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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für Q[√2] definiert durch Q[√2] = {r + s√2 : r, s ∈ Q}
gilt:
Q ⊆ Q[√2] ⊆ R. |
Hallo,
ich mache aktuell meine ersten "gehversuche" in der Hochschulmathematik und tu mich insbesondere bei den Übungsaufgaben sehr schwer.
Mir sind die Definitionen (insb. die Körperaxiome, was eine Teilmenge bedeutet) klar und damit komme ich auch zurecht. Sofern man Mengen gegeben hat, die konkret angegeben sind, ist mir das auch völlig klar wie ich zeigen kann, dass eine Menge Teilmenge einer Obermenge ist. Aber bei den Zahlenräumen, insbesondere wenn die Aufgabe so "offen" gestaltet ist, komme ich nicht weiter.
Kann mir jemand einen Denkanstoß geben?
Viele Grüße,
mathelernender
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Fr 24.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathelernender und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Zeigen Sie, dass für Q[√2] definiert durch Q[√2] = {r
> + s√2 : r, s ∈ Q}
> gilt:
> Q ⊆ Q[√2] ⊆ R.
> Mir sind die Definitionen (insb. die Körperaxiome, was
> eine Teilmenge bedeutet) klar und damit komme ich auch
> zurecht.
Dann verrate ich dir ja nichts Neues, dass zu zeigen ist:
1. Für alle [mm] $q\in\IQ$ [/mm] gilt [mm] $q\in\IQ[\sqrt2]$.
[/mm]
2. Für alle [mm] $x\in\IQ[\sqrt2]$ [/mm] gilt [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
> Kann mir jemand einen Denkanstoß geben?
Zu 1.:
Sei [mm] $q\in\IQ$ [/mm] beliebig vorgegeben.
Zeige nun, dass [mm] $q\in\IQ[\sqrt2]$ [/mm] gilt, indem du [mm] $r,s\in\IQ$ [/mm] mit [mm] $q=r+s\sqrt2$ [/mm] findest.
Zu 2.:
Sei [mm] $x\in\IQ[\sqrt2]$ [/mm] beliebig vorgegeben.
Zeige [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
(Was bedeutet [mm] $x\in\IQ[\sqrt2]$?)
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Hallo tobit09, vielen Dank für Deine Teilnahme und Hilfestellung  .
Also, das "Setup" zu der Lösung ist mir jetzt ein wenig klarer geworden, ich versuche mal loszulegen.
Also, erstmal die Definition der rationalen Zahlen:
[mm] \IQ =\{p/q | q\not=0, p,q \in \IZ \}
[/mm]
Also wähle ich erstmal eine Zahl q [mm] \in \IQ.
[/mm]
q = a/b. (also eine beliebiges Objekt [mm] \in \IQ)
[/mm]
Diese Zahl muss ich ja nun auch in [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] finden...
Also sei q [mm] \in \IQ[\wurzel{2}], [/mm] r,s [mm] \in \IQ [/mm] mit q = [mm] r+s[\wurzel{2}].
[/mm]
Definition anwenden von [mm] \IQ [/mm] für r,s:
q = [mm] r+s[\wurzel{2}]= [/mm] p/r + [mm] t/u[\wurzel{2}].
[/mm]
Und nun steh ich etwas auf dem Schlauch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Sa 25.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Tobit hats doch gesagt:
Ist [mm] $q\in\IQ [/mm] $ vorgegeben. so ist z.z. dass $ [mm] q\in\IQ[\sqrt2] [/mm] $ gilt.
Finde alao $ [mm] r,s\in\IQ [/mm] $ mit $ [mm] q=r+s\sqrt2 [/mm] $
Stupser: es ist $q [mm] \in \IQ$ [/mm] ebenso $r$. Nützlich ist auch $0 [mm] \in \IQ$
[/mm]
FRED
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Hi fred97,
vielen lieben Dank für Deine Teilnahme hier!
ich hoffe jetzt hat es geklingelt bei mir...
Also:
[mm] \IQ =\{p/q | q\not=0, p,q \in \IZ \}
[/mm]
Sei nun q beliebig [mm] \in \IQ.
[/mm]
Das heißt, q = a/b, wobei a,b [mm] \in \IZ.
[/mm]
Finde nun q in [mm] \IQ[\wurzel{2}].
[/mm]
Sei p [mm] \in \IQ[\wurzel{2}], [/mm] r,s [mm] \in \IZ [/mm] mit p = [mm] r+s[\wurzel{2}].
[/mm]
Da 0 (das neutrale Element der Multiplikation, [mm] \IQ [/mm] ist ein Körper) in [mm] \IQ [/mm] enthalten ist, gilt nun: (setze s =0)
p = a/b + [mm] 0[\wurzel{2}] [/mm] = a/b
Also gilt p = a/b = q [mm] \in \IQ[\wurzel{2}].
