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| Aufgabe | Es sei U ein Teilraum des [mm] R^2 [/mm] mit {0} ≠ U ≠ [mm] R^2
[/mm]
Man zeige, dass es eine Spalte 0 ≠ c e [mm] R^2, [/mm] sodass U={a*c mit a e R}. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Idee ist, im 1. Schritt zu zeigen, dass ein solches c aus [mm] R^2 [/mm] überhaupt existiert. Und dann im 2. Schritt mittels eines Mengenbeweises zu zeigen dass {a*c mit a aus R} ein Teilraum von U ist und umgekehrt, dass U ein Teilraum von {a*c mit a aus R} ( D.h. ich wähle ein Element aus U und zeige, dass es auch in der anderen Menge liegt.) ist.
Jedoch bin ich mit der formalen Schreibweise nicht vertraut und weiß nicht wie man Schritt eins zeigen kann...? Vielen Dank für evtl. Vorschläge!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Sa 14.09.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
könntest du mal entweder noch näher erläutern, was es mit dem Begriff Spalte hier auf sich hat oder ggf. fehlende Teile der Aufgabe nachreichen?
Eine Spalte ist in diesem Kontext eine Spalte einer Matrix. Bei einer Matrix kann es sich hier eigentlich nur um eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] handeln, deren gibt es bekanntlich sehr viele...
Aber das sind halt alles nur Sachen, die mir die Kristallkugel anvertraut hat... 
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Sa 14.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn mit Spalte einfach Vektor aus [mm] \IR^2 [/mm] gemeint ist, schreib erstmal einen hinder sie Vors erfüllt. wie kann der allgemein aussehen
2. welche Dimension muss U nach den Vors. haben?
Dann schreib auf, wie weit du kommst, wir korrigieren dann.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Sa 14.09.2013 | | Autor: | valentina |
Die Aufgabe ist vollständig zumindest wenn ich meinem Professor trauen kann :D
Ich denke mit Spalte ist hier gemeint ein c (c1, c2) ( vertikale Form aber wie ein Vektor) e [mm] R^2. [/mm] Es soll aus [mm] R^2 [/mm] sein, also besteht es nur aus zwei Elementen c1 und c2.
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> Hallo
> wenn mit Spalte einfach Vektor aus [mm]\IR^2[/mm] gemeint ist,
> schreib erstmal einen hinder sie Vors erfüllt. wie kann
> der allgemein aussehen
> 2. welche Dimension muss U nach den Vors. haben?
> Dann schreib auf, wie weit du kommst, wir korrigieren
> dann.
> Gruss leduart
Ja im Prinzip ist ein Vektor gemeint. Der sieht allgemein aus c (c1, c2) (halt untereinander).
Da U ein Teilraum des [mm] R^2 [/mm] ist, sieht er allgemein zB SO aus: U={ x e [mm] R^2 [/mm] mit x1 + x2 = 0 } ??? Oder ist das schon wieder zu speziell?
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Hallo,
> > Hallo
> > wenn mit Spalte einfach Vektor aus [mm]\IR^2[/mm] gemeint ist,
> > schreib erstmal einen hinder sie Vors erfüllt. wie kann
> > der allgemein aussehen
> > 2. welche Dimension muss U nach den Vors. haben?
> > Dann schreib auf, wie weit du kommst, wir korrigieren
> > dann.
> > Gruss leduart
>
> Ja im Prinzip ist ein Vektor gemeint. Der sieht allgemein
> aus c (c1, c2) (halt untereinander).
Kann es sein, dass das in echt Spaltenvektor heißt?
> Da U ein Teilraum des [mm]R^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist, sieht er allgemein zB SO
> aus: U={ x e [mm]R^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit x1 + x2 = 0 } ??? Oder ist das schon
> wieder zu speziell?
Das ist insbesondere falsch. Schaue dir nochmal genau die Definition von Untervektorräumen an. Dann wirst du mir sicherlich Recht geben, dass man sich das hier durchaus geometrisch veranschaulichen kann, da jede Ursprungsgerade im \IR^2 ein solcher Teil- bzw. Unteraum ist. Das hatte leduart im Sinn, als sie dir geraten hat, über die Dimension von U nachzudenken.
Gruß, Diophant
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Okay, ja es geht ja um [mm] R^2, [/mm] d.h. die Teilräume, die es davon gibt, sind Ursprungsgeraden, oder? Also hat ein Teilraum U zB die Form U= { t*b mit t e R} (sei b e [mm] R^2).
