Teilerfremdheit Hauptideal ZPE < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Jonas85 |
| Aufgabe | | Let R be a principal ideal domain, and x, y ∈ R. Prove that x and y are coprime if and only if there does not exist a prime element of R that divides both x and y. Show that this statement is incorrect if principal ideal domain is replaced by unique factorization domain. |
Hallo zusammen,
ich studiere gerade im Ausland alg. Zahlentehorie, leider ohne Vorkenntnisse in abstrakter Algebra. Ihr könnt Euch sicher vorstellen, dass dies die Sache nicht einfacher macht ;)
Kurz ein bisschen Literatur:
coprime = teilerfremd
PID = Hauptidealring
UFD = faktorieller Ring
Ich glaube ich muss mir irgendwie zu Nutze machen, dass die PID eine Teilmenge der UFD ist, wo zusätzlich gefordert wird, dass es von nur einem Element erzeugt wird. Aber ich komm irgendwe nicht drauf... :(
Danke für Hinweise,
Jonas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 So 21.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Let R be a principal ideal domain, and x, y ∈ R.
> Prove that x and y are coprime if and only if there does
> not exist a prime element of R that divides both x and y.
> Show that this statement is incorrect if principal ideal
> domain is replaced by unique factorization domain.
>
> Hallo zusammen,
>
> ich studiere gerade im Ausland alg. Zahlentehorie, leider
> ohne Vorkenntnisse in abstrakter Algebra. Ihr könnt Euch
> sicher vorstellen, dass dies die Sache nicht einfacher
> macht ;)
>
> Kurz ein bisschen Literatur:
>
> coprime = teilerfremd
Wie genau habt ihr das denn definiert? $x$ und $y$ heissen coprime wenn $R x + R y = R$ ist? Normalerweise definiert man es ueber $x, y$ heissen teilerfremd [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] ist $c$ ein Teiler von $x$ und $y$, so ist $c$ eine Einheit; anders gesagt, 1 ist ein ggT von $x$ und $y$.
Im zweiten Fall ist die Aussage ziemlich klar und gilt ebenso fuer UFDs (weshalb der zweite Teil der Aufgabe quatsch waere).
Im ersten Fall muss man allerdings tatsaechlich was zeigen; insofern habt ihr das vermutlich so definiert?
> Ich glaube ich muss mir irgendwie zu Nutze machen, dass die
> PID eine Teilmenge der UFD ist, wo zusätzlich gefordert
> wird, dass es von nur einem Element erzeugt wird.
Das ist jetzt aber ziemliches Chaos. Du meinst hoffentlich, dass jeder PID auch ein UFD ist, und dass ein Integritaetsbereich ein PID ist falls jedes Ideal im Ring von einem Element erzeugt wird.
Also fangen wir doch mal an. Seien $x, y [mm] \in [/mm] R$ mit $R x + R y = R$. Also ist das von $x$ und $y$ erzeugte Ideal (das ist ja grad $R x + R y$) bereits ganz $R$, insbesondere enthaelt das Ideal also 1. Man kann also $1 = a x + b y$ schreiben mit $a, b [mm] \in [/mm] R$. Jetzt nimm doch mal an, es gibt ein Primelement, welches sowohl $x$ wie auch $y$ teilt.
Fuer die andere Richtung brauchst du, dass $R$ ein PID ist, also dass $R x + R y$ von der Form $R z$ ist fuer ein $z [mm] \in [/mm] R$.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:04 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Jonas85 |
Hi Felix, und danke für die Antwort.
Coprime wurde wie folgt definiert:
Ideals I and J are said to be coprime if we have I+J = R for principal ideals I=Ra and J = Rb.
Sorry falls ich mich unklar ausgedrückt habe was den Zusammenhang zwischen PID und UFD angeht, ich meinte dass die PID eine subclass der UFD sind.
Ich glaube nicht, dass die zweite Frage Quatsch ist. Zwar ist jede PID eine UFD; aber gerade der Umkehrschluss gilt ja nicht.
