Teilbarkeit durch 11 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei n eine natürliche Zahl in ihrer Dezimalstellung
n = [mm] \summe_{k \ge 0} a_k10^k [/mm] , 0 [mm] \le a_k \le [/mm] 9.
Man beweise die Kongruenz
n [mm] \equiv \summe_{k \ge 0} (-1)^ka_k [/mm] (mod 11)
und leite daraus ein kriterium für die Teilbarkeit durch 11 her. |
Hallo an alle,
ich weß hier nich so recht, was ich hier genau machen soll, ich finde dazu keinen Ansatz;
Kann mir da viell jemand weiterhelfen?
Schon mal vielen Dank;
fg
Chrissi
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> Es sei n eine natürliche Zahl in ihrer Dezimalstellung
> n = [mm]\summe_{k \ge 0} a_k10^k[/mm] , 0 [mm]\le a_k \le[/mm] 9.
> Man beweise die Kongruenz
> n [mm]\equiv \summe_{k \ge 0} (-1)^ka_k[/mm] (mod 11)
> und leite daraus ein kriterium für die Teilbarkeit durch
> 11 her.
Hallo,
hier geht's, wie Du auch in Deiner Überschrift schreibst, um eine Regel, mit der man die Teilbarkeit durch 11 prüfen kann:
Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
Beispiel:
n=135795
Alternierende Quersumme: 5-9+7-5+3-1=0, also ist 135795 durch 11 teilbar.
n = [mm]\summe_{k \ge 0} a_k10^k[/mm] ist Deine Zahl, die im Dezimalsystem die Darstellung [mm] (a_n\quad a_{n-1}\quad ...a_2\qud a_1\quad a_0)_{10} [/mm] hat,
[mm] \summe_{k \ge 0} (-1)^ka_k[/mm] [/mm] ist die alternierende Quersumme.
Du sollst nun zeigen, daß die alternierende Quersumme bei der Division durch 11 denselben Rest läßt wie die Zahl n.
Den Beweis solltest Du führen können, indem Du mit [mm]\summe_{k \ge 0} a_k10^k[/mm]= [mm]\summe_{k \ge 0} a_k(11-1)^k[/mm] arbeitest. (Binomischer Satz)
Gruß v. Angela
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> Den Beweis solltest Du führen können, indem Du mit
> [mm]\summe_{k \ge 0} a_k10^k[/mm]= [mm]\summe_{k \ge 0} a_k(11-1)^k[/mm]
> arbeitest. (Binomischer Satz)
danke für die Antwort;
ich versteh was du meinst; aber ich kann [mm] (11-1)^k [/mm] nicht einfach auseinander ziehen und sagen, dass [mm] (11-1)^k [/mm] = [mm] (-1)^k [/mm] mod 11 ist und
[mm] (11-1)^k \not= 11^k-1^k
[/mm]
wie genau kann ich denn dann [mm] \summe_{k \ge 0} a_k(11-1)^k [/mm] weiter umschreiben?
fg
Chrissi
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> > Den Beweis solltest Du führen können, indem Du mit
> > [mm]\summe_{k \ge 0} a_k10^k[/mm]= [mm]\summe_{k \ge 0} a_k(11-1)^k[/mm]
> > arbeitest. (Binomischer Satz)
>
> danke für die Antwort;
> ich versteh was du meinst; aber ich kann [mm](11-1)^k[/mm] nicht
> einfach auseinander ziehen
Hallo,
Ihr hattet sicher den binomischen Satz. Was sagt dieser über [mm] (11-1)^k? (11-1)^k= \summe [/mm] ...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 So 06.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Angela,
ich glaube, Ihr redet aneinander vorbei.
Mir geht es wie chrissi - wozu der ganze Rechenaufwand, wenn man doch Restklassen benutzen darf?
Es ist [mm] 10\equiv{-1}\mod{11} [/mm] und also [mm] \summe a_k 10^k \equiv \summe a_k (-1)^k
[/mm]
Was will der Aufgabensteller? Ich komme nicht dahinter.
lg
reverend
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> Ihr hattet sicher den binomischen Satz. Was sagt dieser
> über [mm][mm] (11-1)^k? (11-1)^k= \summe...
[/mm]
[mm] (11-1)^k= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k}*11^{n-k}*(-1)^k
[/mm]
Da kann ich doch dann sagen, dass [mm] \vektor{n\\k}*11^{n-k} [/mm] durch 11 teilbar ist, weil ich [mm] 11^{zahl}*zahl [/mm] habe, also ein vielfaches von 11
[mm] (-1)^k [/mm] gibt nur an ob dazugezählt od abgezogen wird
ist doch so richtig oder?
fg
Chrissi
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> > Ihr hattet sicher den binomischen Satz. Was sagt dieser
> > über [mm][mm](11-1)^k? (11-1)^k= \summe...[/mm]
> [mm](11-1)^k= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k}*11^{n-k}*(-1)^k[/mm]
Hallo,
da oben ist Indexgewurschtel.
Es muß heißen
[mm](11-1)^k= \summe_{i=0}^{k} \vektor{k\\i}*11^{k-i}*(-1)^i[/mm]
> Da kann ich doch dann sagen, dass [mm]\vektor{\red{k}\\\red{i}}*11^{\red{k-i}}[/mm] durch 11 teilbar ist, weil ich [mm]11^{zahl}*zahl[/mm] habe, also ein vielfaches von 11[mm](-1)^\red{i}[/mm] gibt nur an ob dazugezählt od abgezogen wird
> ist doch so richtig oder?
Für [mm] i\not=k [/mm] ist das so.
Damit behält man [mm](11-1)^k= \summe_{i=0}^{k} \vektor{k\\i}*11^{k-i}*(-1)^i[/mm][mm] \equiv (-1)^k [/mm] (mod 11),
was man, wie der reverend richtig bemerkt, mit der Erkenntnis, daß 10 [mm] \equiv-1 [/mm] mod 11 ohne Mühe echt schneller haben kann...
Die am Ende zu formulierende Erkenntnis ist das Kriterium für die Teilbarkeit durch 11.
Gruß v. Angela
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