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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:58 Mo 15.11.2010 | | Autor: | phychem |
Hallo
Reihen sind bekanntlich als Folgen von Partialsummen definiert. Der Begriff "Teilfolge" lässt sich demnach auch auf Reihen übertragen. Insbesondere gelten alle für Teilfolge bekannten Beziehungen und Sätze auch im Zusammenhang mit Reihen.
Für den Begriff "Teilreihe" existiert keine einheitliche Definition und häufig bezeichnet eine ”Teilreihe” nicht eine Teilfolge einer Partialsummenfolge (= Reihe), sondern eine neue Partialsummenfolge, die sich aus einer Teilfolge der Summandenfolge konstruieren lässt.
Während jede Teilfolge einer konvergenten Folge mit Grenzwert x ebenfalls gegen x konvergiert, kann meines Wissen nach kein Zusammenhang zwischen dem Konvergenzverhalten einer Reihe und dem Konvergenzverhalten ihrer "Teireihen" gefunden werden.
Im Wikipedia- Artikel
http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium
findet man aber folgede Aussage:
"Die Reihe S mit diesen Koeffizienten hat als positive Terme die harmonische Reihe, die divergiert, und als negative Terme die Reihe der reziproken Quadrate, die konvergiert. Insgesamt ist diese Reihe also divergent."
Warum sollte das Konvergenzverhalten dieser Teilreihen auf die Divergenz der genannten Reihe hinweisen? Ich kann mir das irgendwie nicht erklären...
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Hallo phychem,
> Im Wikipedia- Artikel
> http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium
> findet man aber folgede Aussage:
> "Die Reihe S mit diesen Koeffizienten hat als positive
> Terme die harmonische Reihe, die divergiert, und als
> negative Terme die Reihe der reziproken Quadrate, die
> konvergiert. Insgesamt ist diese Reihe also divergent."
Schön. Das ist sozusagen die Aufgabe...
> Warum sollte das Konvergenzverhalten dieser Teilreihen auf
> die Divergenz der genannten Reihe hinweisen? Ich kann mir
> das irgendwie nicht erklären...
...und das die Frage?
Wonach suchst Du nun? Nach einem Satz, der hier anzuwenden wäre?
Logisch betrachtet ist die Sache doch klar. Wenn sich die (unendliche) Reihe so in zwei ebenfalls unendliche Reihen aufteilen lässt, und eine davon gegen einen Grenzwert g konvergiert, die andere aber divergent ist, dann ist das Verhalten im Unendlichen genau das der divergenten Teilreihe - die Reihe ist also divergent.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mo 15.11.2010 | | Autor: | phychem |
Die Reihe, die alle positiven Summanden enthält, und die Reihe, die alle negativen Summanden enthält, sind ja keine Teilfolgen der gegebenen alternierenden Reihe. Warum sollte deren Konvergenzverhalten denn Aufschluss über das Konvergenzverhalten der alternierenden Reihe geben?
Die alternierende harmonische Reihe ist ja beispielsweise auch konvergent, obwohl die Reihe, die sich aus allen positiven Summanden zusammensetzt, und die Reihe, die alle negativen Summanden enthält, divergiert.
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Hallo nochmal,
> Die Reihe, die alle positiven Summanden enthält, und die
> Reihe, die alle negativen Summanden enthält, sind ja keine
> Teilfolgen der gegebenen alternierenden Reihe.
Doch, natürlich sind sie das. Es gibt doch keine Regel, wie man aufteilen müsste. Wenn das hilfreich wäre, könnte die eine Reihe auch alle Glieder der ganzen mit einem Index beinhalten, der durch 7 teilbar oder eine Kubikzahl minus 2 ist.
> Warum sollte
> deren Konvergenzverhalten denn Aufschluss über das
> Konvergenzverhalten der alternierenden Reihe geben?
Also das musst Du schon selbst denken. Gelesen hast Du es ja jetzt mindestens zweimal.
> Die alternierende harmonische Reihe ist ja beispielsweise
> auch konvergent, obwohl die Reihe, die sich aus allen
> positiven Summanden zusammensetzt, und die Reihe, die alle
> negativen Summanden enthält, divergiert.
Darüber habe ich keine Aussage getroffen, weil auch keine zu treffen ist. Wenn bei Teilreihen divergieren, ist nur dann etwas zu folgern, wenn beide in die gleiche Richtung divergieren (also z.B. ins positiv Unendliche).
Und wenn eine konvergent und eine divergent ist, ist eben auch etwas zu folgern.
Mal in Merkworten:
konvergent+konvergent=konvergent
konvergent+divergent=divergent
divergent+divergent (in die gleiche Richtung)=divergent
divergent+divergent (in unterschiedliche Richtung) [mm] \Rightarrow [/mm] keine Aussage möglich
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:33 Mo 15.11.2010 | | Autor: | phychem |
> Hallo nochmal,
>
> > Die Reihe, die alle positiven Summanden enthält, und die
> > Reihe, die alle negativen Summanden enthält, sind ja keine
> > Teilfolgen der gegebenen alternierenden Reihe.
>
> Doch, natürlich sind sie das. Es gibt doch keine Regel,
> wie man aufteilen müsste. Wenn das hilfreich wäre,
> könnte die eine Reihe auch alle Glieder der ganzen mit
> einem Index beinhalten, der durch 7 teilbar oder eine
> Kubikzahl minus 2 ist.
Das stimmt doch nicht...
Ist [mm] (x_{n}) [/mm] eine Folge und [mm] (x_{n_{j}}) [/mm] eine Teilfolge, so sind alle Glieder von [mm] (x_{n_{j}}) [/mm] auch Glieder von [mm] (x_{n}). [/mm]
Die Folgen [mm] \summe_{n}(-1)^{2n}x^{2n} [/mm] und [mm] \summe_{n}(-1)^{2n+1}x^{2n+1} [/mm] enthalten aber Glieder (Partialsummen) die in der Folge [mm] \summe_{n}(-1)^{n}x^{n} [/mm] nicht aufgeführt werden. Es handelt sich also um keine Teilfolgen von [mm] \summe_{n}(-1)^{n}x^{n}, [/mm] sondern um Teilfolgen einer Umordnung dieser Reihe.
> konvergent+konvergent=konvergent
> konvergent+divergent=divergent
> divergent+divergent (in die gleiche Richtung)=divergent
> divergent+divergent (in unterschiedliche Richtung)
> [mm]\Rightarrow[/mm] keine Aussage möglich
>
Kann man das etwas eleganter und mathematisch korrekt formulieren, so dass sich damit ein Beweis abschliessen lässt?
Danke für die rasche Antwort.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Mi 17.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Nun machen wir das mal präzise:
In Wiki war:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \begin{cases} 0 & \mathrm{falls}\ n=0 \\ \frac{2}{n} & \mathrm{falls}\ 0\ne n\ \mathrm{gerade}\\ \frac{4}{(n+1)^2} & \mathrm{falls}\ n\ \mathrm{ungerade} \end{cases} [/mm]
Auf [mm] a_0 [/mm] können wir verzichten und betrachten die Reihe
.
[mm] \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n. [/mm]
Sei [mm] s_n: [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n (-1)^k a_k. [/mm] Zu zeigen ist die Divergenz von [mm] (s_n) [/mm] . