Teilbarkeit durch 7 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass eine Zahl n [mm] \in \IN, [/mm] deren letzte Stelle im Dezimalsystem gerade r sei, genau dann durch 7 teilbar ist, wenn [mm] [\bruch{n}{10}]-2r [/mm] durch 7 teilbar ist!
b) Eine im Dezimalsystem gegebene Zahl n [mm] \in \N [/mm] werde an ihrer vorletzten Stelle getrennt. Es enstehen eine Zahl a [mm] \in \IN, [/mm] die zwei Stellen weniger hat als n und eine zweistellige Zahl b [mm] \in \IN, [/mm] die aus den letzten beiden Ziffern von n besteht.
Zeigen Sie: 7 teilt n [mm] \gdw [/mm] 7 teilt (2a+b)
c) Stellen Sie für alle n [mm] \in \IN [/mm] eine Teilbarkeitsregel durch alle m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |10^n-m|=1 [/mm] für im Dezimalsystem gegebene Zahlen auf!
Leiten Sie daraus eine Teilbarkeitsregel durch 7 für im Dezimalsystem gegebene Zahlen her! |
Hallo!
Ich habe Probleme bei obiger Aufgabe. Zunächst scheiterts bereits bei Teilaufgabe a). Ich kann ja n schfreiben als n=k*10+r und ich muss jetzt dieses n modulo 7 betrachten. Wie kann ich hier vorgehen?
Vielen Dank schonmal!
LG Leni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Fr 22.05.2009 | | Autor: | abakus |
> a) Zeigen Sie, dass eine Zahl n [mm]\in \IN,[/mm] deren letzte
> Stelle im Dezimalsystem gerade r sei, genau dann durch 7
> teilbar ist, wenn [mm][\bruch{n}{10}]-2r[/mm] durch 7 teilbar ist!
>
> b) Eine im Dezimalsystem gegebene Zahl n [mm]\in \N[/mm] werde an
> ihrer vorletzten Stelle getrennt. Es enstehen eine Zahl a
> [mm]\in \IN,[/mm] die zwei Stellen weniger hat als n und eine
> zweistellige Zahl b [mm]\in \IN,[/mm] die aus den letzten beiden
> Ziffern von n besteht.
>
> Zeigen Sie: 7 teilt n [mm]\gdw[/mm] 7 teilt (2a+b)
>
> c) Stellen Sie für alle n [mm]\in \IN[/mm] eine Teilbarkeitsregel
> durch alle m [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]|10^n-m|=1[/mm] für im Dezimalsystem
> gegebene Zahlen auf!
> Leiten Sie daraus eine Teilbarkeitsregel durch 7 für im
> Dezimalsystem gegebene Zahlen her!
> Hallo!
>
> Ich habe Probleme bei obiger Aufgabe. Zunächst scheiterts
> bereits bei Teilaufgabe a). Ich kann ja n schfreiben als
> n=k*10+r und ich muss jetzt dieses n modulo 7 betrachten.
> Wie kann ich hier vorgehen?
Hallo, wenn du n so ansetzt, dann ist ja [mm] [\bruch{n}{10}]=k
[/mm]
Aus 7|n folgt 10k+r [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7, also auch 3k+r [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7
Multiplikation mit 5 liefert 15k+5r [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7.
Die Teilbarkeit durch 7 bleibt erhalten, wenn man links Vielfache von 7 (wie z.B. 14 k oder die Zahl 7) addiert oder subtrahiert.
Deshalb folgt aus 15k+5r [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7 auch k-2r [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7 (also [mm] [\bruch{n}{10}]-2r \equiv [/mm] 0 mod 7).
>
> Vielen Dank schonmal!
>
> LG Leni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Vielen Dank für die Antwort! Kann ich dann also auch in einem Schritt gleichzeitig die Hin- und Rückrichtung zeigen, oder? Also das "genau dann wenn" müsste ja überall passen?!
Bei der b hab ich mir überlegt dass man ja die Zahl n dann immer schreiben kann als n=100*a+b.
Dann gilt doch:
7|n -> 7|100*a+b -> 100*a+b = 0 (modulo 7) -> 100a+b-98a=0(7) (weil ja 7|98) -> 2a+b =0 (modulo 7).
Der Beweis kommt mir so arg kurz vor. Stimmt er so oder hab ich was übersehen? Hier gilt doch auch immer gleich die Rückrichtung, oder??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Fr 22.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank für die Antwort! Kann ich dann also auch in
> einem Schritt gleichzeitig die Hin- und Rückrichtung
> zeigen, oder? Also das "genau dann wenn" müsste ja überall
> passen?!
>
> Bei der b hab ich mir überlegt dass man ja die Zahl n dann
> immer schreiben kann als n=100*a+b.
> Dann gilt doch:
> 7|n -> 7|100*a+b -> 100*a+b = 0 (modulo 7) ->
> 100a+b-98a=0(7) (weil ja 7|98) -> 2a+b =0 (modulo 7).
