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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Gegeben sind folgende Aussagen für natürliche Zahlen:
A1: Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
A2: Nur alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
a)
Schreiben Sie beiden Aussagen soweit wie möglich um unter Verwendung von logischen Symbolen und mathematischer Notation um. Benutzen Sie dabei die Schreibweise: a | b [mm] \gdw [/mm] b ist durch a teilbar. |
Hallo,
Hier mein Lösungsvorschlag:
A1: Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
[mm] \gdw [/mm] Für alle Zahlen x gilt: x ist durch 4 teilbar und x ist durch 2 teilbar.
[mm] \gdw [/mm] Für alle Zahlen x gilt: (4 | x) [mm] \wedge [/mm] (2 | x)
------
A2: Nur alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
[mm] \gdw [/mm] Für alle zahlen x gilt: Wenn x durch 4 teilbar ist, dann ist auch x durch 2 teilbar.
[mm] \gdw [/mm] Für alle Zahlen x gilt: (4 | x) [mm] \Rightarrow [/mm] (2 | x)
Ist das so richtig?
--------
b) (Editiert drangehängt)
Prüfen Sie jeweils den Wahrheitsgehalt der beider Aussagen (Begründung).
A1: Die Aussage ist wahr, da jede Zahl, die durch 4 teilbar ist, eine gerade Zahl ist und somit auch durch 2 teilbar ist.
A2: Die Aussage ist falsch, da z.b. 2 nicht durch 4 teilbar ist (ohne Rest), jedoch 2 durch 2 teilbar ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sind folgende Aussagen für natürliche Zahlen:
> A1: Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
> A2: Nur alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2
> teilbar.
>
> a)
> Schreiben Sie beiden Aussagen soweit wie möglich um unter
> Verwendung von logischen Symbolen und mathematischer
> Notation um. Benutzen Sie dabei die Schreibweise: a | b
> [mm]\gdw[/mm] b ist durch a teilbar.
>
>
> Hallo,
>
>
> Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> A1: Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
>
> [mm]\gdw[/mm] Für alle Zahlen x gilt: x ist durch 4 teilbar und x
> ist durch 2 teilbar.
hier ist das doch schon falsch. Die Ausgangsaussage war doch sowas wie (anders formuliert): $x [mm] \in \{4,8,12,16,20,....\} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \{2,4,6,8,10,12,14,....\}$, [/mm] während das, was Du geschrieben hast, bedeutet:
$x [mm] \in \IN \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \{4,8,12,16,20,...\} \cap \{2,4,6,8,10,12,14,...\}$
[/mm]
D.h. Deine Aussage würde etwa auch bedeuten: Weil [mm] $x=3\,$ [/mm] eine natürliche Zahl ist, dann ist [mm] $x\,$ [/mm] durch [mm] $4\,$ [/mm] und durch [mm] $2\,$ [/mm] teilbar.
Die Aussage, die in der Aufgabe steht, kann man so formulieren:
$$[(x [mm] \in \IN) \wedge [/mm] (4 | x)] [mm] \Rightarrow (2|x)\,.$$
[/mm]
Weil $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ nichts anderes besagt als "(nicht [mm] $B\,$) [/mm] oder [mm] $A\,$ [/mm] " kannst Du das auch schreiben als:
[mm] $\neg(2|x) \text{ oder } [/mm] [(x [mm] \in \IN) \wedge [/mm] (4 | x)] [mm] \,.$
[/mm]
Oder auch per Kontraposition (mal wieder ausformuliert):
Wenn [mm] $2\,$ [/mm] kein Teiler von [mm] $x\,$ [/mm] ist, dann folgt:
$x [mm] \notin \IN$ [/mm] oder [mm] $4\,$ [/mm] ist kein Teiler von [mm] $x\,.$ [/mm]
P.S.:
Du hattest hier recht, dass die Aussage stimmt. Beweisen kannst Du es so:
Jede durch [mm] $4\,$ [/mm] teilbare natürliche Zahl [mm] $z\,$ [/mm] kann man schreiben als
[mm] $$z=4*k\,,$$
[/mm]
mit einer natürlichen Zahl [mm] $k\,.$
[/mm]
Du musst nun zeigen: "Solche" [mm] $z\,$ [/mm] kann man auch schreiben als
$$z=2*m$$
mit einer natürlichen Zahl [mm] $m\,.$ [/mm] Das bekommst Du sicher hin, oder?
