Teilmenge offen/abgeschlossen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 So 15.04.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Welche der Teilmengen von [mm] \IR [/mm] sind offen und welche abgeschlossen?
a) M = [-3,4)
b) N = [mm] [3,\infty)
[/mm]
c) P = {0} [mm] \cup \{\bruch{1}{n} | n aus\IN\} [/mm] |
zu a) Ich würde hier sagen, die Teilmenge ist nicht offen, da das Element "-3" auf dem Rand des Intervalls liegt. Die 4 hingegen liegt nicht mehr im Intervall und daher ist es ebenso nicht abgeschlossen.
-> nicht offen, nicht abgeschlossen
zu b) Hier liegt die 3 wieder auf dem Rand, heißt es ist schonmal nicht offen. Mit dem abgeschlossen sein, bin ich mir hier nicht sicher, da [mm] \infty [/mm] ja keine Zahl ist. Gibt es denn einen Unterschied zwischen [mm] [3,\infty) [/mm] und [mm] [3,\infty]?
[/mm]
-> nicht offen, ???abgeschlossen ja/nein???
zu c) Hier würde ich wieder sagen, dass die Teilmenge auf der "linken Seite" von 0 begrenzt wird, jedoch gehört die 0 zur Menge und somit handelt es sich schonmal um keine offene Teilmenge.
Auf der rechten Seite ist für n=1 hingegen das Intervall ebenso begrenzt, also es dürfte somit nichts Anderes sein, als [0,1] und das wäre ja wiederum eine abgeschlossene Teilmenge.
-> nicht offen, aber abgeschlossen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 So 15.04.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo ggT,
> Welche der Teilmengen von [mm]\IR[/mm] sind offen und welche
> abgeschlossen?
> a) M = [-3,4)
> b) N = [mm][3,\infty)[/mm]
> c) P = {0} [mm]\cup \{\bruch{1}{n} | n aus\IN\}[/mm]
> zu a) Ich
> würde hier sagen, die Teilmenge ist nicht offen, da das
> Element "-3" auf dem Rand des Intervalls liegt. Die 4
> hingegen liegt nicht mehr im Intervall und daher ist es
> ebenso nicht abgeschlossen.
> -> nicht offen, nicht abgeschlossen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu b) Hier liegt die 3 wieder auf dem Rand, heißt es ist
> schonmal nicht offen. Mit dem abgeschlossen sein, bin ich
> mir hier nicht sicher, da [mm]\infty[/mm] ja keine Zahl ist. Gibt es
> denn einen Unterschied zwischen [mm][3,\infty)[/mm] und [mm][3,\infty]?[/mm]
> -> nicht offen, ???abgeschlossen ja/nein???
Da - wie du richtig sagst - [mm]\infty[/mm] keine Zahl ist, ist die Schreibweise [mm][3,\infty][/mm] nicht sinnvoll.
Bei Teilmengen von [mm]\mathbb R[/mm] gilt: Die Menge ist offen, wenn man um jeden Punkt ein (u.U. sehr kleines) offenes Intervall legen kann, das ganz in der Menge enthalten ist.
Bei [mm][3,\infty)[/mm] geht das nicht, weil kein Intervall, das 3 als "inneren Punkt" hat ganz in [mm][3,\infty)[/mm] liegt.
Die andere Seite macht keine Probleme: für jede noch so große Zahl [mm]a\in [3,\infty)[/mm] kannst du z.B. [mm](a-1,a+1)[/mm] nehmen. (Das heißt also [mm](3,\infty)[/mm] wäre eine offene Menge.)
Weiter gilt: Eine Teilmenge [mm]A\subset\mathbb R[/mm] ist abgeschlossen, wenn [mm]\mathbb R\setminus A[/mm] offen ist.
Also ist [mm][3,\infty)[/mm] abgeschlossen, denn [mm]\mathbb R\setminus [3,\infty)=(-\infty, 3)[/mm] ist offen.
> zu c) Hier würde ich wieder sagen, dass die Teilmenge auf
> der "linken Seite" von 0 begrenzt wird, jedoch gehört die
> 0 zur Menge und somit handelt es sich schonmal um keine
> offene Teilmenge.
> Auf der rechten Seite ist für n=1 hingegen das Intervall
> ebenso begrenzt, also es dürfte somit nichts Anderes sein,
> als [0,1] und das wäre ja wiederum eine abgeschlossene
> Teilmenge.
> -> nicht offen, aber abgeschlossen
Nein, diese Menge ist nicht das Intervall [mm][0,1][/mm]. Sie setzt sich zwar aus unendlich vielen Punkten zusammen, aber diese liegen nicht "beieinander" - es gibt also Lücken (z.B. [mm]\frac{2}{3}[/mm] liegt nicht in der Menge).
Aber du hast recht: diese Menge ist abgeschlossen. Das kannst du z.B. wie bei b) begründen:
Die Menge [mm]\mathbb R\setminus P[/mm] besteht aus unendlich vielen offenen Intervallen, d.h. sie ist offen. Also ist P abgeschlossen.
Lieben Gruß,
Fulla
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