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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen,
wir hatten heute in der Vorlesung die Definition eines Teiler einer natürlichen Zahl und danach den Satz zu verschiedenen Rechenregeln:
a) a|b [mm] \wedge [/mm] a|c [mm] \Rightarrow [/mm] a|(b+c) (Summenregel)
b) a|b [mm] \wedge [/mm] a|c [mm] \Rightarrow [/mm] a|(b-c) (Differenzregel)
c) 1.) a|b [mm] \Rightarrow [/mm] a|(b*n) für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
2.) a|b [mm] \wedge [/mm] c|d [mm] \Rightarrow [/mm] a*c|b*d (Allgmeine Produktregel)
Jetzt frag ich mich, ob es auch eine "Quotientenregel" gibt.
Habe das versucht mit der Definition zu beweisen, komme da aber nicht weit.
Habe es so versucht:
a|b [mm] \wedge [/mm] a|c [mm] \Rightarrow [/mm] a|(b:c) für b>c und [mm] b\not=c
[/mm]
dann gibt es n,m [mm] \in\IN [/mm] mit: n*a=b und m*a=c
Dividieren fühtr zu: (n*a):(m*a)=b:c
Und nun?
Oder habe ich schon die falsche Behauptung aufgeschrieben?
Viele Grüße
Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mo 25.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du [mm] \bruch{b}{c} [/mm] teilst, gilt:
[mm] \bruch{b}{c}=\bruch{ma}{na}=\bruch{m}{n}
[/mm]
Und nun? 
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Hallo
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> Wenn du [mm]\bruch{b}{c}[/mm] teilst, gilt:
>
> [mm]\bruch{b}{c}=\bruch{ma}{na}=\bruch{m}{n}[/mm]
>
> Und nun?
>
> Marius
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Dann ist a weg... also teilt a [mm] \bruch{m}{n} [/mm] nicht ?
Gibt es denn solch eine "Quotientenregel", wenn ich anders vorgehe?
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Hallo Ferolei,
> > Hallo
> >
> > Wenn du [mm]\bruch{b}{c}[/mm] teilst, gilt:
> >
> > [mm]\bruch{b}{c}=\bruch{ma}{na}=\bruch{m}{n}[/mm]
> >
> > Und nun?
> >
> > Marius
> >
>
> Dann ist a weg... also teilt a [mm]\bruch{m}{n}[/mm] nicht ?
>
> Gibt es denn solch eine "Quotientenregel", wenn ich anders
> vorgehe?
Es sind [mm]\IN[/mm] und [mm]\IZ[/mm] keine Körper, es gibt also i.d.R. keine multiplikativen Inversen, du verlässt mit der Division die Zahlbereiche!
Einfaches Gegenbsp. für eine Quotientenregel:
[mm]3\mid 15[/mm] und [mm]3\mid 6[/mm], aber was soll bitte [mm]3\mid (15:6)[/mm] bedeuten??
[mm]\frac{15}{6}\not\in\IZ \ \left(\not\in\IN\right)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Ferolei |
> Es sind [mm]\IN[/mm] und [mm]\IZ[/mm] keine Körper, es gibt also i.d.R.
> keine multiplikativen Inversen, du verlässt mit der
> Division die Zahlbereiche!
>
> Einfaches Gegenbsp. für eine Quotientenregel:
>
> [mm]3\mid 15[/mm] und [mm]3\mid 6[/mm], aber was soll bitte [mm]3\mid (15:6)[/mm]
> bedeuten??
>
> [mm]\frac{15}{6}\not\in\IZ \ \left(\not\in\IN\right)[/mm]
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Ah, danke :) ich hatte immer Beispiele, bei denen das geklappt hat. Daher konnte ich bis eben nicht ausschließen, dass es solch eine Regel geben könnte.
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ich habe aber noch eine Frage. Habe schon in Büchern geschaut, aber finde dazu nichts.
Ich habe auf einer Übung gezeigt, dass die Schnittmenge zweier Teilermengen wieder eine Teilermenge darstellt. Nämlich genau die Teilermenge des ggTs von den beiden Mengen.
Kann man solch eine Aussage auch über die Vereinigungsmenge machen?
Habe mir mal ein Beispiel aufgeschrieben und versucht, daraus Informationen zu bekommen. Aber mir fällt da nichts auf.
Viele Grüße und danke für die geistige Unterstützung :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mo 25.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe aber noch eine Frage. Habe schon in Büchern
> geschaut, aber finde dazu nichts.
>
> Ich habe auf einer Übung gezeigt, dass die Schnittmenge
> zweier Teilermengen wieder eine Teilermenge darstellt.
> Nämlich genau die Teilermenge des ggTs von den beiden
> Mengen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann man solch eine Aussage auch über die
> Vereinigungsmenge machen?
Nicht direkt. Du kannst zu einer endlichen Teilmenge $M$ von [mm] $\IZ$ [/mm] die "kleinste Teilermenge, die $M$ umfasst" definieren. Diese ist dann die Teilermenge des kgVs der Zahlen in $M$.
Im allgemeinen ist die Vereinigung von Teilermengen jedoch keine Teilermenge: ist etwa [mm] $M_1 [/mm] = [mm] \{ 1, 2 \}$ [/mm] und [mm] $M_2 [/mm] = [mm] \{ 1, 3 \}$, [/mm] so ist [mm] $M_1 \cup M_2 [/mm] = [mm] \{ 1, 2, 3 \}$ [/mm] keine Teilermenge. Wenn man jedoch 6 hinzufuegt, wird es eine -- und zwar die kleinste Teilermenge, die [mm] $M_1 \cup M_2$ [/mm] umfasst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ne, die Frage war eher so gemeint:
Wenn ich z.B. T(8) und T(12) habe, dann ist doch:
T(8) [mm] \cup [/mm] T(12) = {1,2,3,4,6,8,12}
Kann man dann diese Menge irgendwie interpretieren? Also gibt es da einen ähnlichen oder anderen interessanten Zusammenhang wie bei der Schnittmenge?
Liebe Grüße
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Hallo Ferolei,
nein, da gibt es keinen weiteren Zusammenhang außer dem, den Felix schon erklärt hat. In Deinem Beispiel müsstest Du also noch die 24 hinzufügen, damit die Vereinigungsmenge sinnvoll interpretiert werden kann.
Schlimmer wird es, wenn die beiden zugrundeliegenden Zahlenmutterschiffe in stärkerem Maß teilerfremd sind...
Schauen wir uns mal T(12) und T(70) an:
$ [mm] T(12)=\{1,2,3,4,6,12\},\ \mbox{ }T(70)=\{1,2,5,7,10,14,35,70\} [/mm] $
Dann ist also $ [mm] T(12)\cup T(70)=\{1,2,3,4,5,6,7,10,12,14,35,70} [/mm] $
Da fehlen aber noch einige Teiler, um T(kgV(12;70))=T(420) zu erreichen, darunter die 15, die 21 und die 105, um nur einige zu nennen.
Du siehst, auch der kgV-Hinweis von Felix ist nicht soooo produktiv, aber eben der einzige, der hier möglich war.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Ferolei |
OK, ich danke euch aber für die Information !
LG, Ferolei
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