Teilmenge < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Do 11.10.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | | Sei Q [mm] \in \IR^{2} [/mm] ein Quadrat der Seitenlänge a, und sei [mm] \epsilon>0. [/mm] Weiter sei M eine Teilmenge von Q, mit der Eigenschaft, dass der Abstand zwischen je zwei Punkten von M stets [mm] \ge \epsilon. [/mm] Man fnde eine explizite obere Schranke für die Anzahl der Elemente von M. |
Ich habe null Vorstellung, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Nun ein Element b [mm] \in \IQ [/mm] heisst obere Schranke von M, wenn x
[mm] \le [/mm] b für alle x [mm] \in [/mm] M...
Wie soll ich das mit dem Quadrat in Verbindung bringen und allgemein was es mit dem Thema Untergruppen, Nebenklassen und Isomorphismus zu tun hat, ist mir unklar.
Wäre froh, wenn es mir jemand erklären könnte.
Danke und mfg :)
|
|
| |
|
> Sei Q [mm]\in \IR^{2}[/mm] ein Quadrat der Seitenlänge a, und sei
> [mm]\epsilon>0.[/mm] Weiter sei M eine Teilmenge von Q, mit der
> Eigenschaft, dass der Abstand zwischen je zwei Punkten von
> M stets [mm]\ge \epsilon.[/mm] Man finde eine explizite obere
> Schranke für die Anzahl der Elemente von M.
> Ich habe null Vorstellung, wie ich diese Aufgabe lösen
> soll.
>
> Nun ein Element b [mm]\in \IQ[/mm] heisst obere Schranke von M, wenn
> x
> [mm]\le[/mm] b für alle x [mm]\in[/mm] M...
>
> Wie soll ich das mit dem Quadrat in Verbindung bringen und
> allgemein was es mit dem Thema Untergruppen, Nebenklassen
> und Isomorphismus zu tun hat, ist mir unklar.
Hallo,
diese Aufgabe hat kaum viel mit Gruppentheorie etc. zu
tun, aber wohl mit Elementargeometrie. Ist P ein Element
von M, so kann es im Inneren des Kreises um P mit
Radius [mm] \epsilon [/mm] keine weiteren Punkte von M geben.
Da der Flächeninhalt von Q endlich ist, kann es deshalb
in M auch nur endlich viele Punkte geben.
Um zu einer oberen Schranke für die Anzahl der Elemente
von M zu kommen, kannst du z.B. das Quadrat Q in Teil-
quadrate einer geeigneten Seitenlänge zerlegen mit der
Eigenschaft, dass jedes dieser Teilquadrate höchstens
einen Punkt von M enthalten kann.
Wenn du ganz ehrgeizig bist und die kleinste obere
schranke ermitteln möchtest, dann wird es deutlich
schwieriger, denn du müsstest dich dann mit Kreis-
packungen in der Ebene beschäftigen.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Fr 12.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> diese Aufgabe hat kaum viel mit Gruppentheorie etc. zu
> tun, aber wohl mit Elementargeometrie. Ist P ein Element
> von M, so kann es im Inneren des Kreises um P mit
> Radius [mm]\epsilon[/mm] keine weiteren Punkte von M geben.
> Da der Flächeninhalt von Q endlich ist, kann es deshalb
> in M auch nur endlich viele Punkte geben.
> Um zu einer oberen Schranke für die Anzahl der Elemente
> von M zu kommen, kannst du z.B. das Quadrat Q in Teil-
> quadrate einer geeigneten Seitenlänge zerlegen mit der
> Eigenschaft, dass jedes dieser Teilquadrate höchstens
> einen Punkt von M enthalten kann.
alternativ kann man auch einen Kreis um jeden Punkt legen mit einem Radius, so dass sich zwei solche Kreise nicht schneiden. Dann ist die Summe der Kreisflaecheninhalte kleiner als der Flaecheninhalt eines etwas vergroesserten Quadrates. Damit bekommt man eine obere Schranke fuer die Anzahl der Elemente im Kreis.
> Wenn du ganz ehrgeizig bist und die kleinste obere
> schranke ermitteln möchtest, dann wird es deutlich
> schwieriger, denn du müsstest dich dann mit Kreis-
> packungen in der Ebene beschäftigen.
Das ist aber wirklich ein sehr schweres Problem :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
> alternativ kann man auch einen Kreis um jeden Punkt legen
> mit einem Radius, so dass sich zwei solche Kreise nicht
> schneiden. Dann ist die Summe der Kreisflaecheninhalte
> kleiner als der Flaecheninhalt eines etwas vergroesserten
> Quadrates. Damit bekommt man eine obere Schranke fuer die
> Anzahl der Elemente im Kreis.
Natürlich - dies ist ja auch die erste Idee zur Lösung hin.
Ich habe Quadrate vorgeschlagen, weil damit die Rechnung
noch einfacher wird.
LG, Al
|
|
|
|
