Teilmengen einer Matrix < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 Do 04.12.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | V = M(m x m; [mm] \IK) [/mm] oder auch V = M(m; [mm] \IK), \IK [/mm] ist ein Körper.
Sind die Teilmengen
a) [mm] U_1 [/mm] = { A [mm] \in [/mm] V | A = [mm] {}^{t}A}
[/mm]
b) [mm] U_2 [/mm] = { A [mm] \in [/mm] V | [mm] rang(E_m [/mm] - A) = m}
jeweils ein Unterraum?
[mm] {}^{t}A [/mm] steht hier für die transponierte Matrix A. |
Wenn es nicht so ist brauch man ja nur das Gegenbeispiel Zeigen. So denke ich das bei [mm] U_2 [/mm] es eine Ausnahme gibt:
Zu Zeigen: [mm] \forall \lambda \in \IK \wedge [/mm] A [mm] \in [/mm] V : [mm] \lambda [/mm] * A [mm] \in [/mm] V
Sei m = 2 , A = [mm] \pmat{ 3 & 4 \\ 0 & 1 } [/mm] , [mm] \lambda \in \IK [/mm] , so ist nach Definition
[mm] \lambda [/mm] * [mm] rang(E_2 [/mm] - A) = [mm] \lambda [/mm] * 2
[mm] \gdw \lambda [/mm] rang ( [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ 3 & 4 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * 2
[mm] \gdw \lambda [/mm] * rang ( [mm] \pmat{ -2 & -4 \\ 0 & 0 } [/mm] ) = [mm] \lambda [/mm] * 2
[mm] \gdw \lambda [/mm] * 1 = [mm] \lambda [/mm] * 2
[mm] \gdw [/mm] 1 = 2 .
Was ein Wiederspruch ist, somit nicht abgeschlossen bezüglich Multiplikation und auch kein Unterraum von M(m; [mm] \IK [/mm] )
Ist das immer noch so einfach?
Wie macht man das mit Transponierten?
Da dürfte es ja nur mit symmetrischen Matrizen gehen oder der Einheitsmatrix.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 Do 04.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Vorsicht: Das A, das du dir gewählt hast, liegt gar nicht in [mm] U_{2}!
[/mm]
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> V = M(m x m; [mm]\IK)[/mm] oder auch V = M(m; [mm]\IK), \IK[/mm] ist ein
> Körper.
>
> Sind die Teilmengen
> a) [mm]U_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { A [mm]\in[/mm] V | A = [mm]{}^{t}A}[/mm]
> b) [mm]U_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { A [mm]\in[/mm] V | [mm]rang(E_m[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
- A) = m}
> jeweils ein Unterraum?
>
> [mm]{}^{t}A[/mm] steht hier für die transponierte Matrix A
> Wenn es nicht so ist brauch man ja nur das Gegenbeispiel
> Zeigen.
Hallo,
ja.
> So denke ich das bei [mm]U_2[/mm] es eine Ausnahme gibt:
>
> Zu Zeigen: [mm]\forall \lambda \in \IK \wedge[/mm] A [mm]\in[/mm] V :
> [mm]\lambda[/mm] * A [mm]\in[/mm] V
>
> Sei m = 2 , A = [mm]\pmat{ 3 & 4 \\ 0 & 1 }[/mm] , [mm]\lambda \in \IK[/mm] ,
> so ist nach Definition
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]rang(E_2[/mm] - A) = [mm]\lambda[/mm] * 2
Quatsch mit Soße!
Was soll denn das für eine Definition sein, die Du hier verwendest?
Wenn Du herausfinden willst, ob für [mm] A\in [/mm] V [mm]\lambda[/mm] * A [mm]\in[/mm] V ist,
mußt Du den Rang von [mm] E_2 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] A bestimmen und gucken, ob der für jedes [mm] \lambda [/mm] =2 ist.
Wenn Du ein [mm] \lambda [/mm] findest, für das das nicht der Fall ist, ist die Menge nicht abgeschlossen.
(Du mußt allerdings, wie vom Vorredner bemerkt, auch eine Matrix nehmen, die in der Menge liegt.)
> Ist das immer noch so einfach?
> Wie macht man das mit Transponierten?
> Da dürfte es ja nur mit symmetrischen Matrizen gehen
Andere als symmetrische Matrizen sind doch gar nicht in [mm] U_1.
[/mm]
Zeigen mußt Du nun die Unterraumkriterien.
Gruß v. Angela
oder
> der Einheitsmatrix.
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