Teilmengen der kompl. Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Mo 12.06.2006 | | Autor: | mathika |
| Aufgabe | Skizzieren Sie die folgende Teilmenge von [mm] \IC:
[/mm]
M= {z | | z - i | = 4i [mm] \} [/mm] |
Ist diese Menge leer? Ich habe mir überlegt, dass die Menge aus 5i und 3i bestehen könnte. Aber ich weiss nicht, ob ich so rechnen darf:
| z - i | = 4i
| (a+bi) - i | = 4i
| a+(b-1)i | = 4i
Wenn ich jetzt a=o einsetze, erhalte ich:
| (b-1)i | = 4i
Wenn ich b=5 oder b= -3 einsetze, gilt das:
| 4i | = 4i bzw.
| -4i | = 4i ??
Eigentlich kann das nicht stimmen, aber wieso?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Mo 12.06.2006 | | Autor: | choosy |
Hi, also so wies dasteht ist die menge leer, denn
$|z-i|$ ist eine Reelle Zahl (wegen dem Betrag)
diese wird nie $=4i$ sein, da diese rein imaginär ist....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 12.06.2006 | | Autor: | mathika |
Vielen Dank!
Ich war mir nicht sicher, ob der Abstand zweier Zahlen eine reelle Zahl sein muss. Aber dann ist es klar...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mi 14.06.2006 | | Autor: | mathika |
| Aufgabe | Skizzieren Sie folgende Teilmenge von der Menge der koplexen Zahlen:
M={z| [mm] z^{4}=16i [/mm] } |
Hallo, ich hab hier noch eine Frage:
Kann ich bei der Aufgabe anstatt z einfach a+bi schreiben und dann so auflösen:
[mm] (a+bi)^{4}=16i
[/mm]
[mm] (a^{2}+2abi-b^{2})^{2}=16i
[/mm]
[mm] a^{4}+b^{4}+4a^{3}bi-4ab^{3}i-6a^{2}b^{2}=16i
[/mm]
[mm] (a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2})+(4a^{3}b-4ab^{3})i=16i [/mm] ?
Muss dann [mm] (a^{4}+b^{4}-6a^{2}b^{2})=0
[/mm]
und [mm] (4a^{3}b-4ab^{3})=16 [/mm] sein???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
ich würde da die vierte Wurzel aus 16i ziehen.
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
Hallo mathika!
Dein Weg ist theoretisch möglich und von der Idee her richtig. Allerdings wird es nun schwierig (denke ich  ), dieses entstandene Gleichungssystem für $a_$ und $b_$ zu lösen.
Mein Vorschlag wäre hier die Anwendung der Moivre-Formel:
$z \ = \ [mm] r*\left[\cos(\varphi) + i*\sin(\varphi)\right]$ [/mm]
Dann gilt für: $z \ = \ 16*i \ = \ [mm] 16*\left[\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right]$ [/mm]
Und für die n-te Wurzel gilt:
[mm] $\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] z^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] r^{\bruch{1}{n}}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right) + i*\sin\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right)\right]$ [/mm] mit $k \ = \ 0 \ ... \ n-1$
Nun einfach mal die Werte $k \ = \ 0, 1, 2, 3$ in diese Formel einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 14.06.2006 | | Autor: | mathika |
Also, erstmal danke euch beiden!
Aber ich hab's noch nicht ganz verstanden... Warum ist denn bei
[mm]z \ = \ 16*i \ = \ 16*\left[\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right][/mm]
nicht [mm]z^{4} \ = \ 16*i \ = \ 16*\left[\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right][/mm] ?
[mm]\wurzel[n]{z} \ = \ z^{\bruch{1}{n}} \ = \ r^{\bruch{1}{n}}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right) + i*\sin\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right)\right][/mm]
> mit [mm]k \ = \ 0 \ ... \ n-1[/mm]
Was setze ich denn dann für [mm] \varphi [/mm] ein? [mm] \bruch{\pi}{2}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo mathika!
> Warum ist denn bei [mm]z \ = \ 16*i \ = \ 16*\left[\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right][/mm]
> nicht [mm]z^{4} \ = \ 16*i \ = \ 16*\left[\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) + i*\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)\right][/mm] ?
Da hast Du Recht ... ich habe etwas mit den Bezeichnungen geschludert ...
> Was setze ich denn dann für [mm]\varphi[/mm] ein? [mm]\bruch{\pi}{2}?[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau! Ich hatte hier halt die allgemeine Formel angegeben. In unserem Falle gilt ja [mm] $\varphi [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mi 14.06.2006 | | Autor: | mathika |
Super! Danke... Aber woher weiß ich denn, dass für die n-te Wurzel
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] z^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] r^{\bruch{1}{n}}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right) + i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $ mit $ k \ = \ 0 \ ... \ n-1 $
gilt? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
|
|
|
|
![[huhu]](/images/smileys/huhu.gif "[huhu]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[vogelzeig]](/images/smileys/vogelzeig.gif "[vogelzeig]"){kind=small}
![[totlach]](/images/smileys/totlach.gif "[totlach]"){kind=small}
![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]"){kind=small}
