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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mo 13.02.2012 | | Autor: | omarco |
| Aufgabe | 1. Die Vektoren [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] können zu einem Erzeugendensystem des [mm] R^{3} [/mm] ergänzt werden.
Die Vektoren [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] können zu einer Basis des [mm] R^{3} [/mm] ergänzt werden.
2. Die Teilmenge von { [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] } kann zu einem Erzeugendensystem des [mm] R^{3} [/mm] ergänzt werden. |
1. Heißt das, dass ich zu einer beliebigen Matrix A aus drei Vektoren des [mm] R^{3}, [/mm] die angegebenen ergänzen kann?
2. Grundsätzlich besteht eine Basis aus linearunabhänige Vektoren. Das ist dann nicht mehr der Fall, oder ?
3. Ich versteh jetzt nicht genau, warum man die Teilmenge zu einer Basis ergänzen kann? Schließlich ist die Teilmenge selbst linearabhänig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Komische Aufgabe ( ist das der wirkliche Wortlaut ?)
Deine Fragen sind auch nicht so, dass klar ist, was Du wissen willst.
Folgendes kann ich Dir sagen:
Die Menge
$B:= [mm] \{ $ \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } $ , $ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } $ , $ \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } $ \}$
[/mm]
besteht aus 3 linear unabhängigen Vektoren des [mm] \IR^3. [/mm] Damit ist B eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] und damit auch ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3.
[/mm]
Ist C eine beliebige Teilmenge des [mm] \IR^3, [/mm] so ist
$B':=B [mm] \cup [/mm] C$
ebenfalls ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3.
[/mm]
Natürlich ist B' i.a. keine Basis mehr.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mo 13.02.2012 | | Autor: | omarco |
> Komische Aufgabe ( ist das der wirkliche Wortlaut ?)
Das ist der Wortlaut einer Klausuraufgabe einer
"Elitehochschule" xD
>
> Deine Fragen sind auch nicht so, dass klar ist, was Du
> wissen willst.
>
> Folgendes kann ich Dir sagen:
>
> Die Menge
>
> [mm]B:= \{[/mm] [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm] [mm],[/mm] [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] [mm],[/mm]
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] [mm]\}[/mm]
Ist das jetzt ein Beispiel von dir? Ich hab den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] angegeben!
>
> besteht aus 3 linear unabhängigen Vektoren des [mm]\IR^3.[/mm]
> Damit ist B eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] und damit auch ein
> Erzeugendensystem des [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Ist C eine beliebige Teilmenge des [mm]\IR^3,[/mm] so ist
>
> [mm]B':=B \cup C[/mm]
>
> ebenfalls ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Natürlich ist B' i.a. keine Basis mehr.
>
> FRED
Ich glaube mir ist noch nicht klar, was die Definition eines Erzeugendensystems und einer Teilmenge ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Komische Aufgabe ( ist das der wirkliche Wortlaut ?)
>
> Das ist der Wortlaut einer Klausuraufgabe einer
> "Elitehochschule" xD
> >
> > Deine Fragen sind auch nicht so, dass klar ist, was Du
> > wissen willst.
> >
> > Folgendes kann ich Dir sagen:
> >
> > Die Menge
> >
> > [mm]B:= \{[/mm] [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm] [mm],[/mm] [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] [mm],[/mm]
> > [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] [mm]\}[/mm]
>
> Ist das jetzt ein Beispiel von dir? Ich hab den Vektor
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm] angegeben!
Nein. Wörtlich hast Du geschrieben:
"Aufgabe
1. Die Vektoren $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $ , $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $ , $ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] $ können zu einem Erzeugendensystem des $ [mm] R^{3} [/mm] $ ergänzt werden.
Die Vektoren $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $ , $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $ , $ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] $ können zu einer Basis des $ [mm] R^{3} [/mm] $ ergänzt werden.
2. Die Teilmenge von { $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $ , $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $ , $ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] $ } kann zu einem Erzeugendensystem des $ [mm] R^{3} [/mm] $ ergänzt werden. "
Da sehe ich nirgendwo den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
>
> >
> > besteht aus 3 linear unabhängigen Vektoren des [mm]\IR^3.[/mm]
> > Damit ist B eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] und damit auch ein
> > Erzeugendensystem des [mm]\IR^3.[/mm]
> >
> > Ist C eine beliebige Teilmenge des [mm]\IR^3,[/mm] so ist
> >
> > [mm]B':=B \cup C[/mm]
> >
> > ebenfalls ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^3.[/mm]
> >
> > Natürlich ist B' i.a. keine Basis mehr.
> >
> > FRED
>
> Ich glaube mir ist noch nicht klar, was die Definition
> eines Erzeugendensystems und einer Teilmenge ist.
Ist A Teilmenge eines Vektorraumea V, so heißt A ein Erzeugendensystem von V, wenn
<A>=V
ist, dabei bezeichne <A> die lineare Hülle von A.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Mo 13.02.2012 | | Autor: | omarco |
Ich sehe gerade ich habe mich vertippt :D
Der erste Vektor soll [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich sehe gerade ich habe mich vertippt :D
>
> Der erste Vektor soll [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
Wir haben also $A:= [mm] \{ \vektor{0 \\ 0 \\ 0 } , \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } , \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } \}$
[/mm]
A kann zu einem Erzeugendensystem von [mm] \IR^3 [/mm] ergänzt werde. Z.B.
$A [mm] \cup \{ \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } \}$
[/mm]
Zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] kannst Du A nicht ergänzen, denn für eine beliebige Teilmenge C des [mm] \IR^3 [/mm] ist die Menge
$A [mm] \cup [/mm] C$
stets linear abhängig, weil $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 } \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] C$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mo 13.02.2012 | | Autor: | omarco |
Ich muss mir wirklich nochmal alles genau durchlesen, wenn ich was schreibe.
Die dritte Aufgabe soll heißen :
Die Teilmenge von { [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] } kann zu einer Basis des [mm] R^{3} [/mm] ergänzt werden.
Da versteh ich noch nicht genau, warum dies möglich ist? Die Teilmenge selber ist doch Linearabhänig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich muss mir wirklich nochmal alles genau durchlesen, wenn
> ich was schreibe.
>
> Die dritte Aufgabe soll heißen :
>
> Die Teilmenge von { [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} kann zu einer Basis des [mm]R^{3}[/mm]
> ergänzt werden.
Steht da vielleicht ."... eine Teilmenge von ....." ? Wenn ja, so kannst Du die Teilmenge
[mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } , \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } \}
[/mm]
zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen.
Wie ?
FRED
>
> Da versteh ich noch nicht genau, warum dies möglich ist?
> Die Teilmenge selber ist doch Linearabhänig ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Mo 13.02.2012 | | Autor: | omarco |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> > Ich muss mir wirklich nochmal alles genau durchlesen, wenn
> > ich was schreibe.
> >
> > Die dritte Aufgabe soll heißen :
> >
> > Die Teilmenge von { [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> > , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> } kann zu einer Basis des [mm]R^{3}[/mm]
> > ergänzt werden.
>
> Steht da vielleicht ."... eine Teilmenge von ....." ? Wenn
> ja, so kannst Du die Teilmenge
>
> [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } , \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } \}[/mm]
>
> zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen.
>
> Wie ?
Ja, das steht "eine Teilmenge von".
>
> FRED
> >
> > Da versteh ich noch nicht genau, warum dies möglich ist?
> > Die Teilmenge selber ist doch Linearabhänig ?
>
Ok, ich habe gedacht, das ganze wäre die Teilmenge und nicht, dass ich einen Teil davon benutzen darf.
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