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] q [mm] \in \IQ \Rightarrow [/mm] q [mm] \in \IQ[\wurzel{2}]
[/mm]
Damit ist [mm] \IQ \subseteq \IQ[\wurzel{2}] [/mm] gezeit.
Ich denke das kommt so hin, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi fred97,
>
> vielen lieben Dank für Deine Teilnahme hier!
>
> ich hoffe jetzt hat es geklingelt bei mir...
>
> Also:
>
> [mm]\IQ =\{p/q | q\not=0, p,q \in \IZ \}[/mm]
>
> Sei nun q beliebig [mm]\in \IQ.[/mm]
> Das heißt, q = a/b, wobei a,b
> [mm]\in \IZ.[/mm]
erwähne dann auch $b [mm] \neq [/mm] 0$.
> Finde nun q in [mm]\IQ[\wurzel{2}].[/mm]
>
> Sei p [mm]\in \IQ[\wurzel{2}],[/mm] r,s [mm]\in \IZ[/mm] mit p =
> [mm]r+s[\wurzel{2}].[/mm]
> Da 0 (das neutrale Element der Multiplikation, [mm]\IQ[/mm] ist ein
> Körper) in [mm]\IQ[/mm] enthalten ist, gilt nun: (setze s =0)
> p = a/b + [mm]0[\wurzel{2}][/mm] = a/b
> Also gilt p = a/b = q [mm]\in \IQ[\wurzel{2}].[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] q
> [mm]\in \IQ \Rightarrow[/mm] q [mm]\in \IQ[\wurzel{2}][/mm]
>
> Damit ist [mm]\IQ \subseteq \IQ[\wurzel{2}][/mm] gezeit.
>
> Ich denke das kommt so hin, oder?
Ja - aber wofür Du [mm] $q=a/b\,$ [/mm] schreibst, weiß ich auch nicht. Das ist hier
wirklich alles ziemlich trivial:
Für $q [mm] \in \IQ$ [/mm] setzen wir $r:=q [mm] \in \IQ$ [/mm] und [mm] $s:=0:=0_{\IQ} \in \IQ\,,$ [/mm] dann folgt
[mm] $q=q+0*\sqrt{2}=\underbrace{r}_{=q \in \IQ}+\underbrace{s}_{=0 \in \IQ} *\sqrt{2} \blue{\;\in \IQ[\sqrt{2}]\,}$
[/mm]
nach Definition von [mm] $\blue{\,\IQ[\sqrt{2}]\,.}$
[/mm]
Nebenbei: Kann es sein, dass ihr nicht nur
[mm] $\IQ \,\subseteq \,\IQ[\sqrt{2}]\,\subseteq\,\IR$
[/mm]
zeigen sollt, sondern sogar vielmehr, dass [mm] $\IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] auch ein (Zwischen-)Körper
ist?
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel,
danke für Deine Antwort!
Du, also im Grunde genommen hast du recht das es recht trivial wirkt - vorallem wenn ich auch nochmal Deine Argumentation (so kurz und mathematisch prägnant geschrieben) lese. Aber: Ich mache meine ersten größeren Gehversuche mit der Mathematik. Viele Dinge, die auf Dich wirklich sehr easy wirken, bewirken mir als "Neuling" teilweise arge Kopfschmerzen...
Um noch zu zeigen, dass [mm] \IQ[\sqrt{2}]\,\subseteq\,\IR [/mm] ist, muss ich doch quasi nach dem gleichen Schema arbeiten:
Ich wähle ein beliebiges Element q [mm] \in \IQ[\sqrt{2}] [/mm] und zeige das es auch [mm] \in \IR [/mm] ist.
Hier könnte ich doch für r = 0 und s = 1 wählen und somit zeigen bzw. darlegen, das [mm] \sqrt{2} \in \IR [/mm] ist, oder? (Hier sei allerdings erwähnt, ich wüßte auf anhieb nicht, wie ich es zeige, dass Wurzel 2 Element [mm] \IR [/mm] ist, aber ich "weiß es"...)
So wie die Aufgabe beschrieben ist glaube ich nicht, dass ich das zeigen muss, dass [mm] \IQ\sqrt{2} [/mm] ein Zwischenkörper ist. Aber der neugier halber - was müsste ich da tun? Bzw: Würde die aktuelle Argumentation nicht ausreichen um dies zu zeigen? (neugierig und dran interessiert bin ich ja!)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Marcel,
>
> danke für Deine Antwort!
