Teilerfremdheit zeigen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mi 13.07.2011 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Sei t,w [mm] \in\IZ [/mm] mit ggT(t,w)=1 und t [mm] \not\equiv [/mm] w (mod 2).
Außerdem seien [mm] u=t(t^2-9w^2), v=3w(t^2-w^2), s=t^2+3w^2.
[/mm]
Dann ist insbesondere [mm] s^3=u^2+3v^2 [/mm] und s ist ungerade.
Zeigen Sie: ggT(u,v)=1 |
Hallo Freunde der Mathematik!
Ich versuche schon seit geraumer Zeit bei der obigen Aufgabe zu zeigen, dass u und v teilerfremd sind, dreh mich aber seit langer Zeit im Kreis und weiß nicht wie ich weiterkomme.
Mein momentaner Stand ist:
[mm] ggT(u,v)=ggT(t^2-9w^2,3(t^2-w^2)) [/mm] , weil ja t und w teilerfremd sind.
Außerdem ist [mm] ggT(t^2-9w^2,t²-w²)=1, [/mm] da sonst ein Widerspruch zur unterschiedlichen Parität von t und w entsteht.
Wenn man nun annimmt, dass eine Primzahl p existiert, sodass [mm] p^{e}|u [/mm] und [mm] p^{e}|v [/mm] mit [mm] e\in\IN, [/mm] dann hab ich bisher zeigen können, dass p=3 sein muss.
Dann sieht man noch, dass auf jeden Fall p|t gelten muss.
Außerdem hab ich jetzt gezeigt, dass e=1 sein muss.
Also weiß ich, dass wenn u und v nicht teilerfremd sind, dann ist der ggT(u,v)=3.
Weiter weiß ich jetzt, dass 3|u und 3|v und 3|t und also [mm] t\not| [/mm] w.
Dann folgt, dass 3|(t²+3w²)=s. Aber [mm] 3^{2}\not|s.
[/mm]
Und irgendwie hab ich jetzt ne Menge Eigenschaften, aber sehe nicht wie ich jetzt aus alldem einen Widerspruch konstuieren kann. Die letzte Eigenschaft würde sich ja irgendwie anbieten.
Hab zuerst gedacht, dass es so gehen könnte:
Es ist ja [mm] s^3=u^2+3v^2. [/mm] Und da 3|u und 3|v gilt 3²|s³. Und daraus folgt 3²|s. Was dann ein Widerspruch wäre.
Aber die letzte Folgerung gilt ja so nur für Primzahlen, also nicht für 3².
Ich hab den letzten Schritt auch in einem Buch gesehen (was darauf hinweist, dass er funktionieren könnte), aber ich versteh nicht warum.
Hat mir jemand einen Tipp oder eine andere Herangehensweise an die Sachen??
Das wäre so unglaublich super!! Weil ich mich wie gesagt im Kreis drehe und nicht rauskomme.
Also allerbesten Dank schonmal!
Beste Grüße!
skoopa
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Hallo! ich versuche jetzt zu rechnen :)
Angenommen: p|u, und p|v, wobei p-eine Primzahl ist.
Dann haben wir:
p|u [mm] \Rightarrow [/mm] p|uw [mm] \Rightarrow p|t^3w-9tw^3
[/mm]
p|v [mm] \Rightarrow [/mm] p|vt [mm] \Rightarrow p|9wt^3-9tw^3
[/mm]
Daraus folgt [mm] p|8wt^3
[/mm]
Da aber p Prim ist muss p|2wt gelten.
1.Fall: p|w dann da [mm] p|u=t^3-9tw^2 \Rightarrow p|t^3 \Rightarrow [/mm] p|t wiedersprich zu ggt(t,w)=1
2.Fall: p|t dann da [mm] p|v=3wt^2-3w^3 \Rightarrow p|3w^3 \Rightarrow [/mm] p|3
3.Fall: p|2 dann u,v sind gerade [mm] \Rightarrow [/mm] s gerade wiederspruch.
Jetzt betrachte wir p|3 und p|t [mm] \Rightarrow [/mm] p=3 oder p=1
Angenohmen p=3 [mm] \Rightarrow [/mm] 3|t [mm] \Rightarrow [/mm] 9|u [mm] \Rightarrow 9|(3tv-u)=3w(t^3-1)
[/mm]
3 [mm] \not| t^3-1, [/mm] da 3|t also muss 3|w sein, also ein wiederspruch.
Also ist p=1, und ggt(u,v)=1
Hoffe ist halbswegs nachvolziehbar.
mfg
Alex
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:59 Mo 18.07.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey Alex!
Also ich bin mir nicht sicher, ob das so funktioniert.
> Hallo! ich versuche jetzt zu rechnen :)
> Angenommen: p|u, und p|v, wobei p-eine Primzahl ist.
> Dann haben wir:
> p|u [mm]\Rightarrow[/mm] p|uw [mm]\Rightarrow p|t^3w-9tw^3[/mm]
> p|v
> [mm]\Rightarrow[/mm] p|vt [mm]\Rightarrow p|9wt^3-9tw^3[/mm]
> Daraus folgt
> [mm]p|8wt^3[/mm]
> Da aber p Prim ist muss p|2wt gelten.
> 1.Fall: p|w dann da [mm]p|u=t^3-9tw^2 \Rightarrow p|t^3 \Rightarrow[/mm]
> p|t wiedersprich zu ggt(t,w)=1
> 2.Fall: p|t dann da [mm]p|v=3wt^2-3w^3 \Rightarrow p|3w^3 \Rightarrow[/mm]
> p|3
> 3.Fall: p|2 dann u,v sind gerade [mm]\Rightarrow[/mm] s gerade
> wiederspruch.
