Teilmengen im R^R < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:00 Di 11.12.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Sei E = [mm] \IR^\IR [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] aller Abbildungen [mm] \IR \to \IR. [/mm] Für k [mm] \in \IZ [/mm] definiert man [mm] g_k \in [/mm] E durch [mm] g_k(x) [/mm] = cos(kx) und [mm] h_k(x) \in [/mm] E durch [mm] h_k(x) [/mm] = sin(kx).
(a) Zeige, dass die Teilmenge M = [mm] \{g_k | k \ge 0 \} \subset [/mm] E linear unabhängig ist.
(b) Zeige, dass die Teilmenge N = [mm] \{h_l | l \ge 1 \} \subset [/mm] E linear unabhängig ist.
(c) Zeige, dass die Teilmenge M [mm] \cup [/mm] N [mm] \subset [/mm] E linear unabhängig ist.
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Hi,
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, ich habe nämlich keine Ahnung, wie man an diese Aufgabe drangehen soll. Vielleicht kann mir auch jemand einen Ansatz liefern.
Vielen Dank
Gruß Smex
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Hi,
> Sei E = [mm]\IR^\IR[/mm] der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] aller Abbildungen [mm]\IR \to \IR.[/mm]
> Für k [mm]\in \IZ[/mm] definiert man [mm]g_k \in[/mm] E durch [mm]g_k(x)[/mm] =
> cos(kx) und [mm]h_k(x) \in[/mm] E durch [mm]h_k(x)[/mm] = sin(kx).
>
> (a) Zeige, dass die Teilmenge M = [mm]\{g_k | k \ge 0 \} \subset[/mm]
> E linear unabhängig ist.
>
> (b) Zeige, dass die Teilmenge N = [mm]\{h_l | l \ge 1 \} \subset[/mm]
> E linear unabhängig ist.
>
> (c) Zeige, dass die Teilmenge M [mm]\cup[/mm] N [mm]\subset[/mm] E linear
> unabhängig ist.
>
eine ganz leichte loesung kann ich dir leider nicht anbieten. Meine einzige idee: die funktionen in der aufgabe bilden die fourier basis. diese sind nicht nur lin. unabh. sondern darueber hinaus auch noch orthogonal, dh.
[mm] $\int \sin(kx)\sin(jx)\,dx [/mm] =0$ fuer [mm] $k\ne [/mm] j$.
du koenntest also evtl. ueber diese orthogonalitaet argumentieren. Unter dem stichwort 'fourier basis' solltest du dazu einiges im internet finden.
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mi 12.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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