>
> Du, also im Grunde genommen hast du recht das es recht
> trivial wirkt - vorallem wenn ich auch nochmal Deine
> Argumentation (so kurz und mathematisch prägnant
> geschrieben) lese. Aber: Ich mache meine ersten größeren
> Gehversuche mit der Mathematik. Viele Dinge, die auf Dich
> wirklich sehr easy wirken, bewirken mir als "Neuling"
> teilweise arge Kopfschmerzen...
das ist normal. Am Anfang vermutet man oft aber auch, dass es doch gar
nicht so einfach sein kann. Oder manchmal ist es einfach umgekehrt: Man
weiß gar nicht, wie man anfangen soll...
> Um noch zu zeigen, dass [mm]\IQ[\sqrt{2}]\,\subseteq\,\IR[/mm] ist,
> muss ich doch quasi nach dem gleichen Schema arbeiten:
>
> Ich wähle ein beliebiges Element q [mm]\in \IQ[\sqrt{2}][/mm] und
> zeige das es auch [mm]\in \IR[/mm] ist.
So ist es: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Hier könnte ich doch für r = 0 und s = 1 wählen und
> somit zeigen bzw. darlegen, das [mm]\sqrt{2} \in \IR[/mm] ist, oder?
Nein; wenn Du bereits gezeigt HÄTTEST, dass [mm] $\IQ[\sqrt{2}]\subseteq \IR$ [/mm] gilt, dann
würde Deine Argumentation greifen. Aber das haben wir ja noch nicht
getan!
> (Hier sei allerdings erwähnt, ich wüßte auf anhieb
> nicht, wie ich es zeige, dass Wurzel 2 Element [mm]\IR[/mm] ist,
> aber ich "weiß es"...)
Eigentlich solltet ihr [mm] $\sqrt{2} \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] schon gelernt haben, und damit
ist [mm] $\sqrt{2} \in \IR$ [/mm] klar (denn $(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] A$ ist klar).
Jedenfalls habt ihr sicher einen Satz: "Es gibt eine Zahl $a [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a > 0$ so, dass
[mm] $a^2=2$ [/mm] gilt. Diese Zahl ist eindeutig bestimmt, wir setzen [mm] $\sqrt{2}:=a\,.$ [/mm] Insbesondere
ist [mm] $a=\sqrt{2} \notin \IQ\,.$"
[/mm]
Duchstöbere dahingehend mal Deine Unterlagen! (Eventuell habt ihr auch
einen allgemeineren Satz, der die Aussage für [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] als Spezialfall enthält.)
Um [mm] $\IQ[\sqrt{2}] \subseteq \IR$ [/mm] einzusehen: Sei $x [mm] \in \IQ[\sqrt{2}]\,.$ [/mm] Dann gibt es $u,v [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $x=u+v*\sqrt{2}\,.$ [/mm]
[Ich habe hier extra mal nicht [mm] $r,s\,$ [/mm] geschrieben, damit Du Dich nicht zu sehr
an Buchstaben klammerst, die eigentlich *variierbar* sind.]
Wegen [mm] $\IQ \subseteq \IR$ [/mm] gilt
$u,v [mm] \in \IR$.
[/mm]
Und Du weißt auch [mm] $\sqrt{2} \in \IR\,.$ [/mm] Da [mm] $\IR$ [/mm] Körper ist, gilt für alle $a,b,c,d [mm] \in \IR$ [/mm] aber
sowohl $a+b [mm] \in \IR$ [/mm] als auch [mm] $c\,d \in \IR\,.$
[/mm]
Aus $v, [mm] \sqrt{2} \in \IR$ [/mm] folgt also [mm] $(v*\sqrt{2}) \in \IR$ [/mm] und damit auch [mm] $(u+v*\sqrt{2}) \in \IR$ [/mm] unter Beachtung
von $u [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Nachvollziehbar? Oder war das zu schnell?
> So wie die Aufgabe beschrieben ist glaube ich nicht, dass
> ich das zeigen muss, dass [mm]\IQ\sqrt{2}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ein Zwischenkörper
> ist. Aber der neugier halber - was müsste ich da tun? Bzw:
> Würde die aktuelle Argumentation nicht ausreichen um dies
> zu zeigen? (neugierig und dran interessiert bin ich ja!)
Naja, ich gehe mal davon aus, dass Du bereits weißt, dass $(\IQ,+_{\IQ},\cdot_{\IQ})$ und
$(\IR,+_{\IR},\cdot_{\IR})$ Körper sind. Für $\IQ[\sqrt{2}]$ wäre noch nachzuweisen, dass das Ding
$(\IQ[\sqrt{2}],\;+_{\IQ[\sqrt{2}]},\;\cdot_{\IQ[\sqrt{2}]})$ auch einen Körper bildet, also die Körperaxiome erfüllt.
