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| Aufgabe | 6.
a) Man soll zeigen, dass für die Teileranzahlfunktion d(n) die folgende Ungleichung erfüllt ist:
$d(n) < (k [mm] \log [/mm] n [mm] )^{2^{q}}n^{1/q}$, [/mm] für [mm] $q\in \IR [/mm] > 0, [mm] n\ge [/mm] 2 [mm] \in \IN$
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie zuerst dass für ein primes p gilt: falls [mm] $p<2^{q}$ [/mm] dann gilt: [mm] $1+ord_{p}n\le 1+\frac{\log n}{\log p} \le 1+\frac{\log n}{\log 2} \le \frac{2}{\log 2}\log [/mm] n$ und für [mm] $p\ge 2^{q}$ [/mm] gilt: [mm] $1+ord_{p}n \le 2^{ord_{p}n} \le p^{(ord_{p}n)/q}$
[/mm]
b) Man zeige: [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log d(n)}{log(n)} [/mm] = 0$ |
Hi,
Ich schaffe es bei a) nicht, die Ungleichungen mit den [mm] $ord_{p}n$ [/mm] zu zeigen: [mm] $$1+ord_{p}n\le 1+\frac{\log n}{\log p}$$ [/mm] für [mm] $p<2^{q}$ [/mm]
und [mm] $$1+ord_{p}n \le 2^{ord_{p}n} \le p^{(ord_{p}n)/q}$$ [/mm] für
$p [mm] \ge 2^{q}$. [/mm] Ich sehe auch nicht, wie man dies (also den Hinweis) dann verwenden könnte, um die Ungleichung zu zeigen. Bei b) habe ich angesetzt mit:
[mm] $$\frac{\log d(n)}{n} [/mm] < [mm] \frac{\log d(n)}{\log(n)} [/mm] < [mm] \frac{\log ((\frac{2}{\log 2} \log n)^{2^{q}}n^{1/q})}{\log (n)}$$ [/mm]
Dies führt dann auf [mm] $$\frac{\log ((\frac{2}{\log 2} \log n)^{2^{q}}n^{1/q})}{\log (n)} [/mm] = [mm] \frac{2^{q}\log \frac{2}{\log 2}+ \log \log n - q\log n }{\log n}$$
[/mm]
Und scheint deswegen kein brauchbarer Ansatz zu sein.
Hat jemand eine Idee und mag mir auf die Sprünge helfen?
Mit freundlichen Grüssen:
Dumpfbacke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Fr 09.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 6.
> a) Man soll zeigen, dass für die Teileranzahlfunktion
> d(n) die folgende Ungleichung erfüllt ist:
>
> [mm]d(n) < (k \log n )^{2^{q}}n^{1/q}[/mm], für [mm]q\in \IR > 0, n\ge 2 \in \IN[/mm]
>
> Hinweis: Zeigen Sie zuerst dass für ein primes p gilt:
> falls [mm]p<2^{q}[/mm] dann gilt: [mm]1+ord_{p}n\le 1+\frac{\log n}{\log p} \le 1+\frac{\log n}{\log 2} \le \frac{2}{\log 2}\log n[/mm]
> und für [mm]p\ge 2^{q}[/mm] gilt: [mm]1+ord_{p}n \le 2^{ord_{p}n} \le p^{(ord_{p}n)/q}[/mm]
>
> b) Man zeige: [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log d(n)}{log(n)} = 0[/mm]
>
> Hi,
>
> Ich schaffe es bei a) nicht, die Ungleichungen mit den
> [mm]$ord_{p}n$[/mm] zu zeigen: [mm]1+ord_{p}n\le 1+\frac{\log n}{\log p}[/mm]
> für [mm]$p<2^{q}$[/mm]
Es gilt [mm] $p^{ord_p n} \mid [/mm] n$ und somit [mm] $p^{ord_p n} \le [/mm] n$. Ziehe Logarithmen und dann bist du fast fertig.
> und [mm]1+ord_{p}n \le 2^{ord_{p}n} \le p^{(ord_{p}n)/q}[/mm] für
Fuer die erste Ungleichung zeige allgemein $1 + x [mm] \le 2^x$ [/mm] fuer $x [mm] \ge [/mm] 0$. Das ist echt nicht so schwer (mit vollstaendiger Induktion geht es ganz gut).
Fuer die zweite Ungleichung beachte [mm] $p^{x/q} \ge (2^q)^{x/q} [/mm] = [mm] 2^{q \cdot x/q}$.
[/mm]
> [mm]p \ge 2^{q}[/mm]. Ich sehe auch nicht, wie man dies (also den
> Hinweis) dann verwenden könnte, um die Ungleichung zu
> zeigen. Bei b) habe ich angesetzt mit:
>
> [mm]\frac{\log d(n)}{n} < \frac{\log d(n)}{\log(n)} < \frac{\log ((\frac{2}{\log 2} \log n)^{2^{q}}n^{1/q})}{\log (n)}[/mm]
Links kannst du auch einfach $0 [mm] \le \frac{\log d(n)}{\log n}$ [/mm] schreiben. Macht das ganze einfacher.
> Dies führt dann auf [mm]\frac{\log ((\frac{2}{\log 2} \log n)^{2^{q}}n^{1/q})}{\log (n)} = \frac{2^{q}\log \frac{2}{\log 2}+ \log \log n - q\log n }{\log n}[/mm]
Nein, das stimmt so nicht. Schau dir nochmal genau die Rechengesetze fuer Potenzen und Logarithmen an.
LG Felix
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