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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Sa 12.03.2011 | | Autor: | H.T.S. |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Welche dimension hat U:= Lin [ \vektor{2\\ -1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0\\1}] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
in der Musterlösung wird gesagt dass die dim = 2 ist.
Meiner Überlegung nach müsste doch dim = 3 sein, da es heißt:
dim \IR^n = n (Basis: {einheitsvektor 1, ... einheitsvektor n))
Im vorliegenden Fall hat man doch eine x - ,y- , und z-Komponente, dementsprechend die einheits vektoren \vektor{1\\0\\0} etc.
Warum ist meine Überlegung denn falsch?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Welche dimension hat $U:= Lin [ [mm] \vektor{2\\ -1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0\\1}]$
[/mm]
>
> in der Musterlösung wird gesagt dass die dim U= 2 ist.
> Meiner Überlegung nach müsste doch dim [red]U[/mm]= 3 sein, da es
> heißt:
>
> dim [mm] \IR^n [/mm] = n (Basis: (einheitsvektor 1, ... einheitsvektor
> n))
>
> Im vorliegenden Fall hat man doch eine x - ,y- , und
> z-Komponente, dementsprechend die einheits vektoren
> [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] etc.
>
> Warum ist meine Überlegung denn falsch?
$U:= Lin ( [mm] \vektor{2\\ -1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0\\1})$ [/mm] ist ein Untervektorraum des [mm] $\IR^3$, [/mm] nicht der ganze [mm] $\IR^3$. [/mm] Es liegt zum Beispiel der Vektor [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] nicht in [mm] $U\:$. [/mm] Du kannst ja mal versuchen ihn aus [mm] $\vektor{2\\ -1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{-1 \\ 0\\1})$ [/mm] linear zu kombinieren. Das wird dir nicht gelingen.
[mm] $U\:$ [/mm] kann auch gar nicht der [mm] $\IR^3$ [/mm] sein. Denn ein Untervektorraum, der von zwei Vektoren aufgespannt wird, hat maximal die Dimension 2, denn die zwei Vektoren sind ja ein Erzeugendensystem.
Du weißt nun also schon einmal, dass die Dimension [mm] $\leq [/mm] 2$ ist. Sie ist genau 2, da die beiden Vektoren, von denen die lineare Hülle gebildet wird, linear unabhängig sind. (Kannst du das zeigen?) Damit bilden die beiden Vektoren eine Basis des Untervektorraums [mm] $U\:$.
[/mm]
Nochmal anschaulich: Die beiden Vektoren spannen eine Ebene im 3-dim. Raum auf. Die Ebene ist ein zweidimensionaler Unterraum.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Sa 12.03.2011 | | Autor: | H.T.S. |
achso jetzt verstehe ich das.... man muss dafür erstmal so en gewisses gefühl entwickeln... das mit der linearen unabhängigkeit ist nicht so das problem man müsste dann grad sagen [mm] \vec{a}=\lambda\vec{a} [/mm] und ein passendes [mm] \lambda [/mm] finden... joa des passt..
zusammenfassung:
zwei vektoren also mindestens dim [mm] \le [/mm] 2 und da die beiden vektoren unabhängig sind isses auch dim = 2 und da es sich um untervektorräume handelt ist so sagen dass es sich um eine ebene handelt zwar im [mm] \IR^3 [/mm] aber die ebene halt nur die zweidimensional ist.. deshalb dim = 2
cool cool
nochmals herzlichen dank
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