 21.11.2011 | | Autor: | HannSG |
Danke schonmal für die beiden Anregungen.
> [mm]7\mid \left[6^2\cdot{}\left(6^{2n-1}+1\right)\right]=\left(6^{2n+1}+36\right)=\left(6^{2n+1}+1\right) \ + \ 35[/mm]
muss es am Ende nicht [mm] =\left(6^{2n+1}+37\right)=\left(6^{2n+1}+1\right) [/mm] + 36 heißen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal für die beiden Anregungen.
>
> > [mm]7\mid \left[6^2\cdot{}\left(6^{2n-1}+1\right)\right]=\left(6^{2n+1}+36\right)=\left(6^{2n+1}+1\right) \ + \ 35[/mm]
>
>
> muss es am Ende nicht
> [mm]=\left(6^{2n+1}+37\right)=\left(6^{2n+1}+1\right)[/mm] + 36
> heißen?
Nein.
[mm] 6^2\cdot{}\left(6^{2n-1}+1\right)\right [/mm] = [mm] 6^{2n+1}+36= 6^{2n+1}+1+35
[/mm]
FRED
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