Teilerfremd < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mi 12.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie : Ist a [mm] \in \IN [/mm] teilerfremd zu n [mm] \in \IN [/mm] , so sind auch alle Potenzen [mm] a^m [/mm] , m [mm] \in \IN [/mm] , von a teilerfremd zu n. |
Hallo Forum,
da ich immer Probleme habe meine Gedanken in eine korrekte mathematische Form zu bringen, bitte ich Euch um eine Korrektur und eventuelle Hilfe. Hier mein Ansatz:
Sei [mm] $p_1^{e_1} [/mm] * ... * [mm] p_n^{e_n}$ [/mm] die karnonische Primzahlzerlegung von a und sei [mm] $q_1^{e_1} [/mm] * ... * [mm] q_m^{e_m}$ [/mm] die karnonische Primzahlzerlegung zu n.
Da nach Vorgabe gilt ggT(a,n)=1, so gilt für alle [mm] $p_x\not= q_y$ [/mm] bei $x,y [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $x\le n,y\le [/mm] m$.
(Also in Worten Ausgedrückt sind alle Faktoren der Primzahlzerlegungen von a unterschiedlich zu den Faktoren der Primzahlzerlegung von n. Ich hoffe das habe ich richtig ausgedrückt.)
Die karnonische Primzahlzerlegung von ggT(a,m) ist dann [mm] $\produkt_{i=1}^{n} p_i^0 [/mm] * [mm] \produkt_{k=1}^{m} q_k^0 [/mm] =1$
Dann ist [mm] $(\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i})^m =\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i^m}$ [/mm] die karnonische Primzahlzerlegung von [mm] a^m.
[/mm]
Somit ist [mm] $ggT(a^m,n)$ [/mm] dann [mm] $(\produkt_{i=1}^{n} p_i^0)^m [/mm] * [mm] \produkt_{k=1}^{m} q_k^0 =\produkt_{i=1}^{n} p_i^{0*m} [/mm] * [mm] \produkt_{k=1}^{m} q_k^0 [/mm] =1$
Ich würde mich sehr über Kommentare freuen,
Micha
|
|
| |
|
Hi Micha,
> Zeigen Sie : Ist a [mm]\in \IN[/mm] teilerfremd zu n [mm]\in \IN[/mm] , so
> sind auch alle Potenzen [mm]a^m[/mm] , m [mm]\in \IN[/mm] , von a teilerfremd
> zu n.
> Hallo Forum,
> da ich immer Probleme habe meine Gedanken in eine korrekte
> mathematische Form zu bringen, bitte ich Euch um eine
> Korrektur und eventuelle Hilfe. Hier mein Ansatz:
>
> Sei [mm]p_1^{e_1} * ... * p_n^{e_n}[/mm] die karnonische
> Primzahlzerlegung von a und sei [mm]q_1^{e_1} * ... * q_m^{e_m}[/mm]
> die karnonische Primzahlzerlegung zu n.
> Da nach Vorgabe gilt ggT(a,n)=1, so gilt für alle [mm]p_x\not= q_y[/mm]
> bei [mm]x,y \in \IN[/mm] und [mm]x\le n,y\le m[/mm].
>
> (Also in Worten Ausgedrückt sind alle Faktoren der
> Primzahlzerlegungen von a unterschiedlich zu den Faktoren
> der Primzahlzerlegung von n. Ich hoffe das habe ich richtig
> ausgedrückt.)
>
> Die karnonische Primzahlzerlegung von ggT(a,m) ist dann
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} p_i^0 * \produkt_{k=1}^{m} q_k^0 =1[/mm]
>
> Dann ist [mm](\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i})^m =\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i^m}[/mm]
> die karnonische Primzahlzerlegung von [mm]a^m.[/mm]
Hier sollte "mal m" statt "hoch m" im Exponenten stehen.
> Somit ist [mm]ggT(a^m,n)[/mm] dann [mm](\produkt_{i=1}^{n} p_i^0)^m * \produkt_{k=1}^{m} q_k^0 =\produkt_{i=1}^{n} p_i^{0*m} * \produkt_{k=1}^{m} q_k^0 =1[/mm]
>
Wie du diesen Schritt begründest ist mir nicht klar.
>
> Ich würde mich sehr über Kommentare freuen,
> Micha
Die Idee, über die PFZ zu argumentieren ist sicherlich gut. Ich persönlich würde es ungefähr so machen: Zu $ [mm] n\in\IN [/mm] $ sei $ [mm] A_n [/mm] $ die Menge aller Primteiler von $ n $. Dann sind $ a, n$ teilerfremd dann und nur dann, wenn $ [mm] A_a, A_n [/mm] $ disjunkt sind. Wenn du dir überlegen kannst, dass $ [mm] A_a=A_{a^m} [/mm] $, bist du fertig. Dies ist jedoch ziemlich trivial (und steht eigentlich schon in deinem Beitrag).
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 12.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Hallo UniversellesObjekt,
die Argumentationsweise über zwei Mengen von Primteilern ist sehr elegant. Viel schlanker als meine doch recht unübersichtliche Schreibweise.
... und ja, da sollte eigentlich "mal" m stehen. Da habe ich mich vertippt.
Ich würde gerne mit deinem Ansatz weiter machen, also:
...
dann ist [mm] $a^m=(\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i})^m [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i*m}.
[/mm]
Die Menge der Primteiler von a und [mm] a^m [/mm] unterscheiden sich also nur in den Exponenten. Damit ist die Menge der Primteiler von a und von [mm] a^m [/mm] gleich.
Es ist [mm] $Aa^m=Aa$ [/mm] disjunkt zu $An$. Somit sind [mm] $a^m$ [/mm] und $n$ teilerfremd.
Was denkst du? Sollte doch eigentlich so ok sein, oder?
Grüße und vielen Dank, Micha
|
|
|
| |
|
> Hallo UniversellesObjekt,
> die Argumentationsweise über zwei Mengen von Primteilern
> ist sehr elegant. Viel schlanker als meine doch recht
> unübersichtliche Schreibweise.
>
> ... und ja, da sollte eigentlich "mal" m stehen. Da habe
> ich mich vertippt.
>
> Ich würde gerne mit deinem Ansatz weiter machen, also:
>
> ...
>
> dann ist [mm]$a^m=(\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i})^m[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i*m}.[/mm]
> Die Menge der Primteiler
> von a und [mm]a^m[/mm] unterscheiden sich also nur in den
> Exponenten.
Eine Menge hat keine Exponenten  du meinst aber natürlich das richtige. Die Promfaktorzerlegung unterscheidet sich nur in den Exponenten. Und damit ist die Menge der Primteiler gleich.
> Damit ist die Menge der Primteiler von a und
> von [mm]a^m[/mm] gleich.
>
> Es ist [mm]Aa^m=Aa[/mm] disjunkt zu [mm]An[/mm]. Somit sind [mm]a^m[/mm] und [mm]n[/mm]
> teilerfremd.
>
> Was denkst du? Sollte doch eigentlich so ok sein, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Grüße und vielen Dank, Micha
>
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Hallo,
eine kleine Anmerkung am Rande:
kanonisch schreibt sich ohne r.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Mi 12.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Ups, Danke
|
|
|
|
