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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Teilbarkeitsaussagen: Für alle ganzen Zahlen a, b, c, d, k, l gilt:
a) [mm] $d|a\Rightarrow [/mm] d|ab$
b) [mm] $d|c\wedge c|a\Rightarrow [/mm] d|a$
c) [mm] $d|a\wedge d|b\Rightarrow [/mm] d|ka+lb$ |
Hallo Leute,
ich wollte gerne wissen, ob meine Ansätze stimmen.
a)
Die Aussage gilt nicht. Gegenbeispiel: d=15, a=3, b=4
[mm] 3|15\Rightarrow [/mm] 12|15 Widerspruch.
b)
[mm] $d|c\iff c=x*d\wedge c|a\iff a=y*c\wedge d|a\iff [/mm] a=z*d$
[mm] $\Rightarrow a=y*x*d\Rightarrow [/mm] d|a$
c)
[mm] $d|a\iff a=x*d\wedge d|b\iff b=y*d\wedge [/mm] ka+lb=z*d$
[mm] $\Rightarrow [/mm] k(x*d)+l(y*d)=z*d$ d lässt sich kürzen. Damit [mm] gilt:$d|a\wedge d|b\Rightarrow [/mm] d|ka+lb$
Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Hilfe.
Liebe Grüße
Christoph
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> Beweisen Sie folgende Teilbarkeitsaussagen: Für alle
> ganzen Zahlen a, b, c, d, k, l gilt:
>
> a) [mm]d|a\Rightarrow d|ab[/mm]
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> b) [mm]d|c\wedge c|a\Rightarrow d|a[/mm]
>
> c) [mm]d|a\wedge d|b\Rightarrow d|ka+lb[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich wollte gerne wissen, ob meine Ansätze stimmen.
>
> a)
>
> Die Aussage gilt nicht. Gegenbeispiel: d=15, a=3, b=4
>
> [mm]3|15\Rightarrow[/mm] 12|15 Widerspruch.
>
Hallo,
Dein Gegenbeispiel ist gar nicht überzeugend.
Du hast wohl Buchstabensalat gemacht.
> b)
>
> [mm]d|c\iff c=x*d\wedge c|a\iff a=y*c\wedge d|a\iff a=z*d[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a=y*x*d\Rightarrow d|a[/mm]
Du meinst es richtig, aufgeschrieben ist es grausig.
Es gelte d|c und c|a.
dann gibt es [mm] x,y\in \IZ [/mm] mit c=x*d und a=y*c.
Also ist [mm] a=y*(x*d)=\underbrace{(y*x)}_{\in \IZ}*d
[/mm]
==> d|a.
>
> c)
> [mm]d|a\iff a=x*d\wedge d|b\iff b=y*d\wedge ka+lb=z*d[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow k(x*d)+l(y*d)=z*d[/mm] d lässt sich kürzen. Damit
> gilt:[mm]d|a\wedge d|b\Rightarrow d|ka+lb[/mm]
Auch hier stimmt die grobe Idee, der Aufschrieb und "kürzen" ist nix.
Es gelte d|a und d|b, dh. es gibt [mm] x,y\in \IZ [/mm] mit
a=xd und b=yd.
Seien nun [mm] k\l\in \IZ.
[/mm]
Es ist ka+lb=kxd+lyd= [mm] \underbrace{(kx+ly)}_{\in \IZ}d [/mm] ==> d|ka+lb.
LG Angela
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Hallo Angela,
> Hallo,
>
> Dein Gegenbeispiel ist gar nicht überzeugend.
> Du hast wohl Buchstabensalat gemacht.
> > LG Angela
ich weiß jetzt nicht so recht was ich genau falsch gemacht habe. Was meinst du?
Liebe Grüße
Christoph
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> a) [mm] $d|a\Rightarrow [/mm] d|ab$
> Die Aussage gilt nicht.
> Gegenbeispiel: d=15, a=3, b=4
> [mm] 3|15\Rightarrow [/mm] 12|15 Widerspruch.
Hallo,
das ist doch Kokolores.
Es fängt damit an,daß Dein d Dein a nicht teilt, im Gegensatz zur Voraussetzung der kl. Aussage, die Du zeigen sollst.
LG Angela
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Hallo Angela,
jetzt peil' ich das erst. Dann geht die Aussage.
[mm] $a=d*x\wedge [/mm] ab=d*y$
[mm] $\Rightarrow (d*x)b=d*y\iff \underbrace{d*(xb-y)=0}_{\in\IZ}$
[/mm]
Ist es jetzt ok?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, du setzt ja schon voraus, was du eigentlich zeigen sollst!
Gegeben hast du $d|a$, also gibt es ein [mm] $x\in\IZ$ [/mm] sodass $a=dx$, das ist richtig. Zeigen sollst du nun $d|ab$ für jedes [mm] $b\in\IZ$, [/mm] also dass es ein [mm] y\in\IZ [/mm] gibt mit $ab=dy$ (das hast du vorher einfach schon vorausgesetzt!).
Ok, also es gilt $a=dx$. Rauskommen soll $ab=dy$. Wie kannst du das bewerkstelligen?
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Hallo Teufel,
ich schätze man muss mit b malnehmen. Dann ist das b eine Konstante rechts der Gelichung und die Aussage ist wahr. Stimmt's?
$a=dx |*b [mm] \iff ab=d\underbrace{xb}_{\in\IZ}$
[/mm]
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Teufel |
Genau, dein y ist dann also gleich [mm] $xb\in\IZ$.
[/mm]
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