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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | | Zu zeigen, dass für alle nat. Zahlen n die Zahl [mm] (5^{1+6n} [/mm] + [mm] 2^{1+3n}) [/mm] durch 7 teilbar ist. |
d.h. also 7 teilt [mm] (5^{1+6n} [/mm] + [mm] 2^{1+3n}) [/mm]
0 [mm] \equiv 5^{1+6n} [/mm] + [mm] 2^{1+3n}
[/mm]
= [mm] 5^{1} [/mm] * [mm] 5^{6n} [/mm] + [mm] 2^{1} [/mm] * [mm] 2^{3n}
[/mm]
Jedoch weiter komme ich nicht, vielleicht wäre es möglich, mittels vollst. Induktion zu beweisen, aber wie? Wäre super, wenn mir jemand hier weiterhelfen könnte.
Danke für Eure Zeit!
Lg Sr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Roli!
Stimmt: mit vollständiger Induktion geht es auch sehr schön.
Dabei musst Du im Induktionsschritt wie folgt umformen:
[mm] $$5^{1+6*(n+1)}+2^{1+3*(n+1)}$$
[/mm]
$$= \ [mm] 5^{1+6*n+6}+2^{1+3*n+3}$$
[/mm]
$$= \ [mm] 5^{1+6*n}*5^6+2^{1+3*n}*2^3$$
[/mm]
$$= \ [mm] 5^{1+6*n}*15625+2^{1+3*n}*8$$
[/mm]
$$= \ [mm] 5^{1+6*n}*(1+15624)+2^{1+3*n}*(1+7)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \blue{5^{1+6*n}+2^{1+3*n}} [/mm] \ + \ [mm] \red{15624*5^{1+6*n}+7*2^{1+3*n}}$$
[/mm]
Und nun die beiden farbigen Terme separat untersuchen ...
Gruß
Loddar
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