Bis hierin bin ich noch bei dir, aber dann versteh ich eine Umformung nicht. Ich glaub da ist ein Fehler drin.
> Jetzt betrachte wir p|3 und p|t [mm]\Rightarrow[/mm] p=3 oder p=1
> Angenohmen p=3 [mm]\Rightarrow[/mm] 3|t [mm]\Rightarrow[/mm] 9|u [mm]\Rightarrow 9|(3tv-u)=3w(t^3-1)[/mm]
Die letzte Gleichung stimmt doch so nicht. Denn es ist doch:
[mm] (3tv-u)=(3t*3w(t^2-w^2)-t(t^2-9w^2))\not=3w(t^3-1).
[/mm]
Oder ich verstehs nicht.
Könntest du das vielleicht etwas ausführen? Wäre super!
Ich krieg nämlich einfach diese [mm] t^3-Faktoren [/mm] nicht weg, was echt ätzend ist, da die ja immer von [mm] p^3 [/mm] geteilt werden...
> 3 [mm]\not| t^3-1,[/mm] da 3|t also muss 3|w sein, also ein
> wiederspruch.
>
> Also ist p=1, und ggt(u,v)=1
> Hoffe ist halbswegs nachvolziehbar.
> mfg
> Alex
Beim Rest stimm ich dir dann wieder zu.
Danke schonmal!
Beste Grüße!
skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 20.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo skoopa,
an der Aufgabe stimmt etwas nicht.
> Sei t,w [mm]\in\IZ[/mm] mit ggT(t,w)=1 und t [mm]\not\equiv[/mm] w (mod 2).
> Außerdem seien [mm]u=t(t^2-9w^2), v=3w(t^2-w^2), s=t^2+3w^2.[/mm]
>
> Dann ist insbesondere [mm]s^3=u^2+3v^2[/mm] und s ist ungerade.
> Zeigen Sie: ggT(u,v)=1
Wenn 3|t, stimmt die zu zeigende Behauptung nicht, da dann gilt: 3|u, 3|v und damit 3|ggT(u,v).
Für [mm] 3\not|t [/mm] stimmt die Behauptung dagegen:
[mm] ggT(u,v)=ggT(t^2-9w^2,t^2-w^2)=ggT(t^2-w^2,8w^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow ggT(u,v)|8w^2
[/mm]
Nun ist [mm] t^2-w^2 [/mm] ungerade, weswegen die 2 kein Faktor des ggT(u,v) sein kann, und kein Faktor von w kann enthalten sein, weil sonst ggT(t,w)>1 sein müsste, was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt.
Wozu man jetzt [mm] s^3 [/mm] benötigen soll, erschließt sich mir nicht.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Mo 18.07.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey reverend!
Und natürlich hast du recht!!!
Aus unendlich ewig weit entfernten Kontext hat sich jetzt echt ergeben, dass [mm] 3\not|t [/mm] gelten muss.
Ich hab ja echt schon schwer an mir und dem Universum gezweifelt...
Aber allerbesten Dank!! Das steigert meine Stimmung 
Beste Grüße! Und DankDankeDanke!
skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mo 18.07.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey!
> Hallo skoopa,
>
> ich dachte mir schon, dass das keine Übungsaufgabe ist.
> 
Ja wär doch etwas merkwürdig gestellt für ne normale Übung
>
> Worum geht es denn im Grundsatz? Kann es sein, dass das
> etwas mit der Collatz-Vermutung zu tun hat?
Es geht um die Fermat'sche Vermutung für n=3.
Also dass die Gleichung [mm] a^3+b^3=c^3 [/mm] keine nichttriviale, ganzzahlige Lösung hat.
Das hat Euler mal bewiesen, aber in seinem Beweis ist ein Schritt, den er nicht begründet hat.
Und die Frage, die ich hier gestellt hab, ist einer von vielen Schritten um die Lücke zu schließen. Was sie jetzt auch tatsächlich ist, geschlossen
Sogar der Mensch in meinem "Begleit-Buch" hat das nicht richtig gemacht...
Der hatte das gleiche übersehen wie ich.
> Nein, ich bin nicht neugierig. War ich noch nie. Nur
> wissbegierig...
> ![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]")
>
> Jedenfalls gut, wenn es Dir weitergeholfen hat.
>
> Grüße
> reverend
Beste Grüße!
skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Mo 18.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo skoopa,
danke für die Auskunft. Die Gleichungen kamen mir bekannt vor; ich habe mich auch mal bemüht, das eigentliche Problem bei Fermats "letzter Vermutung" zu verstehen. Da fängt man ja typischerweise bei n=3 an.
Ich bin damals selbst dahin gekommen, dass es bestimmte Bedingungen für Primzahlen geben muss, die überhaupt mögliche Exponenten sein könnten, nur um festzustellen, dass Wieferich die gleiche Bedingung schon 100 Jahre vor mir gefunden hatte. Und dass es längst Ausweitungen dazu gab, angefangen bei Mirimanoff.
Viel Erfolg jedenfalls! Wenn Du mit n=3 fertig bist, fang lieber gleich mit elliptischen Kurven an. Sie helfen Dir auch an anderen Stellen weiter, nicht nur beim Fermat.
Alles Gute,
reverend
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