(Das ist dann auch wirklich ein Beweis. Wenn Du sagst, dass die Aussage, dass jede natürliche Zahl, die durch 4 teilbar ist, auch durch 2 teilbar ist, weil jede durch 4 teilbare Zahl auch durch 2 teilbar ist, dann beweist das gar nichts. Das einzige, was man noch einigermaßen "mit Worten" als Begründung akzeptieren würde, wäre, wenn Du sagst: Weil 4 durch 2 teilbar ist, ist jede Zahl, die durch 4 teilbar ist, auch durch 2 teilbar. Formal sauberes aufschreiben führt dann sicher zu dem, was ich oben geschrieben habe, was Du machen sollst!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sind folgende Aussagen für natürliche Zahlen:
> A1: Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
> A2: Nur alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2
> teilbar.
>
> a)
> Schreiben Sie beiden Aussagen soweit wie möglich um unter
> Verwendung von logischen Symbolen und mathematischer
> Notation um. Benutzen Sie dabei die Schreibweise: a | b
> [mm]\gdw[/mm] b ist durch a teilbar.
> A2: Nur alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2
> teilbar.
Ohne das von Dir alles nochmal zu korrigieren: Diese Aussage bedeutet, dass, wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, sie auch durch 4 teilbar gewesen ist. Das stand bei Deinen Folgerungen nicht.
Hier wäre die Implikation
"Wenn 2 ein Teiler von x war, dann ist auch 4 ein Teiler von x"
hinzuschreiben. Dass diese Behauptung falsch ist, zeigt schon [mm] $x=2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo Marcel,
Danke für deine Antworten.
Zunächst einmal nur Aufgabenteil a):
A1:
A1 ist natürlich falsch, ist mir grad direkt beim 1. lesen aufgefallen...
Also nochmal hier die verbesserte komplette Version zu A1: (Unser Prof möchte es sehr ausführlich haben)
A1: Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
B: x ist eine natürliche Zahl.
C: x ist durch 4 teilbar.
D: x ist durch 2 teilbar.
A1: Wenn x eine natürliche Zahl ist und durch 4 teilbar ist, dann ist sie auch durch 2 teilbar.
A1: ( B [mm] \wedge [/mm] C ) [mm] \Rightarrow [/mm] D
B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in \IN
[/mm]
C [mm] \gdw [/mm] 4|x
D [mm] \gdw [/mm] 2|x
A1: (( x [mm] \in \IN [/mm] ) [mm] \wedge [/mm] ( 4|x )) [mm] \Rightarrow [/mm] 2|x
----------------------
A2:
A2: Nur alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
B: x ist eine natürliche Zahl.
C: x ist durch 2 teilbar.
D: x ist durch 4 teilbar.
A2: Wenn x eine natürliche Zahl ist und durch 2 teilbar ist, dann ist sie auch durch 4 teilbar.
A1: ( B [mm] \wedge [/mm] C ) [mm] \Rightarrow [/mm] D
B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in \IN
[/mm]
C [mm] \gdw [/mm] 2|x
D [mm] \gdw [/mm] 4|x
A1: (( x [mm] \in \IN [/mm] ) [mm] \wedge [/mm] ( 2|x )) [mm] \Rightarrow [/mm] 4|x
Ist das so jetzt richtig?
Ist auch alles saube rund korrekt aufgeschrieben, oder fehlen irgendwo z.b. Äquvalenzzeichen etc.?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> Danke für deine Antworten.