Ich kenne mich jetzt in der Theorie dahingehend nicht ganz aus, daher weiß
ich nicht, wo man ganz allgemein die Addition $+_{\IQ[\sqrt{2}]}$ und die Multiplikation
$+_{\IQ[\sqrt{2}]}$ dabei *hernimmt*, wenn man nur eine Körpererweiterung von $\IQ$ zu $\IQ[\sqrt{2}]$
machen wollte (vielleicht sagt aber jemand, der sich da auskennt [Felixf?]
noch etwas dazu).
Hier würde ich aber einfach sagen, dass etwa erstmal
$\widetilde{+_{\IQ[\sqrt{2}]}} \colon \;{\IQ[\sqrt{2}]}$ \times {\IQ[\sqrt{2}]} \longrightarrow \IR$
mit $a\; \widetilde{+_{\IQ[\sqrt{2}]}}\; b:=a\;+_{\IR}\;b$ (für alle $(a,b) \in{\IQ[\sqrt{2}]} \times {\IQ[\sqrt{2}]}$),
also $\widetilde{+_{\IQ[\sqrt{2}]}}\;:=\;\left. +_{\IR}\right|_{{\IQ[\sqrt{2}]} \times {\IQ[\sqrt{2}]}}$ (d.h. $\widetilde{+_{\IQ[\sqrt{2}]}}$ ist die "Einschränkung der Addition in $\IR$ auf
${\IQ[\sqrt{2}]}$")
definiert wird. Dann zeigt man, dass man auch den Zielbereich von $\widetilde{+_{\IQ[\sqrt{2}]}}$ auf
${\IQ[\sqrt{2}]}}$ beschränken kann (das braucht man dann für die gewünschte *Abgeschlossenheit*
der Addition $+_{\IQ[\sqrt{2}]}$ in ${\IQ[\sqrt{2}]}$).
Das heißt am Ende:
$+_{\IQ[\sqrt{2}]} \colon {\IQ[\sqrt{2}]} \times {\IQ[\sqrt{2}]} \to {\IQ[\sqrt{2}]}$
wird dann durch
$a\; +_{\IQ[\sqrt{2}]}\; b:=a\;\widetilde{+_{\IQ[\sqrt{2}]}}\;b$ (für alle $(a,b) \in{\IQ[\sqrt{2}]} \times {\IQ[\sqrt{2}]}$)
definiert werden.
P.S. Ich hoffe, man hat Euch auch schonmal folgendes erklärt: Die Addition
in einem Körper $(K,+,*)$ ist eine Abbildung
$+ \colon K \times K \longrightarrow K\,.$
(Ich hätte oben $+_{K}$ anstatt $+\,$ geschrieben, analog für die Multiplikation.)
Bei der Notation $a+b\,$ für $a,b \in K$ ist zu beachten, wie die zu lesen ist: Es
ist $a,b \in K$ $\iff$ $(a,b) \in K \times K\,.$
Nun setzt man
$a+b:=+(\;(a,b)\;)$ für $(a,b) \in K \times K\,.$
Wenn das unklar ist, dann schreibe mal $Add\,$ statt $+\,.$ Die Auswertung der
Funktion $Add\,$ an der Stelle $(a,b) \in K \times K$ notiert man üblicherweise als
$Add(\;(a,b)\;)\,.$
Jetzt ersetze wieder $Add\,$ durch den Namen $+\,$ und alles steht so da, wie wir
es oben geschrieben haben.
Und natürlich würde man auch noch $+(a,b):=+(\;(a,b)\;)$ setzen!
Die *Schönheit* der letzten Notation erkennt man übrigens besonders gut
etwa am Assoziativgesetz der Addition.
Bekannte Form: $(a+b)+c=a+(b+c)\,.$
Würde man es ohne diese Notation aufschreiben:
$+(\;\green{(}\,\red{\underbrace{+(\;(a,b)\;)}_{\in K}},\blue{\underbrace{c}_{\in K}}\,\green{)}\;)=+(\;\green{(}\,\red{\underbrace{a}_{\in K}},\blue{\underbrace{+(\;(b,c)\;)}_{\in K}}\,\green{)}\;)\,.$
Falls Dir das noch zu undurchschaubar erscheint: Anstatt $(a,b)\,$ könntest Du
auch einfach mal, etwas unüblich, zunächst $\vektor{a\\b}$ schreiben. Dann siehst
Du das vielleicht deutlicher, dass ich hier nur alles ganz detailliert notiert
habe.
Zum Beispiel wäre - gemäß des letzten Vorschlages - etwa $3+5=+(\vektor{3\\5})=8\,.$ Dann
wäre $(3+5)+7=+(\vektor{+(\vektor{3\\5})\\7})=+(\vektor{8\\7})$ usw.