[/mm]
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Hallo,
> Okay, ja es geht ja um [mm]R^2,[/mm] d.h. die Teilräume, die es
> davon gibt, sind Ursprungsgeraden, oder? Also hat ein
> Teilraum U zB die Form U= { t*b mit t e R} (sei b e [mm]R^2).[/mm]
So ist es. Geometrisch betrachtet geht es also darum, zu zeigen, dass es für jede Richtung im zweiachsigen kartesischen Korrdinatensystem Vektoren aus dem [mm] \IR^2 [/mm] gibt, die diese Richtung beschreiben.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo valentina,
> Okay, ja es geht ja um [mm]R^2,[/mm] d.h. die Teilräume, die es
> davon gibt, sind Ursprungsgeraden, oder? Also hat ein
> Teilraum U zB die Form U= { t*b mit t e R} (sei b e [mm]R^2).[/mm]
Nicht alle Teilräume von [mm] $\IR^2$ [/mm] sind Ursprungsgeraden. Außer den Ursprungsgeraden gibt es noch die ("trivialen") Teilräume $0$ und [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Dass es außer den Ursprungsgeraden, $0$ und [mm] $\IR^2$ [/mm] keine weiteren Teilräume von [mm] $\IR^2$ [/mm] gibt, sollst du gerade mit dieser Aufgabe beweisen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Meine Idee ist, im 1. Schritt zu zeigen, dass ein solches c
> aus [mm]R^2[/mm] überhaupt existiert. Und dann im 2. Schritt
> mittels eines Mengenbeweises zu zeigen dass {a*c mit a aus
> R} ein Teilraum von U ist und umgekehrt, dass U ein
> Teilraum von {a*c mit a aus R} ( D.h. ich wähle ein
> Element aus U und zeige, dass es auch in der anderen Menge
> liegt.) ist.
>
> Jedoch bin ich mit der formalen Schreibweise nicht vertraut
> und weiß nicht wie man Schritt eins zeigen kann...?
Du suchst also eine Möglichkeit, einen Zeugen $c$ für die Existenz eines [mm] $c\in\IR^2$ [/mm] mit der gewünschten Eigenschaft zu finden.
Zeige, dass es ein Element [mm] $c\in [/mm] U$ mit [mm] $c\not=(0,0)$ [/mm] gibt.
Dieses Element $c$ wird das Gewünschte leisten. Das gilt es anschließend zu zeigen.
(Hattet ihr den Begriff der Dimension eines Vektorraumes schon?)
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Nein Dimension sagt mir (noch) nix.
Reicht es denn dann einfach zu sagen , wähle c mit (c1, c2) sodass c1 ungleich 0 oder c2 ungleich 0 und dann jeweils das andere c1/c2 beliebig. Damit ist ja schon > > Meine Idee ist, im 1. Schritt zu zeigen, dass ein solches c gibt. Laut Voraussetzung ist U ein Teilraum des [mm] R^2 [/mm] mit der Form U={t*b mit t aus R}. also ist c e [mm] R^2 [/mm] mit (c1 = t*b1 und c2 = t*b2) ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Reicht es denn dann einfach zu sagen , wähle c mit (c1,
> c2) sodass c1 ungleich 0 oder c2 ungleich 0 und dann
> jeweils das andere c1/c2 beliebig.
Das Wichtigste fehlt hier: Du solltest nicht irgendein [mm] $c=(c_1,c_2)$ [/mm] mit der von dir genannten Eigenschaft wählen, sondern ein Element [mm] $c=(c_1,c_2)\in [/mm] U$ mit der von dir genannten Eigenschaft.
Warum kannst du das tun? Also warum gibt es so ein Element in $U$ überhaupt?
Wenn du das begründet hast, ist Schritt 1. (Finden eines Zeugen $c$) erledigt.
Es bleibt dann noch zu zeigen (Schritt 2.), dass es sich bei $c$ tatsächlich um einen Zeugen handelt, also dass
[mm] $U=\{a*c\;|\;a\in\IR\}$
[/mm]
gilt.
Zeige dazu wie im Ausgangspost von dir vorgeschlagen von jeder der beiden Seiten der Mengengleichung, dass sie Teilmenge der anderen Seite ist. Fange am besten mit dem Nachweis von
[mm] $U\supseteq\{a*c\;|\;a\in\IR\}$
[/mm]
an.
> Laut Voraussetzung ist U ein Teilraum des [mm]R^2[/mm] mit der
> Form U={t*b mit t aus R}.
