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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 So 11.11.2012 | | Autor: | Tim_M |
| Aufgabe | (a) Zeigen Sie folgende Aussage: Für alle [mm] n\in\IN [/mm] ist die Zahl [mm] 10^n [/mm] -1 durch 3 Teilbar
(b) Zeigen Sie folgende Aussage: Seien m,n [mm] \in\IN [/mm] Ist das Produkt m*n durch 3 Teilbar, so ist m durch 3 teilbar oder n durch 3 teilbar.
Hinweis: Nutzen Sie den euklidischen Algorithmus.
Für Aufgabenteil (c) und (d) dürfen Sie nun verwenden, dass 3 und 5 Primzahlen sind und für jede Primzahl p [mm] \in\IN [/mm] gilt: Teilt p ein Produkt m*n, so teilt p die Zahl m oder p teilt die Zahl n.
(c) Sei [mm] x\in\IN [/mm] und x = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_k [/mm] * 10 mit [mm] a_k \in [/mm] {0,1,2, ...,9} für alle 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n die Dezimaldarstellung von x. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(1) Die Zahl x ist durch 3 teilbar
(2) Die Quersumme Q_10 (x):= [mm] \summe_{k=0}^{n} a_k [/mm] ist durch 3 teilbar
(d) Sei [mm] x\in\IN [/mm] eine natürliche Zahl und x = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_k [/mm] *16 die Hexadezimaldarstellung von x. Argumentieren Sie, dass x genau dann durch 3 und 5 teilbar ist, wenn die (hexadezimale) Quersumme von x durch F teilbar ist. |
Da ich nicht genau weis, welchem Unterforum ich die Aufgabe zuordnen soll, habe ich es mal zu Sonstiges sortiert. Wenn es falsch ist, kann es ja sicher jemand schieben.
Zur Übersicht, erstmal a und b.
Bei a würde ich versuchen mit dem indirekten Beweis oder der vollständigen Induktion zu Beweisen.
Der indirekt Beweis wäre ja, das ich behaupte [mm] (10^n [/mm] -1)/3 ist [mm] \not= n\in\IN
[/mm]
Dann setzte ich eine Random Zahl n ein, z.B. 3 und probiere es aus:
[mm] 10^3 [/mm] -1= 999 /3 = 333
Damit wäre schon Bewiesen, das es richtig ist? Kann mir nicht vorstellen dass es richtig ist, da es so zu einfach wäre. Die vollständige Induktion kommt mir aber auch nicht geeigneter dafür vor.
Bei (b)
Um das zu Beweisen muss ich sagen:
Wenn (m*n) /3 = [mm] n\in\IN [/mm] dann ist auch: m mod 3 [mm] \vee [/mm] n mod 3 = 0
Hier dann auch wieder der indirekt Beweis, ich Behaupte: Wenn (m*n) /3 = [mm] n\in\IN [/mm] dann ist: m mod 3 [mm] \vee [/mm] n mod 3 [mm] \not= [/mm] 0
Dazu setzte ich m= 5 und n = 3 ein
5*3 /3 = [mm] 5\in\IN [/mm] => 5 mod 3 oder 3 mod 3 = 0
Damit wäre meine Behauptung wieder falsch und beweisen, dass es die gegebene Aussage stimmt. Auch hier wieder das selbe wie bei (a), das wäre doch viel zu einfach?
Ich hoffe, ihr könntet mir einen Tipp geben, ob das so richtig ist oder halt nicht und wenn, wo der Fehler liegt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> (a) Zeigen Sie folgende Aussage: Für alle [mm]n\in\IN[/mm] ist die
> Zahl [mm]10^n[/mm] -1 durch 3 Teilbar
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> (b) Zeigen Sie folgende Aussage: Seien m,n [mm]\in\IN[/mm] Ist das
> Produkt m*n durch 3 Teilbar, so ist m durch 3 teilbar oder
> n durch 3 teilbar.
> Hinweis: Nutzen Sie den euklidischen Algorithmus.
