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| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm] \sum_{n,m \in \mathbb{N}: ggT(n,m)=1} \frac{1}{n^{2} m^{2}}= \frac{ \zeta^{2}(2) }{ \zeta(4) } [/mm] und drücken Sie ferner [mm] \sum_{n_{1},...,m_{m}\in \mathbb{N}: ggT(n_{1},...,n_{m})=1} \prod_{i=1}^{m} n_{i}^{-s_{i}} [/mm] durch Zetafunktionen aus, wobei $ [mm] Re(s_{i})>1 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] i $ |
Hallo!
Wir wissen bereits, dass die Dirichletreihe der Funktion [mm] 2^{\nu(n)}, [/mm] wobei [mm] \nu [/mm] die Anzahl verschiedener Primfaktoren zählt [mm] \frac{\zeta^{2}(s)}{\zeta(s)} [/mm] ist. Man müsste also zeigen, dass [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{\nu(n)}}{n^{2}}=\sum_{n,m \in \mathbb{N}: ggT(n,m)=1} \frac{1}{n^{2} m^{2}}
[/mm]
Nun hab ich die linke Summe mal nach [mm] \nu(n) [/mm] aufgespaltet:
[mm] \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n\in \mathbb{N}:\nu(n)=m} 2^{m} n^{-2} [/mm] aber ich hab nicht gesehen, wie mir das helfen sollte.
Dann kann man das ganze noch über Eulerprodukte versuchen, dann komm ich da auf [mm] \prod_{p} \frac{1+p^{-2}}{1-p^{-2}} [/mm] Aber auch da seh ich nicht, wie es weitergehen könnte.
Beim zweiten Teil kann ich, solange ich nicht weiß woher die erste Identität kommt, nur wild herumspekulieren... Vielleicht sowas wie [mm] \frac{\prod_{i=1}^{m}\zeta^{2}(s_{i})}{\zeta(m^{2})} [/mm] ?
LG
Salamence
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 So 19.05.2013 | | Autor: | Salamence |
Niemand eine Idee, wie das gehen könnte?
Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass meine Vermutung beim zweiten Teil schonmal falsch ist, hab das ganze mal für ein Beispiel ausgerechnet.
Für den ersten Teil kann man [mm] \frac{1}{\zeta(4)} [/mm] ja auch als Dirichlet-Reihe der Möbiusfunktion interpretieren. Wenn ich das mache, komme ich dann auf
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{n-1} \sum_{l=1}^{k-1} \frac{\mu(n-k)}{l^{2} (k-l)^{2} (n-k)^{4}}
[/mm]
Wie da nun alles schön wegfallen sollte, sodass da am Ende nur [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\delta_{ggT(n,m),1}}{n^{2} m^{2}} [/mm] übrig bleibt, sehe ich aber immer noch nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Mo 20.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Niemand eine Idee, wie das gehen könnte?
offenbar nicht. Hier ist offenbar keine einfache Loesung moeglich - also einfach fuer Mathematiker, die sich noch nie genauer mit Dirichletreihen beschaeftigt haben. Ich persoenlich kenne mich kaum mit dem Thema aus (ich habe nie dazu eine Vorlesung gehoert oder ein Buch gelesen), und alles was ich probiert habe scheint nicht weiterzuhelfen.
Hier braucht es wohl jemanden, der sich gut mit sowas auskennt.
Eine Frage noch zum ersten Teil, bei der Dirichletreihe von [mm] $2^{\nu(n)}$: [/mm] ist der Wert zufaellig [mm] $\zeta(s)^2 [/mm] / [mm] \zeta(2 [/mm] s)$ oder [mm] $\zeta(s)^2 [/mm] / [mm] \zeta(s^2)$? [/mm] Weil [mm] $\zeta(s)^2 [/mm] / [mm] \zeta(s) [/mm] = [mm] \zeta(s)$ [/mm] macht hier nur wenig Sinn.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Di 21.05.2013 | | Autor: | hippias |
Betrachte, wieviele Moeglichkeiten es gibt eine nat. Zahl $k$ als Produkt zweier teilerfremder Zahlen $m$ und $n$ darzustellen: Es gibt [mm] $2^{e}$ [/mm] Moeglichkeiten, wenn $e$ die Anzahl der Primteiler von $k$ ist. Denn jede Teilmenge der Menge der Primteiler von $k$ bestimmt eindeutig eine solche Zerlegung.
Demnach taucht der Summand [mm] $\frac{1}{k^{2}}$ [/mm] genau [mm] $2^{\nu(k)}$ [/mm] mal in der Summe auf. Damit folgt die Behauptung aus der Dirichletreihe der Funktion [mm] $2^{\nu(k)}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Di 21.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Betrachte, wieviele Moeglichkeiten es gibt eine nat. Zahl [mm]k[/mm]
> als Produkt zweier teilerfremder Zahlen [mm]m[/mm] und [mm]n[/mm]
> darzustellen: Es gibt [mm]2^{e}[/mm] Moeglichkeiten, wenn [mm]e[/mm] die
> Anzahl der Primteiler von [mm]k[/mm] ist. Denn jede Teilmenge der
> Menge der Primteiler von [mm]k[/mm] bestimmt eindeutig eine solche
> Zerlegung.
> Demnach taucht der Summand [mm]\frac{1}{k^{2}}[/mm] genau [mm]2^{\nu(k)}[/mm]
> mal in der Summe auf. Damit folgt die Behauptung aus der
> Dirichletreihe der Funktion [mm]2^{\nu(k)}[/mm].
ah, das toent vernuenftig. Da haette ich auch noch drauf kommen koennen :)
Bei der anderen Aufgabe haette man dann die Dirichletreihe der Funktion [mm] $(2^m [/mm] - [mm] 2)^{\nu(k)}$, [/mm] oder?
LG Felix
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