Teiler und Ideale < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Mo 08.08.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
ich habe gerade mit 2 (vermutlich ziemlich einfachen) Aufgaben Startschwierigkeiten.
1. Es gilt ad-bc= 1 für a,b,c,d aus Z. z.Z (a+b)/(c+d) ist unkürzbar.
ich muß ja dann zeigen, dass kein g= ggT(a+b, c+d) existiert mit g teilt a+b und g teilt c+d,
also würde ich einfach versuchen diesen ggT auszurechen und dann zeigen, dass er nicht existiert, so jetzt weiß ich nicht mehr weiter.
2. sei n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2. Beschreiben Sie alle Ideale des Rings [mm] \IZ [/mm] \ n [mm] \IZ [/mm] und zeigen Sie, dass er ein Hauptidealring ist.
so ich habe ersteinmal die Ideale {0+ n [mm] \IZ [/mm] }= {r*n+ n [mm] \IZ [/mm] } und { [mm] \IZ [/mm] \ n [mm] \IZ [/mm] } also das Nullideal und der Ring selbst.
Wie zeige ich jetzt dass dies alle Ideale sind. (Es ist klar dass es Hauptideale sind)
Oder vertue ich mich so sehr und es gibt mehr als die zwei?
|
|
| |
|
Nimm an, daß es ganze Zahlen [mm]g,u,v[/mm] mit [mm]g>1[/mm] gibt, so daß
[mm]a+b = gu \, , \ \ c+d = gv[/mm]
Dann berechne [mm](a+b)(d-c)+(a-b)(d+c)[/mm] und verwende die Voraussetzung sowie die obige Annahme. So müßte es gehen.
Nachtrag:
Es ist noch viel einfacher, als ich zunächst dachte. Der Vorschlag oben ist viel zu trickreich. Es geht auch, wenn du die erste Gleichung nach [mm]b[/mm] und die zweite nach [mm]d[/mm] auflöst und in die Voraussetzung einsetzt.
|
|
|
| |
|
Hallo Britta,
Zu Deiner zweiten Frage. Wenn es sich um ein Primideal handelt, wenn also n eine Primzahl ist, dann gibt außer dem Nullideal und dem gesamten Ring keine weiteren Ideale, da der Ring dann ein Körper ist.
Ansonsten musst Du die Zahl n faktorisieren, und ihre Teiler bestimmen. Für jeden Teiler d von n ist [mm] $d*\IZ$ [/mm] (präzise [mm] $d*(\IZ/n)$) [/mm] ein Ideal von [mm] $\IZ/n$, [/mm] und das sind schon alle. Da es sich um einen Hauptidealring (kurz: HIRN, ja, normalerweise kürzt man es als HIR ab, aber ich bin ein Scherzkeks) handelt (siehe unten), müssen das alle sein.
Um zu zeigen, dass der Ring ein HIRN ist, lässt sich der Beweis dafür, dass [mm] \IZ [/mm] ein HIRN ist, ganz einfach modifizieren.
Liebe Grüße,
Holy Diver
|
|
|
|