Nein. Nach Voraussetzung ist $U$ ein Teilraum von [mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $0\not=U\not=\IR^2$. [/mm] Dass $U$ die Form [mm] $U=\{t*b\;|\;t\in\IR\}$ [/mm] für ein [mm] $0\not=b\in\IR^2$ [/mm] hat, sollst du gerade zeigen.
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Ich komm da nicht weiter, ich hab das Gefühl ich dreh mich im Kreis.
Ja es gibt ein Element c (ca, c2) in U weil U ein Teilraum des [mm] R^2 [/mm] ist, d.h. die Bedingungen eines Teilraumes erfüllt.
Damit ist gemeint (i) U ist nichtleer und enthält mind. das O-Element, (hier muss es sich aber um einen anderen Teilraum als den Teilraum {0} e [mm] R^2 [/mm] handeln, da dies ja ausgeschlossen wurde in der Aufgabenstellung.)
Ich betrachte also Bedingung (ii) : für jedes x,y e U gilt, auch die Summe der beiden liegt in U (x+y e U) .
D.h. es gilt: wenn x (x1,x2) e U und y (y1,y2) e U dann ist auch x+y (x1+y1, x2+y2) e U (da U ein Teilraum ist, gelten diese Bedingungen als Vorraussetzung).
Also hat der Teilraum mindestens die Gestalt U={ (x+y) }
Betrachte die 3. Bedingung, die erfült ist, weil U Teilraum von [mm] R^2 [/mm] :
wenn x e U dann gilt dass für alle t e R ist auch t*x e U .
Somit hat der Teilraum zB folgende Gestalt: U={ t* (x1+x2, y1+y2)} und das entspricht ja praktisch U={ t*(b) mit t aus R}, wobei b =(x1+x2, y1+y2) d.h. der Teilraum hat die Form einer Ursprungsgeraden ?
> > Reicht es denn dann einfach zu sagen , wähle c mit (c1,
> > c2) sodass c1 ungleich 0 oder c2 ungleich 0 und dann
> > jeweils das andere c1/c2 beliebig.
> Das Wichtigste fehlt hier: Du solltest nicht irgendein
> [mm]c=(c_1,c_2)[/mm] mit der von dir genannten Eigenschaft wählen,
> sondern ein Element [mm]c=(c_1,c_2)\in U[/mm] mit der von dir
> genannten Eigenschaft.
>
> Warum kannst du das tun? Also warum gibt es so ein Element
> in [mm]U[/mm] überhaupt?
>
> Wenn du das begründet hast, ist Schritt 1. (Finden eines
> Zeugen [mm]c[/mm]) erledigt.
>
>
> Es bleibt dann noch zu zeigen (Schritt 2.), dass es sich
> bei [mm]c[/mm] tatsächlich um einen Zeugen handelt, also dass
>
> [mm]U=\{a*c\;|\;a\in\IR\}[/mm]
>
> gilt.
>
> Zeige dazu wie im Ausgangspost von dir vorgeschlagen von
> jeder der beiden Seiten der Mengengleichung, dass sie
> Teilmenge der anderen Seite ist. Fange am besten mit dem
> Nachweis von
>
> [mm]U\supseteq\{a*c\;|\;a\in\IR\}[/mm]
>
> an.
>
>
> > Laut Voraussetzung ist U ein Teilraum des [mm]R^2[/mm] mit der
> > Form U={t*b mit t aus R}.
> Nein. Nach Voraussetzung ist [mm]U[/mm] ein Teilraum von [mm]\IR^2[/mm] mit
> [mm]0\not=U\not=\IR^2[/mm]. Dass [mm]U[/mm] die Form [mm]U=\{t*b\;|\;t\in\IR\}[/mm]
> für ein [mm]0\not=b\in\IR^2[/mm] hat, sollst du gerade zeigen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich komm da nicht weiter, ich hab das Gefühl ich dreh mich
> im Kreis.
> Ja es gibt ein Element c (ca, c2) in U weil U ein Teilraum
> des [mm]R^2[/mm] ist, d.h. die Bedingungen eines Teilraumes
> erfüllt.
Irgendein Element sicherlich (nämlich den Nullvektor), aber auch ein weiteres Element außer dem Nullvektor?
> Damit ist gemeint (i) U ist nichtleer und enthält mind.
> das O-Element, (hier muss es sich aber um einen anderen
> Teilraum als den Teilraum {0} e [mm]R^2[/mm] handeln, da dies ja
> ausgeschlossen wurde in der Aufgabenstellung.)
