Teilfolge konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Lu- |
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1)Eine Folge [mm] \{a_n \} [/mm] konvergiert genau dann gegen x, wenn jede Teilfolge von [mm] \{a_n \} [/mm] gegen x konvergiert
2)Eine Folge [mm] \{a_n \} [/mm] konvergiert genau dann gegen x, wenn jede Teilfolge [mm] \{ a_n__k \} [/mm] von [mm] \{ a_n \} [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] \{ a_n__k____j \} [/mm] besitzt, die gegen x konvergiert. |
Die Hinrichtung ist bei beiden AUssagen kein Problem.
Aber die Rückrichtung:
Für Aussage 1)
<=
Vorrausetzung: jede Teilfolge von [mm] \{a_n \} [/mm] konvergiert gegen x
Angenommen [mm] a_n [/mm] konvergiert nicht gegen a für n -> [mm] \infty.
[/mm]
[mm] \exists \epsilon [/mm] >0, [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \exists [/mm] n > N : [mm] |a_n [/mm] - a| > [mm] \epsilon
[/mm]
dann gilt aber auch für [mm] a_n_k [/mm] , dass [mm] |a_n__k [/mm] - a | > [mm] \epsilon \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
das würde heißen die Teilfoge konvergiert nicht gegen a was ein Widerspruch zur Vorrausetzung ist.
Für Aussage 2)
<=
Vorrausetzung: Jede Teilfolge [mm] \{ a_n__k \} [/mm] von [mm] \{ a_n \}besitzt [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] \{ a_n__k___j \} [/mm] die gegen x konvergiert.
Angenommen [mm] a_n [/mm] konvergiert nicht gegen a für n -> [mm] \infty.
[/mm]
[mm] \exists \epsilon [/mm] >0, [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \exists [/mm] n > N : [mm] |a_n [/mm] - a| > [mm] \epsilon
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt zu [mm] a_n__k___j [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Zu 1). Hier fehlt eine Konstruktion der Teilfolge [mm] $\{x_{n_k}\}$. [/mm] Und dazu korrigiere zuerst Deine Verneinung der Konvergenzbedingung. Die Verneinung von
"Es gibt ein $\ N$ mit der Eigenschaft [mm] $\cal [/mm] E(N)$" lautet
"Für kein $\ N$ gilt die Eigenschaft [mm] $\cal [/mm] E(N)$".
Es ist ratsam, die Konvergenzbedingung und ihre Verneinung deutsch ohne Quantoren zu formulieren.
Zu 2). Verwende die in 1) konstruierte Teilfolge und zeige, daß diese keine gegen $\ x$ konvergente Teilfolge haben kann.
Hilft das schon mal?
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Für alle Epsilon existiert ein N so dass für alle n größer als dieses N gilt [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \epsilon
[/mm]
Es existiert ein Epsilon für das es kein N gibt und für kein n größer als das N gilt [mm] a_n [/mm] - a| > [mm] \epsilon
[/mm]
Kannst du mir das vlt mal richtig hinschreiben? Weil so komme ich nicht zurecht.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Do 24.05.2012 | | Autor: | Helbig |
>
> Für alle Epsilon existiert ein N so dass für alle n
> größer als dieses N gilt [mm]|a_n[/mm] - a| < [mm]\epsilon[/mm]
>
> Es existiert ein Epsilon für das es kein N gibt und für
> kein n größer als das N gilt [mm]a_n[/mm] - a| > [mm]\epsilon[/mm]
Ich habe mir folgendes überlegt:
Konvergenz: Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein $\ N$, so daß für jedes $n>N$ gilt: [mm] $|a-a_n| [/mm] < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Divergenz: Es gibt ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$, so daß es zu jedem $\ N$ ein $n>N$ gibt mit: [mm] $|a-a_n| \ge \epsilon$.
[/mm]
Hilft das schon?
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:06 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
das mit der teilfolge konstruieren ist mir nicht klar. Vlt kann mir da nich wer ein bisschen mehr auf die Sprünge helfen.
Habe nun zu 2) versucht anders zu argumentieren.
Ist [mm] a_n [/mm] nicht konvergent gegen x, so gibt eine
Umgebung U von x mit der Eigenschaft, dass unendlich viele Folgenglieder von [mm] x_n [/mm] , die ich als eine Teilfolge [mm] (x_n__k [/mm] ) schreibe, nicht in U liegen.
Sei nun [mm] (x_n__k__j [/mm] )eine beliebige Teilfolge von ( [mm] x_n__k [/mm] ). Dann liegt in der Umgebung U um x keines, der Folgenglieder von ( [mm] x_n__k__j [/mm] )
-> [mm] x_n__k__j [/mm] konvergiert also nicht gegen x .-> widerspruch zur Vorrausetzung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 27.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
[mm] Tipp:(a_n) [/mm] ist Teilfolge von sich selbst.
FRED
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