>
> Für Aufgabenteil (c) und (d) dürfen Sie nun verwenden,
> dass 3 und 5 Primzahlen sind und für jede Primzahl p
> [mm]\in\IN[/mm] gilt: Teilt p ein Produkt m*n, so teilt p die Zahl m
> oder p teilt die Zahl n.
>
> (c) Sei [mm]x\in\IN[/mm] und x = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_k[/mm] * 10 mit [mm]a_k \in[/mm]
> {0,1,2, ...,9} für alle 0 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n die
> Dezimaldarstellung von x. Zeigen Sie, dass folgende
> Aussagen äquivalent sind:
> (1) Die Zahl x ist durch 3 teilbar
> (2) Die Quersumme Q_10 (x):= [mm]\summe_{k=0}^{n} a_k[/mm] ist
> durch 3 teilbar
>
> (d) Sei [mm]x\in\IN[/mm] eine natürliche Zahl und x =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_k[/mm] *16 die Hexadezimaldarstellung von x.
> Argumentieren Sie, dass x genau dann durch 3 und 5 teilbar
> ist, wenn die (hexadezimale) Quersumme von x durch F
> teilbar ist.
> Da ich nicht genau weis, welchem Unterforum ich die
> Aufgabe zuordnen soll, habe ich es mal zu Sonstiges
> sortiert. Wenn es falsch ist, kann es ja sicher jemand
> schieben.
>
> Zur Übersicht, erstmal a und b.
>
> Bei a würde ich versuchen mit dem indirekten Beweis oder
> der vollständigen Induktion zu Beweisen.
>
> Der indirekt Beweis wäre ja, das ich behaupte [mm](10^n[/mm] -1)/3
> ist [mm]\not= n\in\IN[/mm]
> Dann setzte ich eine Random Zahl n ein,
> z.B. 3 und probiere es aus:
> [mm]10^3[/mm] -1= 999 /3 = 333
> Damit wäre schon Bewiesen, das es richtig ist? Kann mir
> nicht vorstellen dass es richtig ist, da es so zu einfach
> wäre. Die vollständige Induktion kommt mir aber auch
> nicht geeigneter dafür vor.
Das ist Quatsch. Indirekter Beweis wäre:
Angenommen [mm] $(10^n-1)$ [/mm] ist nicht durch 3 teilbar. (ein paar Schlussfolgerungen ... ) Widerspruch...
bevor du im Dunkel herumtapst:
Wie lautet hier die Teilbarkeitsregel?
Wie sieht [mm] $10^n-1$ [/mm] aus?
Du hast das mit dem Widerspruchsbeweis nicht verstanden.
Analog könntest du ja auch folgendes beweisen:
Alle Primzahlen sind ungerade.
> Hier dann auch wieder der indirekt Beweis, ich Behaupte:
Alle Primzahlen sind gerade
> Dazu setzte ich p= 3
> Damit wäre meine Behauptung wieder falsch und beweisen,
> dass es die gegebene Aussage stimmt.
Also sind alle Primzahlen ungerade ?????
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 11.11.2012 | | Autor: | Tim_M |
Stimmt, mein Beweis ist ziemlich ...
Teilbarkeitsregel:
Eine Zahl ist durch 3 ohne Rest teilbar, wenn die Quersumme durch 3 ohne Rest teilbar ist
Was meist du mit: "Wie sieht [mm] 10^n [/mm] -1 aus?"
Als Ergebnis kommt immer etwas wie: 9, 99, 999, 9999 ...
Also [mm] (10^n [/mm] -1) mod 3 = 0
Könntest du mir noch einen Tipp zu den Beweisen geben, welchen ich am Besten verwende? Scheine da nicht so den Durchblick zu haben.
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> Stimmt, mein Beweis ist ziemlich ...
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> Teilbarkeitsregel:
> Eine Zahl ist durch 3 ohne Rest teilbar, wenn die
> Quersumme durch 3 ohne Rest teilbar ist
>
> Was meist du mit: "Wie sieht [mm]10^n[/mm] -1 aus?"
> Als Ergebnis kommt immer etwas wie: 9, 99, 999, 9999 ...
