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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Mo 24.10.2005 | | Autor: | tini04 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zeige mit Hilfe der vollständigen Induktion:
i) Für alle natürlichen Zahlen n gilt: [mm] 3^{2n+1}+5 [/mm] ist durch 8 teilbar.
Ich habe bis jetzt:
zu zeigen: M := {n/ [mm] (3^{2n+1}+5)/8}=\IN
[/mm]
1) Induktionsanfang: 1 [mm] \in [/mm] M, das heißt: [mm] 3^{2*1+1}+5 [/mm] ist durch 8 teilbar. 32/8=4 und 4 [mm] \in \IN
[/mm]
2) Induktionsschritt:
Sei n [mm] \in [/mm] M, das heißt: [mm] (3^{2n+1}+5)/8=n
[/mm]
dann ist zu zeigen: n+1 [mm] \in [/mm] M, das heißt: [mm] (3^{2n+3}+5)/8=n [/mm]
[mm] <=>(3^{2n}*3^{3}+5)/8=n
[/mm]
Und ab hier weiß ich echt nicht weiter!Vielleicht ist auch der Anfang schon ganz falsch?Das schlimme ist, die Aufgabe hat noch einen zweiten Teil, bei dem ich noch nicht einmal einen Ansatz schreiben kann, weil ich sie garnicht verstehe!!!
ii) Zeigen sie: Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbat ist.
Hinweis: Stellen sie die natürliche zahln dar als n= [mm] \summe_{j=0}^{k} a_{j}*10^{j} [/mm] und zeigen sie per vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen j gilt: [mm] 10^j-1 [/mm] ist durch 9 teilbar.
Dazu weiß ich wirklich nichts.Und ich verstehe vorallem nicht, warum ich zeigen soll, dass [mm] 10^j-1 [/mm] durch 9 teilbar ist und wie ich aus dem Summengewirr die Quersumme schreiben/darstellen soll.
Bin wirklich um jede Hilfe super dankbar.
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Hallo!
Zunächst mal: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zur ersten Aufgabe: Dein Ansatz ist schon ziemlich gut! Allerdings sollte die Induktionsvoraussetzung lauten: "Sei [mm] $3^{2n+1}+5$ [/mm] durch $9$ teilbar." Im Induktionsschritt musst du dann zeigen, dass [mm] $3^{2(n+1)+1}+5$ [/mm] durch $9$ teilbar ist. Außerdem solltest du so umformen:
[mm] $3^{2n+3}=3^{2n+1}*9$. [/mm] Jetzt brauchst du nur noch zu benutzen, dass $9*a=a+8*a$ ist...
Zur zweiten Aufgabe: Die Quersumme von [mm] $\summe_{j=0}^k a_j 10^j$ [/mm] ist [mm] $\summe_{j=0}^k a_j$.
[/mm]
Kleines Beispiel: Die Quersumme von $81=8*10+1$ ist $8+1=9$.
Die Teilbarkeit von [mm] $10^j-1$ [/mm] durch $9$ hilft dir, wenn du folgendes machst:
[mm] $n=\summe_{j=0}^ka_j 10^j=\summe_{j=0}^ka_j (10^j-1)+\summe_{j=0}^k a_j$...
[/mm]
Hilft dir das ein bisschen weiter?
Gruß, banachella
PS: Sorry, dass es so lange gedauert hat. Mir ist leider etwas dazwischen gekommen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Di 25.10.2005 | | Autor: | loki36 |
> Zeige mit Hilfe der vollständigen Induktion:
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> i) Für alle natürlichen Zahlen n gilt: [mm]3^{2n+1}+5[/mm] ist
> durch 8 teilbar.
>
> Ich habe bis jetzt:
> zu zeigen: M := [mm](3^{2n+1}+5)/8}=\IN[/mm]
>
> 1) Induktionsanfang: 1 [mm]\in[/mm] M, das heißt: [mm]3^{2*1+1}+5[/mm] ist
> durch 8 teilbar. 32/8=4 und 4 [mm]\in \IN[/mm]
>
> 2) Induktionsschritt:
> Sei n [mm]\in[/mm] M, das heißt: [mm](3^{2n+1}+5)/8=n[/mm]
> dann ist zu zeigen: n+1 [mm]\in[/mm] M, das heißt:
> [mm](3^{2n+3}+5)/8=n[/mm]
> [mm]<=>(3^{2n}*3^{3}+5)/8=n[/mm]
> Und ab hier weiß ich echt nicht weiter!Vielleicht ist auch
> der Anfang schon ganz falsch?