>
> Zunächst einmal nur Aufgabenteil a):
>
> A1:
> A1 ist natürlich falsch, ist mir grad direkt beim 1.
> lesen aufgefallen...
> Also nochmal hier die verbesserte komplette Version zu A1:
> (Unser Prof möchte es sehr ausführlich haben)
>
> A1: Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
>
> B: x ist eine natürliche Zahl.
> C: x ist durch 4 teilbar.
> D: x ist durch 2 teilbar.
>
> A1: Wenn x eine natürliche Zahl ist und durch 4 teilbar
> ist, dann ist sie auch durch 2 teilbar.
>
> A1: ( B [mm]\wedge[/mm] C ) [mm]\Rightarrow[/mm] D
>
> B [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in \IN[/mm]
> C [mm]\gdw[/mm] 4|x
> D [mm]\gdw[/mm] 2|x
>
> A1: (( x [mm]\in \IN[/mm] ) [mm]\wedge[/mm] ( 4|x )) [mm]\Rightarrow[/mm] 2|x
>
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> ----------------------
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> A2:
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> A2: Nur alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
>
> B: x ist eine natürliche Zahl.
> C: x ist durch 2 teilbar.
> D: x ist durch 4 teilbar.
>
> A2: Wenn x eine natürliche Zahl ist und durch 2 teilbar
> ist, dann ist sie auch durch 4 teilbar.
>
> A1: ( B [mm]\wedge[/mm] C ) [mm]\Rightarrow[/mm] D
>
> B [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in \IN[/mm]
> C [mm]\gdw[/mm] 2|x
> D [mm]\gdw[/mm] 4|x
>
> A1: (( x [mm]\in \IN[/mm] ) [mm]\wedge[/mm] ( 2|x )) [mm]\Rightarrow[/mm] 4|x
>
>
>
> Ist das so jetzt richtig?
> Ist auch alles saube rund korrekt aufgeschrieben, oder
> fehlen irgendwo z.b. Äquvalenzzeichen etc.?
so auf die Schnelle sieht das, denke ich, gut aus. Wobei ich natürlich, und das hatte ich vorhin auch schon vorausgesetzt, angenommen habe, dass ihr jetzt unter "teilbaren Zahlen" auch nur natürliche betrachtet. Man könnte oben ja auch ein wenig allgemeiner $x [mm] \in \IZ$ [/mm] anstatt $x [mm] \in \IN$ [/mm] benutzen. Aber das sei uns erstmal wurscht - es geht (mir jedenfalls) nicht eindeutig aus der Aufgabenformulierung hervor.
Edit: Vergiss das durchgestrichene, es steht doch ganz klar in der Aufgabe. Ich hab's wohl überlesen gehabt!!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Jack159 |
Alles klar, danke dir vielmals ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Gegeben sind folgende Aussagen für natürliche Zahlen:
> A1: Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
>
>
> Hallo,
>
>
> Hier mein Lösungsvorschlag:
>
> A1: Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind durch 2 teilbar.
>
> [mm]\gdw[/mm] Für alle Zahlen x gilt: x ist durch 4 teilbar und x
> ist durch 2 teilbar.
bitte achte drauf: Die Aussage "Für alle durch 4 teilbaren Zahlen gilt" ist eine Kurzformulierung für "Für jede Zahl [mm] $x\,,$ [/mm] die durch 4 teilbar ist, gilt" bzw. "Ist [mm] $x\,$ [/mm] eine Zahl und [mm] $x\,$ [/mm] durch [mm] $4\,$ [/mm] teilbar, so gilt:"
Damit erfasst man die Zahlen der Menge [mm] $\{4,8,12,16,18,....\}$ [/mm] und sagt, dass die gewisse Eigenschaften haben.
Deine Formulierung "erfasst alle Zahlen und sagt dann, dass eine jede Zahl schonmal die EIgenschaft hat, durch 4 teilbar zu sein und ...."
Gruß,
Marcel
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