Einen guten Überblick habe ich hier (http://en.wikipedia.org/wiki/Principal_ideal_domain) gefunden, allerdings habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich deinen Beweisansatz weiterführen soll... :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Mi 24.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 16.09.2012 | | Autor: | Loko |
Hallo!
Ich glaube ich sitze gerade genau in dem Kurs wie mein Vorgänger, nur ein paar Jahre später ;)
Ich habe genau diese Aufgabe und ein paar Fragen dazu.
Zunächst die Richtung:
R ist Hauptidealring und x,y [mm] \in [/mm] R
[mm] \not\exists [/mm] prim element von R, dass x und teilt [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(x,y)=1.
Für den Beweis habe ich diese Aussage einfach umgekehrt, also wg:
[A [mm] \Rightarrow [/mm] B] [mm] \gdw [\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A]
Dann habe ich:
[mm] \exists [/mm] prim Element von R, dass x und y teilt.
[mm] \Rightarrow [/mm] p|x und p|y [mm] \Rightarrow ggT(x,y)\geq [/mm] p
(Jedes Element in R hat eine eindeutige Primelement-Zerlegung (Da alle Hauptidealringe auch Faktorielle Ringe sind..). Nur dachte ich vielleicht gibt es irreduzible Elemente, die nicht prim sind, x und y aber auch teilen? Ich bin leider mit den ganzen Definitionen noch nicht wirklich vertraut.)
[mm] \Rightarrow \neg [/mm] A, da p [mm] \not= [/mm] 0.
vielleicht habe ich hier ein paar Ring-Ideal sachen übersehen? Denn hier brauchte ich ja gar nicht die speziellen Eigenschaften des Hauptidealrings im Gegensatz zum Fakrotiellen Ring?
Gut, bei der anderen Richtung stockt es auch:
[mm] \not\exists [/mm] ein prim Element von R, dass x und y teilt.
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] prim Elemente [mm] \mathcal{p} [/mm] von R [mm] \mathcal{p} [/mm] teilt höchstens x oder y. (ausschließendes oder).
Wenn x = [mm] p_{1}p_{2}...p_{r} [/mm] ist und [mm] y=p_{1}'p_{2}'...p_{s}' [/mm] mit [mm] p_{i}\not=p_{j}, p_{i}'\not=p_{j}' [/mm] sind prim elemente. Da kein [mm] \mathcal{p} [/mm] x und y teilt, ist für je zwei [mm] p_{i} [/mm] und [mm] p_{j}' [/mm] der ggT immer 1.
Nur könnte es doch immer noch irreduzible nicht-prim-Elemente geben, die x und y teilen oder?
Ich hoffe es ist ungefähr klar was ich sagen möchte :D
Ganz liebe Grüße! Und ich hoffe jemand hat Zeit und Lust sich durch mein Gedanken-Chaos zu arbeiten.
Loko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mo 17.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Loko!
> Ich glaube ich sitze gerade genau in dem Kurs wie mein
> Vorgänger, nur ein paar Jahre später ;)
> Ich habe genau diese Aufgabe und ein paar Fragen dazu.
>
> Zunächst die Richtung:
> R ist Hauptidealring und x,y [mm]\in[/mm] R
> [mm]\not\exists[/mm] prim element von R, dass x und teilt
> [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(x,y)=1.
>
> Für den Beweis habe ich diese Aussage einfach umgekehrt,
> also wg:
> [A [mm]\Rightarrow[/mm] B] [mm]\gdw [\neg[/mm] B [mm]\Rightarrow \neg[/mm] A]
>
> Dann habe ich:
> [mm]\exists[/mm] prim Element von R, dass x und y teilt.
Wenn du hiermit anfaengst, zeigst du nicht die Kontraposition, sondern die Rueckrichtung!
> [mm]\Rightarrow[/mm] p|x und p|y [mm]\Rightarrow ggT(x,y)\geq[/mm] p
Soweit so gut, aber: was soll $ggT(x, y) [mm] \ge [/mm] p$ heissen?!
Verwendest du die Teilerordnung auf $R$? Oder schaust du dir $R = [mm] \IZ$ [/mm] an?