Genau! Das ist das entscheidende Argument dafür, dass es in $U$ einen Vektor $c$ ungleich dem Nullvektor geben muss.
> Ich betrachte also Bedingung (ii) : für jedes x,y e U
> gilt, auch die Summe der beiden liegt in U (x+y e U) .
> D.h. es gilt: wenn x (x1,x2) e U und y (y1,y2) e U dann ist
> auch x+y (x1+y1, x2+y2) e U (da U ein Teilraum ist, gelten
> diese Bedingungen als Vorraussetzung).
> Also hat der Teilraum mindestens die Gestalt U={ (x+y) }
Was meinst du genau mit "mindestens die Gestalt [mm] $U=\{(x+y)\}$ [/mm] haben"? Vielleicht [mm] $U\supseteq\{x+y\}$ [/mm] für alle [mm] $x,y\in [/mm] U$?
> Betrachte die 3. Bedingung, die erfült ist, weil U
> Teilraum von [mm]R^2[/mm] :
> wenn x e U dann gilt dass für alle t e R ist auch t*x e U
> .
>
> Somit hat der Teilraum zB folgende Gestalt: U={ t* (x1+x2,
> y1+y2)}
(Du meinst vermutlich [mm] $U=\{t*(x_1+y_1,x_2+y_2)\}$)
[/mm]
Nein, das folgt nicht so einfach. Zwar gilt für alle [mm] $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)\in [/mm] U$, dass [mm] $U\supseteq\{t*(x_1+y_1,x_2+y_2)\;|\;t\in\IR\}$; [/mm] aber dass auch [mm] $U\subseteq\{t*(x_1+y_1,x_2+y_2)\;|\;t\in\IR\}$ [/mm] gilt, ist alles andere als klar und z.B. bei Wahl von [mm] $x=y=(0,0)\in [/mm] U$ auch falsch.
Ich fasse mal zusammen, was wir bisher haben:
1. Da [mm] $0\not=U$, [/mm] gibt es ein [mm] $0\not=c\in [/mm] U$.
Da [mm] $c\in U\subseteq\IR^2$, [/mm] hat $c$ die Form [mm] $c=(c_1,c_2)$ [/mm] für gewisse [mm] $c_1,c_2\in\IR$.
[/mm]
Da [mm] $(c_1,c_2)=c\not=0=(0,0)$, [/mm] gilt [mm] $c_1\not=0$ [/mm] oder [mm] $c_2\not=0$.
[/mm]
(Im Folgenden kann es sinnvoll sein, die beiden Fälle [mm] $c_1\not=0$ [/mm] und [mm] $c_2\not=0$ [/mm] getrennt zu behandeln.)
2. Wir behaupten nun, dass wie gewünscht [mm] $U=\{a*c\;|\;a\in\IR\}$ [/mm] gilt.
Dafür haben wir nacheinander
a) [mm] $U\supseteq\{a*c\;|\;a\in\IR\}$
[/mm]
und
b) [mm] $U\subseteq\{a*c\;|\;a\in\IR\}$
[/mm]
zu zeigen.
Zu 2.a): Sei [mm] $d\in\{a*c\;|\;a\in\IR\}$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $d\in [/mm] U$.
Da [mm] $d\in\{a*c\;|\;a\in\IR\}$, [/mm] existiert ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] mit $d=a*c$.
Warum gilt nun [mm] $d\in [/mm] U$?
Zu 2. b): Sei [mm] $d=(d_1,d_2)\in [/mm] U$. Zu zeigen ist [mm] $d\in\{a*c\;|\;a\in\IR\}$.
[/mm]
D.h. wir müssen ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] finden mit $d=a*c$.
Letzteres ist leider nicht ganz einfach. Vielleicht ist der Lösungsweg, den ich mit größerem Aufwand gefunden habe, auch unnötig umständlich.
Ich präsentiere meine Ideen dazu in einem weiteren Post.
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Vielen Dank schonmal!!! , ich denk den Teil bisher hab ich verstanden.
zu 2 a): warum gilt d e U ?
Nun es existiert ein a e R mit d=a*c. Falls wie behauptet gilt U={a*c mit a e R} dann lässt sich durch die Bedingung (iii), die für jeden Teilraum (und U ist einer) sagen, dass sich das d mit irgendeinem c e R mit d = a*c (des Teilraums U) lässt, es muss nur ein gewisses a gefunden werden... aber a ist ja aus R beliebig wählbar....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> zu 2 a): warum gilt d e U ?