Hier sieht man vielleicht auch besser, welche Klammern wirklich zur Addition
+ gehören; die "dickeren Vektorklammern" umklammern *eigentlich* immer
die $K \times K$ Elemente ('eigentlich', weil wir diese ja hier extra nicht als
Zeilenvektoren, sondern als Spaltenvektoren schreiben - schreibst Du da
also ein *transponiert* dran und wendest das an, kommst Du auf genau
das, was ich zuerst da stehen hatte. Didaktisch wäre das also gar nicht
so schlecht, wenn ein Dozent das mal so macht, also schreiben würde:
$a+b:=+(\vektor{a\\b}^T)$!)
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel ,
vielen vielen Dank für Deine große Hilfe, das macht mir einiges viel deutlicher. Ich hoffe im Folgenden, dass das "Zitieren" im Forum so funktioniert...
> das ist normal. Am Anfang vermutet man oft aber auch, dass es doch gar
> nicht so einfach sein kann. Oder manchmal ist es einfach umgekehrt: Man
> weiß gar nicht, wie man anfangen soll...
Das spricht mir aus der Seele. Manchmal denke ich wirklich, dass es zu einfach war, wenn ich dort nur (gefühlt) so wenig argumentiere, auf der anderen Seite sagt "die mathematische Sprache" immer direkt viel mehr als man (oder eher ich) oft direkt sieht. Das Vorgehen, das "Setup" zu einem Beweis kann ich mir häufig schon denken, aber wie ich es dann immer konkret zeige, ist immer so eine Sache leider...
Aber zur Aufgabe:
> Hier könnte ich doch für r = 0 und s = 1 wählen und
> somit zeigen bzw. darlegen, das $ [mm] \sqrt{2} \in \IR [/mm] $ ist, oder?
> Nein; wenn Du bereits gezeigt HÄTTEST, dass $ [mm] \IQ[\sqrt{2}]\subseteq \IR [/mm] $ > gilt, dann
> würde Deine Argumentation greifen. Aber das haben wir ja noch nicht
> getan!
Das verstehe ich nicht ganz. Es wäre doch genau das gleiche Vorgehen. Ich wähle ein Element, definiere r und s und beziehe mich dann z.B. auf den Satz im Script (ja, den gibt es!) das [mm] \sqrt{2} \in \IR [/mm] liegt.
Bei q [mm] \in \IQ \Rightarrow [/mm] q [mm] \in \IQ[\sqrt{2}] [/mm] haben wir doch "eigentlich" das gleiche gemacht. Da habe ich ja auch (vorher) nicht gezeigt, dass [mm] \IQ \subseteq \IQ[\sqrt{2}] [/mm] gilt...oder?
Das einzige was ich verstehen würde, wäre, wenn Du sagst, es wurde ja noch nicht gezeigt, dass [mm] \IQ[sqrt{2}] [/mm] ein Körper ist, somit weiß ich ja noch nicht ob es das Nullelement und das Einselement gibt...
Diese Aufgabe kommt auf dem Aufgabenblatt auch noch, da denke ich aber das ich damit zurecht komme (hoffe ich natürlich!).
Nichts desto trotz verstehe ich Deine Argumentation, wie Du zeigst, dass [mm] \IQ[\sqrt{2}] \subseteq \IR [/mm] gilt. Aber ob ich es selber so formulieren könnte auf anhieb? Vermutlich nicht...:-/
Generell:
Die Notation zu den Körperaxiomen ist mir aus dem Script bekannt. Auch dass Addition und Multiplikation eine Abbildung auf dem Kreuzprodukt ist.
Die Klammersetzung, wie Du sie in Deinem Post gemacht hast, musste ich mir erst ein paar mal Durchlesen um wirklich durchzusteigen, warum Du sie so machst. Aber: Es macht Sinn und deutlicher, was in welcher Reihenfolge "wirklich" zu tun ist. Mein Dozent hat das so nicht eingeführt - schade eigentlich. Es Hilft aber immer "über den Tellerrand hinaus zu schauen" .
Ich möchte mich hier nochmal bei Dir bedanken, dass Du Dir soviel Zeit nimmst das zu erklären und auch "rechts und links" neben den eigentlichen Fragen noch viel erwähnst und erläuterst... VIELEN DANK!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 So 26.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel ,
>
> vielen vielen Dank für Deine große Hilfe, das macht mir
> einiges viel deutlicher. Ich hoffe im Folgenden, dass das
> "Zitieren" im Forum so funktioniert...
