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| Aufgabe | | z.z.: T={(x;y) [mm] \in \IR^2 [/mm] ; 2x+4y=0 } ist Teilraum von [mm] \IR^2 [/mm] |
Meine Lösung:
ich arbeite die drei Bedingungen ab
1. x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] U
2. x [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] c*x [mm] \in [/mm] U
3. U [mm] \not= [/mm] {}
also:
1.) seien [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] , [mm] \vektor{c \\ d} \in [/mm] T
z.z.: [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] + [mm] \vektor{c \\ d} [/mm] = [mm] \vektor{a+c \\ b+d}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2a+3b=0 und 2c+3d=0
dann addiere ich beide Ausdrücke
2a+3b+2c+3d=0+0= 2(a+c)+3(b+d)=0
[mm] \Rightarrow \vektor{a+c \\ b+d } \in [/mm] T
2.) [mm] \vektor{a \\ b} \in [/mm] T
z.z.: c* [mm] \vektor{a \\ b} \in [/mm] T
2a+3b=0
nun multipliziere ich beide Seiten mit c:
c*(2a+3b)=c*0=0=2ca+3cb=2(ca)+3(cb)
[mm] \Rightarrow \vektor{ca \\ cb} \in [/mm] T
3.) [mm] \vektor{0 \\ 0} \in \IR^2 [/mm]
2*0+3*0=0 [mm] \Rightarrow T\not= \emptyset
[/mm]
Alles erfüllt, also ist T Teilraum von [mm] \IR^2
[/mm]
Richtig so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Das ist doch eine gerade, genauer eine Ursprungsgerade.
Das führt mich zu meiner zweiten Aufg.:
z.z.: T={ (x;y) [mm] \in \IR^2 [/mm] ; 2x+3y=5 } ist kein Teilraum von [mm] \IR^2
[/mm]
Meine Lösung: Annahme T ist ein Teilraum, dann sind die Punkte 1., 2. und 3. Voraussetzung, oder?
also gilt:
seien [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] , [mm] \vektor{c \\ d} \in [/mm] T
[mm] \vektor{a \\ b} [/mm] + [mm] \vektor{c \\ d} [/mm] = [mm] \vektor{a+c \\ b+d} \in [/mm] T
2a+3b=5
2c+3d=5
beides wieder addieren führt zu:
2(a+c)+3(b+d)=5+5=10 und das ist dann ein Widerspruch, oder?
also [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] , [mm] \vektor{c \\ d} \in [/mm] T aber [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] + [mm] \vektor{c \\ d} \not\in [/mm] T
somit ist T kein Teilraum. Richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Mo 08.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Das ist doch eine gerade, genauer eine Ursprungsgerade.
> Das führt mich zu meiner zweiten Aufg.:
>
> z.z.: T={ (x;y) [mm]\in \IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
; 2x+3y=5 } ist kein Teilraum von
> [mm]\IR^2[/mm]
>
> Meine Lösung: Annahme T ist ein Teilraum, dann sind die
> Punkte 1., 2. und 3. Voraussetzung, oder?
>
> also gilt:
> seien [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] , [mm]\vektor{c \\ d} \in[/mm] T
>
> [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] + [mm]\vektor{c \\ d}[/mm] = [mm]\vektor{a+c \\ b+d} \in[/mm]
> T
>
> 2a+3b=5
> 2c+3d=5
> beides wieder addieren führt zu:
> 2(a+c)+3(b+d)=5+5=10 und das ist dann ein Widerspruch,
> oder?
> also [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] , [mm]\vektor{c \\ d} \in[/mm] T aber
> [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] + [mm]\vektor{c \\ d} \not\in[/mm] T
> somit ist T kein Teilraum. Richtig?
Ja, aber viel einfacher wäre die Begründung: [mm] \vektor{0 \\ 0} \notin [/mm] T
FRED
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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Dachte ich mir auch schon, ist ja keine Ursprungsgerade mehr. Aber ich versteh nicht warum nur Ursprungsgeraden einen Teilraum bilden können.
Das ist dann die nächste Aufgabe z.z.: jede Gerade durch den Ursprung bildet einen Teilraum und jede, die nicht durch den Ursprung geht bildet keinen Teilraum.
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Hallo nochmal,
> Dachte ich mir auch schon, ist ja keine Ursprungsgerade
> mehr. Aber ich versteh nicht warum nur Ursprungsgeraden
> einen Teilraum bilden können.
Die Bedingung (ich glaube, es war (3) bei dir):
[mm]T\neq\emptyset[/mm] ist äquivalent dazu, dass [mm]\vec{0}\in T[/mm] ist.
Der Nullvektor muss immer in einem Vektorraum sein, ob Unterraum oder nicht.
Und im [mm]\IR^2[/mm] ist das halt der Vektor [mm]\vec{0}=(0,0)[/mm].
Und der liegt halt nur auf Ursprungsgeraden ...
Gruß
schachuzipus
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Gut, dann ist das klar. Der Nullvektor gehört also zu jedem Vraum.
Dann kann ich doch sagen:
ax+by=c mit c [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a*0+b*0=0 [mm] \not= [/mm] c
und somit [mm] \vektor{0 \\ 0} \not\in [/mm] T, also ist T kein Teilraum.
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mo 08.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gut, dann ist das klar. Der Nullvektor gehört also zu
> jedem Vraum.
>
> Dann kann ich doch sagen:
>
> ax+by=c mit c [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] a*0+b*0=0 [mm]\not=[/mm] c
> und somit [mm]\vektor{0 \\ 0} \not\in[/mm] T, also ist T kein
> Teilraum.
>
> Richtig?
Ja
FRED
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