> Nun es existiert ein a e R mit d=a*c.
Genau.
Und da [mm] $c\in [/mm] U$ gilt, folgt aus Teil (iii) der Definition von "$U$ Teilraum von [mm] $\IR^2$", [/mm] dass [mm] $d=a*c\in [/mm] U$ gilt. Also [mm] $d\in [/mm] U$.
> Falls wie
> behauptet gilt U={a*c mit a e R} dann
> [...]
Das wollen wir ja gerade erst zeigen. Das dürfen wir also nicht einfach schon voraussetzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Zu Schritt 2.b), also dem Nachweis von [mm] $U\subseteq \{a*c\;|\;a\in\IR\}$:
[/mm]
Sei [mm] $d=(d_1,d_2)\in [/mm] U$. Zu zeigen ist [mm] $d\in\{a*c\;|\;a\in\IR\}$, [/mm] d.h. wir müssen ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] finden mit $d=a*c$.
$d=a*c$ bedeutet nichts anderes als [mm] $(d_1,d_2)=\underbrace{a*(c_1,c_2)}_{=(a*c_1,a*c_2)}$, [/mm] d.h.
(I) [mm] $d_1=a*c_1$
[/mm]
und
(II) [mm] $d_2=a*c_2$.
[/mm]
Wenn etwa [mm] $c_1\not=0$ [/mm] gilt (wir machen also eine Fallunterscheidung nach [mm] $c_1\not=0$ [/mm] und [mm] $c_2\not=0$ [/mm] und behandeln zunächst den ersteren Fall), so ist dies wiederum äquivalent zu
(I') [mm] $a=\bruch{d_1}{c_1}$
[/mm]
und
(II') [mm] $d_2=\bruch{d_1}{c_1}c_2$.
[/mm]
(II') ist wiederum äquivalent zu
(II'') [mm] $c_1d_2=c_2d_1$.
[/mm]
Wenn also [mm] $c_1d_2=c_2d_1$ [/mm] gilt, so leistet
[mm] $a:=\bruch{d_1}{c_1}$
[/mm]
das Gewünschte.
Weisen wir also (II'') nach:
Hier benötigen wir [mm] $U\not=\IR^2$.
[/mm]
Es gibt also ein [mm] $e=(e_1,e_2)\in\IR^2$ [/mm] mit [mm] $e\notin [/mm] U$.
Angenommen nun, (II'') würde nicht gelten. Zu zeigen ist ein Widerspruch.
Da (II'') nach Annahme nicht gilt, ist [mm] $c_2d_1-c_1d_2\not=0$; [/mm] wir können also
[mm] $f:=\bruch{c_2e_1-c_1e_2}{c_2d_1-c_1d_2}*d+\bruch{d_1e_2-d_2e_1}{c_2d_1-d_2c_1}*c$
[/mm]
setzen.
Zeige nun:
i) [mm] $f\in [/mm] U$
ii) $f=e$
Nach i) und ii) folgt also [mm] $e\in [/mm] U$, was der Wahl von $e$ mit [mm] $e\notin [/mm] U$ widerspricht.
Den zweiten Fall [mm] $c_2\not=0$ [/mm] kann man analog behandeln.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 So 15.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Aufgabe ist erledigt, wenn du ein c konkret angibst, (setz für c1,c2 konkrete Zahlen , möglichst einfach ein. dann zeige dass a*c ein Unterraum ist, a aus R und dass mit a*c nicht ganz [mm] R^2 [/mm] aufgespannt wird. Auch dazu reicht es ein d aus [mm] R^2 [/mm] anzugeben mit [mm] d\ne [/mm] a*c für alle a in R
bisher gehst du das zu kompliziert an. zeige dass es ein c gibt ist mit der konkreten Angabe z.B c=(1,0) und obigen Nachweisen erledigt. Niemand fragt danach ob es viele solche c gibt!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 15.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo leduart,
> die Aufgabe ist erledigt, wenn du ein c konkret angibst,
> (setz für c1,c2 konkrete Zahlen , möglichst einfach ein.
> dann zeige dass a*c ein Unterraum ist, a aus R und dass
> mit a*c nicht ganz [mm]R^2[/mm] aufgespannt wird. Auch dazu reicht
> es ein d aus [mm]R^2[/mm] anzugeben mit [mm]d\ne[/mm] a*c für alle a in R
> bisher gehst du das zu kompliziert an. zeige dass es ein c
> gibt ist mit der konkreten Angabe z.B c=(1,0) und obigen
> Nachweisen erledigt.