>
> Der Beweis kommt mir so arg kurz vor. Stimmt er so oder hab
> ich was übersehen? Hier gilt doch auch immer gleich die
> Rückrichtung, oder??
Länger muss er wirklich nicht sein. Und es gilt in beide Richtungen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Ok super! Bei c) verstehe ich irgendwie die Fragestellung nicht. Ich soll für alle natürlichen Zahlen n Teilbarkeitsregeln durch alle natürlichen Zahlen m aufstellen? Aber was ist mit diesem Betrag? Kann jemand von euch die Fragestellung evtl. irgendwie anders formulieren?
|
|
|
| |
|
Hallo [mm] Leni_H,
[/mm]
> Ok super! Bei c) verstehe ich irgendwie die Fragestellung
> nicht. Ich soll für alle natürlichen Zahlen n
> Teilbarkeitsregeln durch alle natürlichen Zahlen m
> aufstellen? Aber was ist mit diesem Betrag? Kann jemand von
> euch die Fragestellung evtl. irgendwie anders formulieren?
Es geht um Teilbarkeit einer Zahl durch [mm] 10^n \pm 1, n \in \IN[/mm].
Wenn man jetztmit einer natürlichen Zahl n eine Zahl [mm] [10^n\cdot [/mm] a+b[/mm] betrachtet, dann gilt ja
[mm]10^n \cdot a +b =a+b +(10^n-1) \cdot a[/mm],
und
[mm] 10^n \cdot a +b =b-a +(10^n+1)\cdot a[/mm].
Also ist
[mm]10^n \cdot a+b \equiv a+b \pmod{10^n -1}[/mm],
und
[mm] 10^n \cdot a +b \equiv b-a \pmod{10^n +1} [/mm].
Wie man daraus allerdings eine Regel für die Teilbarkeit einer Zahl durch 7 ableiten soll, ist mir noch nicht ganz klar; denn wenn eine Zahl durch 1001 teilbar ist, ist sie ja auch durch 7 teilbar, aber die Umkehrung gilt i.A. nicht.
Gruß
Zahlenspieler
|
|
|
| |
|
Hallo Leni,
zahlenspieler ist auf der ganz richtigen Spur.
> Wie man daraus allerdings eine Regel für die Teilbarkeit einer Zahl durch 7
> ableiten soll, ist mir noch nicht ganz klar; denn wenn eine Zahl durch 1001
> teilbar ist, ist sie ja auch durch 7 teilbar, aber die Umkehrung gilt i.A.
> nicht.
Wenn es Dir gelingt, die Zahl (deutsche Schreibweise) a=3.916.753.882.164 durch geeignete Regeln, die nur Subtraktion, Addition und die Unterteilung der Zahl in gewisse Zifferngruppen voraussetzen, in eine Zahl kleiner [mm] 10^n-1 [/mm] (hier: 1001) umzuwandeln, an der die Teilbarkeit durch 7 (11,13) ablesbar ist, dann bist Du fertig.
Ein Tipp dazu: an der Zielzahl (kleiner [mm] 10^n-1) [/mm] wird die Restklasse nicht eindeutig ablesbar sein, aber immerhin [mm] a\equiv\pm{R}\mod{7 (bzw.\ 11,13)}.
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 So 24.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Hi,
vielen Dank für die vielen Tipps, aber ich steig leider irgendwie momentan überhaupt nicht durch. Es geht also darum, dass ich für jeden Zahl x eine Teilbarkeit durch [mm] 10^{n} \pm [/mm] 1 aufstelle??
Ich kann jede Zahl x schreiben als [mm] 10^{n}*a+b.... [/mm] und dann bekomme ich raus, dass [mm] 10^{n}*a+b [/mm] = a+b (mod [mm] 10^{n}-1 [/mm] und dass [mm] 10^{n}*a+b [/mm] = a-b (mod [mm] 10^{n}+1). [/mm] Stimmt das bis dahin?
Das heißt eine Zahl x ist durch [mm] 10^{n}-1 [/mm] teilbar, wenn a+b = 0 (mod [mm] 10^{n}-1) [/mm] und sie ist durch [mm] 10^{n}+1 [/mm] teilbar, wenn b-a = 0 (mod [mm] 10^{n}+1)??!!
[/mm]
Ok, aber was bringt mir das für die Zahl 7? Also ich verstehe nicht so ganz wie ich jetzt von der Bedingung, dass ich durch [mm] 10^{n}\pm [/mm] 1 teile auf das durch 7 teilen komme?!
Vielleicht könnt ihrs mir nochmal genauer erklären!?
Wär super!
Danke!
Leni
|
|
|
| |
|
Hallo Leni,
> Hi,
>
> vielen Dank für die vielen Tipps, aber ich steig leider
> irgendwie momentan überhaupt nicht durch. Es geht also
> darum, dass ich für jeden Zahl x eine Teilbarkeit durch
> [mm]10^{n} \pm[/mm] 1 aufstelle??