> (Jedes Element in R hat eine eindeutige
> Primelement-Zerlegung (Da alle Hauptidealringe auch
> Faktorielle Ringe sind..). Nur dachte ich vielleicht gibt
> es irreduzible Elemente, die nicht prim sind, x und y aber
> auch teilen?
In faktoriellen Ringen (Hauptidealringe sind solche) gilt: $x$ prim [mm] $\Leftrightarrow [/mm] x$ faktoriell.
> Ich bin leider mit den ganzen Definitionen
> noch nicht wirklich vertraut.)
> [mm]\Rightarrow \neg[/mm] A, da p [mm]\not=[/mm] 0.
Das verstehe ich jetzt nicht. Du hast hier wenn schon [mm] $\neg [/mm] B$ bewiesen. Ist aber nicht klar, da das was du schreibst etwas chaotisch ist.
> vielleicht habe ich hier ein paar Ring-Ideal sachen
> übersehen? Denn hier brauchte ich ja gar nicht die
> speziellen Eigenschaften des Hauptidealrings im Gegensatz
> zum Fakrotiellen Ring?
Nein, bei der Definition "$a, b$ teilerfremd [mm] $\Leftrightarrow [/mm] ggT(a, b) = 1$" brauchst du nur, dass es sich um einen faktoriellen Ring handelt. Falls du "$a, b$ teilerfremd [mm] $\Leftrightarrow [/mm] a R + b R = R$" hast, dann brauchst du umbedingt, dass es sich um einen Hauptidealring handelt.
> Gut, bei der anderen Richtung stockt es auch:
> [mm]\not\exists[/mm] ein prim Element von R, dass x und y teilt.
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] prim Elemente [mm]\mathcal{p}[/mm] von R
> [mm]\mathcal{p}[/mm] teilt höchstens x oder y. (ausschließendes
> oder).
> Wenn x = [mm]p_{1}p_{2}...p_{r}[/mm] ist und
> [mm]y=p_{1}'p_{2}'...p_{s}'[/mm] mit [mm]p_{i}\not=p_{j}, p_{i}'\not=p_{j}'[/mm]
> sind prim elemente. Da kein [mm]\mathcal{p}[/mm] x und y teilt, ist
> für je zwei [mm]p_{i}[/mm] und [mm]p_{j}'[/mm] der ggT immer 1.
Ja, aber das hilft dir so nicht viel. Du willst nicht den paarweisen ggT von den verschiedenen Primfaktoren von $x$ und $y$ haben.
> Nur könnte es doch immer noch irreduzible
> nicht-prim-Elemente geben, die x und y teilen oder?
Nein. Der Ring ist faktoriell, womit irreduzibel = prim gilt.
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:03 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Loko |
Danke schon mal!
Ja, diese ggT Fehler meinte ich... mir fehlt noch ein bisschen das Verständnis für all das ;)
Ok, aber hier nochmal ein geordneterer versuch.
Ann: [mm] \exists [/mm] prim Element von R, p|x und p|y.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] k,k' aus R, sodass pk=x und pk'=y.
[mm] \Rightarrow [/mm] x,y haben ein prim element gemeinsam
[mm] \Rightarrow [/mm] x,y nicht relativ prim.
(Hiermit habe ich doch jetzt die Richtung 'Relativ prim [mm] \Rightarrow \not\exists [/mm] prim element...' gezeigt oder?)
Ann.2: x,y sind nicht relativ prim.
[mm] \Rightarrow [/mm] (Def.) x,y haben ein prim element gemeinsam. Denn x,y haben eine eindeutige zerlegung in irreduzible (= prim) elemente. (Da Hauptidealring [mm] \Rightarrow [/mm] Faktorieller Ring).
(Und hier ist jetzt die Richtung [mm] '\not\exists [/mm] prim element [mm] \Rightarrow [/mm] x,y relativ prim' ?)
Irgendwie habe ich mich glaub ich selbst verwirrt, denn das kann es ja nicht gewesen sein oder? Ich mein ich habe ja noch gar nicht die besonderheit des Hauptidealrings benutzt...
Liebe Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 19.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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