>
> > das ist normal. Am Anfang vermutet man oft aber auch, dass
> es doch gar
> > nicht so einfach sein kann. Oder manchmal ist es einfach
> umgekehrt: Man
> > weiß gar nicht, wie man anfangen soll...
>
> Das spricht mir aus der Seele. Manchmal denke ich wirklich,
> dass es zu einfach war, wenn ich dort nur (gefühlt) so
> wenig argumentiere, auf der anderen Seite sagt "die
> mathematische Sprache" immer direkt viel mehr als man (oder
> eher ich) oft direkt sieht. Das Vorgehen, das "Setup" zu
> einem Beweis kann ich mir häufig schon denken, aber wie
> ich es dann immer konkret zeige, ist immer so eine Sache
> leider...
>
> Aber zur Aufgabe:
>
> > Hier könnte ich doch für r = 0 und s = 1 wählen und
> > somit zeigen bzw. darlegen, das [mm]\sqrt{2} \in \IR[/mm] ist, oder?
>
> > Nein; wenn Du bereits gezeigt HÄTTEST, dass
> [mm]\IQ[\sqrt{2}]\subseteq \IR[/mm] > gilt, dann
> > würde Deine Argumentation greifen. Aber das haben wir ja
> noch nicht
> > getan!
>
> Das verstehe ich nicht ganz. Es wäre doch genau das
> gleiche Vorgehen. Ich wähle ein Element, definiere r und s
> und beziehe mich dann z.B. auf den Satz im Script (ja, den
> gibt es!) das [mm]\sqrt{2} \in \IR[/mm] liegt.
überlege mal, was Du mir gerade sagst: Du willst zeigen, dass [mm] $\sqrt{2} \in \IR$ [/mm] gilt.
Jetzt sagst Du, dass Du [mm] $\sqrt{2} \in \IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] begründen kannst (das ist ja
auch noch okay). Im nächsten Schritt benutzt Du dann einen Satz, der
sowieso schon besagt, dass [mm] $\sqrt{2} \in \IR$ [/mm] gilt... Wozu willst Du dann überhaupt
[mm] $\IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] hier ins Spiel bringen?
Wenn Du allerdings schon [mm] $\IQ[\sqrt{2}] \subseteq \IR$ [/mm] bewiesen hättest (wozu Du vermutlich
auch den Satz aus dem Skript einsetzen würdest), so gilt:
Aus [mm] $\sqrt{2} \in \IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] und [mm] $\IQ[\sqrt{2}] \subseteq \IR$ [/mm] folgt [mm] $\sqrt{2} \in \IR\,.$
[/mm]
> Bei q [mm]\in \IQ \Rightarrow[/mm] q [mm]\in \IQ[\sqrt{2}][/mm] haben wir
> doch "eigentlich" das gleiche gemacht. Da habe ich ja auch
> (vorher) nicht gezeigt, dass [mm]\IQ \subseteq \IQ[\sqrt{2}][/mm]
> gilt...oder?
Nein, das letzte haben wir nicht benutzt, weil doch genau das zu beweisen
war. 
Also nochmal: Um [mm] $\IQ \subseteq \IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] einzusehen:
Zu zeigen ist, dass jedes $q [mm] \in \IQ$ [/mm] auch $q [mm] \in \IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] erfüllt. Dazu schreiben wir,
wenn wir (irgend-)ein beliebiges $q [mm] \in \IQ$ [/mm] vorgegeben haben, dieses in
die Form
[mm] $q=q+0*\sqrt{2}$
[/mm]
mit [mm] $0=0_{\IQ} \in \IQ\,.$ [/mm]
Denn: Es gilt $y [mm] \in \IQ[\sqrt{2}]$ $\iff$ $\exists$ [/mm] $u,v [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $y=u+v*\sqrt{2}$ [/mm] (die Addition +
ist die in [mm] $\IR$).