Nein, so kann man diese Aufgabe nicht lösen.
Zu zeigen ist nicht etwa, dass ein nichttrivialer Unterraum von [mm] $\IR^2$ [/mm] der Form [mm] $\{a*c\;|\;a\in\IR\}$ [/mm] existiert, sondern dass JEDER nichttriviale Unterraum von [mm] $\IR^2$ [/mm] die Form [mm] $\{a*c\;|\;a\in\IR\}$ [/mm] hat.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Sa 14.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Valentina,
> Es sei U ein Teilraum des [mm]R^2[/mm] mit {0} ≠ U ≠ [mm]R^2[/mm]
> Man zeige, dass es eine Spalte 0 ≠ c e [mm]R^2,[/mm] sodass
> U={a*c mit a e R}.
die Aufgabe kann man sehr kurz machen:
Wegen [mm] $\{0\} \not=U$ [/mm] können wir ein $c [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] wählen (wobei $0 [mm] \in \IR^2$ [/mm] gemeint ist).
Nun sieht man leicht
[mm] $\text{linspan}\{c\}=U$
[/mm]
ein: Wegen $c [mm] \in [/mm] U$ folgt [mm] $\text{linspan}\{c\} \subseteq \text{linspan}(U)=U\,,$ [/mm] daher ist auch [mm] $\dim(\text{linspan}\{c\})=1 \le \dim(U)\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $\dim(U) [/mm] < 2$ (warum?) folgt dann sofort [mm] $\dim(U)=1\,.$
[/mm]
Daher ist insbesondere [mm] $B:=\{c\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $U\,$ [/mm] und mit
[mm] $U=\text{linspan}\{c\}=\underbrace{\bigg\{\sum_{k=1}^{n=1} \alpha_k c_k:\;\; \alpha_k \in \IR\;\;\; (k=1,\ldots,n=1) \text{ und }c_1=c\bigg\}}_{\text{zugegeben, das ist etwas ''eigenwillig'' notiert!}}=\{\alpha c:\;\; \alpha \in \IR\}$
[/mm]
folgt dann die Behauptung. (Dafür braucht man natürlich das enstprechende
Wissen an manchen Stellen...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
ja, mit Dimensions-Theorie geht es deutlich schneller. Aber leider hatte die Fragenstellerin den Dimensions-Begriff noch nicht.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Sa 14.09.2013 | | Autor: | valentina |
Vielen, vielen Dank, tobit09!!!
Alleine wär ich da nicht besonders weit gekommen.
Ich bin zwar noch am Anfang des Studiums, aber das ist natürlich keine Entschuldigung. Ich werd wohl so langsam "über den Tellerrand hinaus" blicken müssen! ;)
Dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Alleine wär ich da nicht besonders weit gekommen.
> Ich bin zwar noch am Anfang des Studiums, aber das ist
> natürlich keine Entschuldigung. Ich werd wohl so langsam
> "über den Tellerrand hinaus" blicken müssen! ;)
Der Teil 2.b) erscheint mir auch sehr schwierig für eine Erstsemester-Aufgabe.
Vielleicht findet ja jemand noch eine einfachere Lösung, die auch ohne den Dimensions-Begriff auskommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:58 Do 19.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobias,
> Hallo Marcel,
>
> ja, mit Dimensions-Theorie geht es deutlich schneller. Aber
> leider hatte die Fragenstellerin den Dimensions-Begriff
> noch nicht.
man kann hier auch ohne den Dimensionsbegriff argumentieren - sofern denn
wenigstens der Begriff einer Basis bekannt ist. Dass etwa zwei linear
unabhängige Vektoren des [mm] $\IR^2$ [/mm] diesen schon aufspannen, ist fast trivial
nachzurechnen.
Eigentlich wird der Begriff der Dimension erst bei "höherdimensionalen [mm] $\IR^n$"
[/mm]
wirklich relevant bzw. effektiv. (Vielleicht kann man hier - sofern das bekannt
ist, sogar auch einfach mit Matrizenrechnung (Stichwort Determinante) arbeiten
- aber was alles geht und was nicht, das hängt natürlich auch vom
Wissensstand ab, und mir ist das auch manchmal einfach zu mühselig, da
alles durchzulesen oder detailliert nachzufragen...).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Sa 14.09.2013 | | Autor: | valentina |
Tut mir Leid, das sagt mir alles (noch) GARNIX. ;)
Wenn wir das mit den Dimesionen eingeführt haben, werde ich es mir auf jeden Fall nochmal angucken.
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