> Also [mm](10^n[/mm] -1) mod 3 = 0
>
> Könntest du mir noch einen Tipp zu den Beweisen geben,
> welchen ich am Besten verwende? Scheine da nicht so den
> Durchblick zu haben.
Ich würde es direkt machen.
Die Frage ist nur, was du verwenden darfst.
Falls du verwenden darfst, dass [mm] $10\equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 3$ gilt, dann steht es fast da.
Was folgt aus [mm] $10\equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 3$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 So 11.11.2012 | | Autor: | Tim_M |
Ich denke schon, steht doch auch im Hinweis? "Nutzen Sie den euklidischen Algorithmus"
Beim direkten Beweis würde ich die linke Seite so umformen, das sie rechte rauskommt.
Wenn [mm] (10^n [/mm] -1) immer durch 3 teilbar sein muss, gilt:
[mm] (10^n [/mm] -1) mod 3 = 0
Aber wie kommst du auf [mm] 10\equiv [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 3 ?
[mm] 10^n [/mm] mod 3 = 1 könnte ich nachvollziehen, aber so ...
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Probier doch die richtige Richtung
[mm]10 \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow 10^n \equiv 1 \mod 3\Rightarrow 10^n -1\equiv 0 \mod 3[/mm]
> Aber wie kommst du auf [mm]10 \equiv 1 \mod 3 [/mm] ?
Naja 10 durch 3 teilen und Rest nehmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 11.11.2012 | | Autor: | Tim_M |
Gut, dann muss ich noch 10 mod 3 = 1 und 1 = 1 schreiben und wäre damit durch.
Vielen Dank schonmal :D
Bei (b)
(m*n) /3 = m mod 3 $ [mm] \vee [/mm] $ n mod 3
(m*n) /3 = m [mm] \vee [/mm] n mod 3
Kann ich auch schreiben (m*n) mod 3 = m [mm] \vee [/mm] n mod 3 ?
Dann wäre es auch fast durch?
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Hallo [mm] Tim_M,
[/mm]
> Gut, dann muss ich noch 10 mod 3 = 1 und 1 = 1 schreiben
> und wäre damit durch.
1=1? Das sollte Teil jedes Beweises sein, das versteht man wenigstens. 
> Vielen Dank schonmal :D
>
> Bei (b)
>
> (m*n) /3 = m mod 3 [mm]\vee[/mm] n mod 3
> (m*n) /3 = m [mm]\vee[/mm] n mod 3
> Kann ich auch schreiben (m*n) mod 3 = m [mm]\vee[/mm] n mod 3 ?
> Dann wäre es auch fast durch?
Es gibt keine dieser Schreibweisen. Was soll das heißen?
Grüße
reverend
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Hallo Tim_M,
zu a) habe ich noch einen alternativen Vorschlag, der den binomischen Lehrsatz benutzt:
Es ist [mm]10^n=(9+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n\vektor{n\\
k}\cdot{}9^k=1+\sum\limits_{k=1}^n\vektor{n\\
k}\cdot{}9^k[/mm]
Also ist [mm]10^n-1=...[/mm]
Und beim entstehenden Ausdruck kann man sich leicht überzeugen, dass er durch 3 teilbar ist ...
Noch anders per Induktion: im Induktionsschritt:
Nach IV teilt 3 [mm]10^n-1[/mm], dann teilt 3 auch [mm]10\cdot{}(10^n-1)=10^{n+1}-10[/mm]
Weiter teilt 3 natürlich auch 9 und damit auch die Summe [mm]10^{n+1}-10+9=10^{n+1}-1[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Mo 12.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Vorschlag für a)
Beh.: ist q [mm] \in \IN [/mm] und q [mm] \ge [/mm] 2, so ist [mm] q^n-1 [/mm] teilbar durch q (n [mm] \in \IN)
[/mm]
Beweis: Sei [mm] a=\summe_{k=0}^{n-1}q^k. [/mm] Dann ist a [mm] \in \IN [/mm] und
[mm] a=\bruch{q^n-1}{q-1},
[/mm]
also: [mm] q^n-1=a(q-1).
[/mm]
FRED
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