[/mm]
Beispiele:
1.) [mm] $(1+\sqrt{2})=(1+\red{1}*\sqrt{2}) \in \IQ[\sqrt{2}]$, [/mm] da $1 [mm] \in \IQ$ [/mm] und [mm] $\red{1\,}\in \IQ$
[/mm]
2.) [mm] $(2+(\sqrt{3}-4/5-\sqrt{3})*\sqrt{2}) \in \IQ[\sqrt{2}]$; [/mm] denn
$2 [mm] \in \IQ$ [/mm] und $-4/5 [mm] \in \IQ$ [/mm] und [mm] $(2+(\sqrt{3}-4/5-\sqrt{3})*\sqrt{2})=2+(-4/5)*\sqrt{2}\,.$
[/mm]
3.) [mm] $(5/3-7/2*\sqrt{2})=(5/3+(-7/2)*\sqrt{2}) \in \IQ[\sqrt{2}]$
[/mm]
4.) [mm] $(1-\sqrt{5}) \notin \IQ[\sqrt{2}]$
[/mm]
Ist letzteres trivial? Nicht ganz: Angenommen, wir lägen falsch. Dann gibt
es $r,s [mm] \in \IQ$ [/mm] mit
[mm] $1-\sqrt{5}=r+s*\sqrt{2}\,.$
[/mm]
Das ist gleichbedeutend mit
[mm] $1-r=\sqrt{5}+s*\sqrt{2}\,.$
[/mm]
Die linke Seite ist rational: $(1-r) [mm] \in \IQ$. [/mm] Zeige nun: Es gibt kein $s [mm] \in \IQ$ [/mm] so, dass
[mm] $\sqrt{5}+s*\sqrt{2} \in \IQ\,.$ [/mm]
5.) [mm] $(3/2+\frac{17}{7}*\sqrt{8}) \in \IQ[\sqrt{2}]\,.$
[/mm]
Erstaunt Dich das? Wenn Du es direkt sehen willst: [mm] $\sqrt{8}=2*\sqrt{2}\,.$
[/mm]
Andernfalls: Zu zeigen ist, dass
[mm] $3/2+\frac{17}{7}*\sqrt{8}=r+s*\sqrt{2}$
[/mm]
mit rationalen [mm] $r,s\,$ [/mm] geschrieben werden kann. Diese Gleichung kann
äquivalent umgeschrieben werden in
[mm] $(3/2-r)+\left(\frac{17}{7}*\sqrt{4}-s\right)*\sqrt{2}=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $(3/2-r)+\left(\frac{34}{7}-s\right)*\sqrt{2}=0\,.$
[/mm]
Rechts steht die Zahl 0, die insbesondere rational ist. Daraus folgt, dass
[mm] $\left(\frac{34}{7}-s\right)*\sqrt{2}$
[/mm]
auch rational sein muss, weil $(3/2-r) [mm] \in \IQ$ [/mm] gilt. Also muss
[mm] $34/7\;-s\,=\,0$
[/mm]
sein - und damit auch [mm] $r=3/2\,.$ [/mm] Das ist notwendig, aber auch hinreichend, denn
wir sehen, dass diese [mm] $r,s\,$ [/mm] eben
[mm] $3/2+\frac{17}{7}*\sqrt{8}=r+s*\sqrt{2}$
[/mm]
erfüllen, aber nicht zu unterschlagen ist auch, dass $r=3/2 [mm] \in \IQ$ [/mm] und $s=34/4 [mm] \in \IQ$ [/mm] gelten!
> Das einzige was ich verstehen würde, wäre, wenn Du sagst,
> es wurde ja noch nicht gezeigt, dass [mm]\IQ[sqrt{2}][/mm] ein
> Körper ist, somit weiß ich ja noch nicht ob es das
> Nullelement und das Einselement gibt...
Ich verstehe nicht, dass Du glaubst, dass Du das brauchst. Wie kommst Du
darauf?
Um [mm] $\IQ[\sqrt{2}] \subseteq \IR$ [/mm] einzusehen, ist doch nur zu zeigen:
Für alle $y [mm] \in \IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] gilt $y [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Nun gilt $y [mm] \in \IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] genau dann, wenn es $r,s [mm] \in \IQ$ [/mm] gibt mit
[mm] $y=r+s*\sqrt{2}\,.$
[/mm]
(Hier steht übrigens nicht dabei, dass diese [mm] $r,s\,$ [/mm] eindeutig sein müssten;
es könnte also theoretisch erstmal [mm] $y=r+s*\sqrt{2}=r'+s'*\sqrt{2}$ [/mm] mit $r [mm] \neq [/mm] r'$ und
$s [mm] \neq [/mm] s'$ [mit $r,r',s,s' [mm] \in \IQ$] [/mm] vielleicht möglich sein. Und nur für eine
der Darstellungen würde es dann schon reichen, zu begründen, dass diese
[mm] $\in \IR$ [/mm] liegt [die andere müßte dass dann zwangsläufig auch erfüllen, weil
ja beide das gleiche Element y darstellen])!)
Für also (alle) [mm] $y\,$ [/mm] der Bauart [mm] $y=r+s*\sqrt{2}$ [/mm] mit sowohl (mindestens) einem $r [mm] \in \IQ$ [/mm]
als auch (mindestens) einem $s [mm] \in \IQ$ [/mm] ist [mm] $y=(r+s*\sqrt{2}) \in \IR$ [/mm] zu begründen.
> Diese Aufgabe kommt auf dem Aufgabenblatt auch noch, da
> denke ich aber das ich damit zurecht komme (hoffe ich
> natürlich!).