Nein, nicht für jede Zahl  ; denn an der (nicht-)Teilbarkeit ändert sich ja nichts, wenn Du zu der Zahl, die Du untersuchst, vielfache von [mm] [10^n \pm [/mm] 1[/mm] addierst.
> Ich kann jede Zahl x schreiben als [mm]10^{n}*a+b....[/mm] und dann
> bekomme ich raus, dass [mm]10^{n}*a+b[/mm] = a+b (mod [mm]10^{n}-1[/mm] und
> dass [mm]10^{n}*a+b[/mm] = a-b (mod [mm]10^{n}+1).[/mm] Stimmt das bis
> dahin?
Es ist [mm] b-a \equiv b-a+(10^n+1) \cedot a=10^n \cdot a +b \pmod{10^n+1.[/mm] Das erste stimmt.
>
> Das heißt eine Zahl x ist durch [mm]10^{n}-1[/mm] teilbar, wenn a+b
> = 0 (mod [mm]10^{n}-1)[/mm] und sie ist durch [mm]10^{n}+1[/mm] teilbar, wenn
> b-a = 0 (mod [mm]10^{n}+1)??!![/mm]
Ja.
>
> Ok, aber was bringt mir das für die Zahl 7? Also ich
> verstehe nicht so ganz wie ich jetzt von der Bedingung,
> dass ich durch [mm]10^{n}\pm[/mm] 1 teile auf das durch 7 teilen
> komme?!
Eine Zahl n ist durch 7 teilbar genau dann, wenn [mm]n \equiv 0 \pmod{7}[/mm]. Wenn man [mm]10 \pmod 7, 10^2 \pmod 7[/mm] usw. berechnet (bzw. den 'kleinen Fermat' benutzt), stellt man fest, daß [mm] 10^3 \equiv -1 \pmod{7}, 10^6 \equiv 1 \pmod 7[/mm] ist. D.h. statt die Zahl n selbst auf Teilbarkeit durch 7 zu prüfen, reicht es aus, eine (möglichst kleinere) Zahl zu prüfen, die sich um ein ganzzahliges Vielfaches von [mm]10^6 -1[/mm] von n unterscheidet.
Vielleicht wird's an einem Beispiel deutlicher. Sei etwa [mm]z=3753882916164[/mm]. Also
[mm]z=3753882\cdot 10^6 +916164[/mm]. Dann ist
[mm]z \equiv 3753882+916164 =4670046 \pmod{10^6-1}[/mm];
[mm]4670046 \equiv 670050 \pmod{10^6-1}[/mm]. )Also ist auch [mm]z \equiv 670050\pmod{1001}[/mm], weil 1001 Teiler von [mm] (10^6-1) [/mm] ist.)
[mm]670050 \equiv 50 -670=-620 \pmod{1001}[/mm].
Da 7 Teiler von 1001 ist: [mm]670050 \equiv -620=7\cdot (-90)+10 \equiv 3\pmod{7}[/mm].
Also ist [mm]z \equiv 3 \pmod{7}[/mm].
Gruß
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 24.05.2009 | | Autor: | Leni-H |
Hm danke, aber was ist dann denn jetzt die Lösung? Einfach, dass ich für ein k, das sich um ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] 10^{6}-1 [/mm] von n unterscheidet, prüfen muss, ob es durch 7 teilbar ist? Ich verstehs irgendwie noch net so ganz.
|
|
|
| |
|
> Hm danke, aber was ist dann denn jetzt die Lösung? Einfach,
> dass ich für ein k, das sich um ein ganzzahliges Vielfaches
> von [mm]10^{6}-1[/mm] von n unterscheidet, prüfen muss, ob es durch
> 7 teilbar ist? Ich verstehs irgendwie noch net so ganz.
Hallo Leni,
damit wollte ich 1. begründen, warum bei dieser Rechnung das gleiche Ergebnis herauskommt, wie bei der 'direkten Rechnung' mit der Zahl selbst; 2. dass man das gewünschte Ergebnis durch Aufteilen in 6er/3er-Gruppen der Dezimalziffern, Addition/Subtraktion erhalten kann.
Noch ein Beispiel: [mm] 2338 =2*1000 +338 =2*1001 +[blue]338 -[red]2[/mm].
Es ist also [mm] 7 |2338 \gdw 7 |338 -2[/mm].
Das kann man natürlich auch mit größeren Zahlen machen; dabei werden abwechselnd 3er-Gruppen von Dezimalstellen addiert und subtrahiert: 1. 3er-Gruppe minus 2. 3er-Gruppe +3. 3er-Gruppe usw.
Ob es bei dieser Teilaufgabe *die* Lösung gibt, weiß ich nicht; aber das mit den 3er-Gruppen ist eine, die man (falls ich nicht doch noch was übersehen habe) aus dem bisherigen beweisen kann.
Gruß
zahlenspieler
|
|
|
|