hi
dein ansatz ist wirklich schon sehr gut aber du benutzt
> [mm]<=>(3^{2n}*3^{3}+5)/8=n[/mm]
das bringt dich so aber nicht weiter.
versuch das ganze auf die induktionsvorraussetzung zurück zuführen,
allso [mm] (3^{2n+1}*3^2+5)/8=n [/mm] daraus folgt dann:
[mm] (3^{2n+1}*9+5)/8=n
[/mm]
[mm] (3^{2n+1}*(8+1)+5)/8=n
[/mm]
[mm] (3^{2n+1}*8+3^{2n+1}+5)/8=n
[/mm]
jetzt kannst du eigentlich schon dein fazit ziehen ums elegant zu machen kannst du es aber auchnoch leicht umschreiben und dann argumentieren.
[mm] (3^{2n+1}*8)/8 [/mm] + [mm] (3^{2n+1}+5)/8=n
[/mm]
mfg
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Hallo zusammen !
Ich möchte jetzt einfach mal dieen Thread noch mal aufgreifen, denn ich hab da so ein ähnliches Problem, bei dem ich auch nicht weiter komme !
Wäre nett, wenn mir einer helfen könnte !
Beweise: Für jede natürliche Zahl n ist $ [mm] 4^{2n+1}+3^{n+2} [/mm] $ durch 13 teilbar !
Ok, der Induktionsanfang ist klar, das hab ich soweit eigentlich :
n=1: $ [mm] 4^{2*1+1}+3^{1+2} [/mm] $ = 91
91 ist durch 13 teilbar !
Dann mach ich das selbe mit n+1:
$ [mm] 4^{2(n+1)+1}+3^{(n+1)+2} [/mm] $ = $ [mm] 4^{2n+3}+3^{n+3} [/mm] $ =
So, und nun beißts aus ...
Die nächsten Schritte sind mir irgendwie unklar !
Hab hier absolut keinen Plan wie ich das hier machen soll.
Wäre nett von euch , wenn mir einer hier unter die Arme greifen könnte !
Vielen Dank schon mal im Voraus dafür !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Do 17.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Julchen,
> Hallo zusammen !
>
> Ich möchte jetzt einfach mal dieen Thread noch mal
> aufgreifen, denn ich hab da so ein ähnliches Problem, bei
> dem ich auch nicht weiter komme !
Du solltest mit einer neuen Aufgabe ruhig einen neuen Thread eröffnen. Wahrscheinlich sehen sich dann noch mehr Mitglieder deine Aufgabe an.
> Wäre nett, wenn mir einer helfen könnte !
>
> Beweise: Für jede natürliche Zahl n ist [mm]4^{2n+1}+3^{n+2}[/mm]
> durch 13 teilbar !
>
> Ok, der Induktionsanfang ist klar, das hab ich soweit
> eigentlich :
>
> n=1: [mm]4^{2*1+1}+3^{1+2}[/mm] = 91
> 91 ist durch 13 teilbar !
>
> Dann mach ich das selbe mit n+1:
>
> [mm]4^{2(n+1)+1}+3^{(n+1)+2}[/mm] = [mm]4^{2n+3}+3^{n+3}[/mm] =
Der erste Schritt ist immer: den Term so umforman, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst. Also:
[mm]4^{2n+3}+3^{n+3}[/mm]
[mm] = 4^{2n+1}\cdot 16 + 3^{n+2} \cdot 3 [/mm]
[mm] = 4^{2n+1}\cdot (13 + 3) + 3^{n+2} \cdot 3 [/mm]
[mm] = 4^{2n+1}\cdot 3 + 3^{n+2} \cdot 3 + 13 \cdot 4^{2n+1}[/mm]
Ich denke, jetzt kommst du selber klar, oder?
Gruß
Sigrid
>
> So, und nun beißts aus ...
> Die nächsten Schritte sind mir irgendwie unklar !
> Hab hier absolut keinen Plan wie ich das hier machen soll.
>
> Wäre nett von euch , wenn mir einer hier unter die Arme
> greifen könnte !
> Vielen Dank schon mal im Voraus dafür !
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