>
> Nichts desto trotz verstehe ich Deine Argumentation, wie Du
> zeigst, dass [mm]\IQ[\sqrt{2}] \subseteq \IR[/mm] gilt. Aber ob ich
> es selber so formulieren könnte auf anhieb? Vermutlich
> nicht...:-/
>
> Generell:
>
> Die Notation zu den Körperaxiomen ist mir aus dem Script
> bekannt. Auch dass Addition und Multiplikation eine
> Abbildung auf dem Kreuzprodukt ist.
>
> Die Klammersetzung, wie Du sie in Deinem Post gemacht hast,
> musste ich mir erst ein paar mal Durchlesen um wirklich
> durchzusteigen, warum Du sie so machst. Aber: Es macht Sinn
> und deutlicher, was in welcher Reihenfolge "wirklich" zu
> tun ist. Mein Dozent hat das so nicht eingeführt - schade
> eigentlich. Es Hilft aber immer "über den Tellerrand
> hinaus zu schauen" .
Leider wird meist in den Vorlesungen auch schon direkt bei
$f [mm] \colon K^n \to [/mm] ...$
für [mm] $x=(x_1,...,x_n)^T \in K^n$ [/mm] geschrieben: Es sei [mm] $f(x_1,...,x_n):=...$
[/mm]
Da geht dann unter, dass man
[mm] $f(x_1,...,x_n):=f(\vektor{x_1\\.\\.\\.\\x_n})$
[/mm]
benutzt (hier benutze ich die *gängige* Interpretation des [mm] $K^n$ [/mm] als
Spaltenvektorraum: [mm] $K^n \cong K^{n \times 1}$).
[/mm]
Und bei der Addition ist halt "$Add [mm] \colon K^{1 \times 2} \to [/mm] K$", da geht die Definition
der Notation analog.
Kurzgesagt: Ist $f [mm] \colon K^{n \times 1} \to [/mm] ...$ bzw. $g [mm] \colon K^{1 \times n} \to [/mm] ...$, so gilt für einen Spaltenvektor
[mm] $x=\vektor{x_1\\.\\.\\.\\x_n} \in K^{n \times 1}$ ($\iff$ $x^T \in K^{1 \times n}$):
[/mm]
[mm] $f(x_1,...,x_n):=f(\vektor{x_1\\.\\.\\.\\x_n}):=f(x)\,,$
[/mm]
bzw.
[mm] $g(x_1,...,x_n):=g(\;(x_1,...,x_n)\;)=g(x^T)\,.$
[/mm]
Hier sieht man übrigens schön, dass diese Definitionen eigentlich gemacht
werden müssten (mit dem Hinweis, dass man i.a. keine Verwechslungsgefahren
bei den Notationen zu befürchten hat, weil ja bekannt sein sollte, ob der
Definitionsbereich ein "Zeilen-" oder "Spaltenvektorraum" ist).
Wenn man oben [mm] $f(x_1,...,x_n)$ [/mm] und [mm] $g(x_1,...,x_n)$ [/mm] liest, würde man ja vielleicht
denken, dass [mm] $f(\widetilde{x})$ [/mm] und $g(y)$, das heißt, die jeweilige Funktion jeweils
an [mm] $\widetilde{x}=y=(x_1,...,x_n)$ [/mm] ausgewertet wird.
Aber [mm] $\widetilde{x}=(x_1,...,x_n) \notin K^{n \times 1}=D_f\,,$ [/mm] sondern [mm] $\widetilde{x}^T=:x=\vektor{x_1\\.\\.\\.\\x_n} \in D_f\,.$
[/mm]
[Unbeachtet lassen wir, dass man eh [mm] $K^{n \times 1}$ [/mm] und [mm] $K^{1 \times n}$ [/mm] miteinander
identifizieren kann, und man auch etwa [mm] $K^{n \times 1} \cong K^{\{1,...,n\}}$ ($N^M$ [/mm] ist die Menge aller
Abbildungen $f [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] N$) benutzen kann, um das Ganze weniger komplex erscheinen
zu lassen.]
> Ich möchte mich hier nochmal bei Dir bedanken, dass Du Dir
> soviel Zeit nimmst das zu erklären und auch "rechts und
> links" neben den eigentlichen Fragen noch viel erwähnst
> und erläuterst... VIELEN DANK!
Gerne. Wobei es für Dich vielleicht auch wichtig ist, dass Du erstmal nur die
Informationen *rausfilterst*, die gerade für Dich bzw. Deine Aufgabe
wichtig sind und den Rest vielleicht einfach bei Gelegenheit mal durchliest,
sofern Du Zeit dafür findest.
Gruß,
Marcel
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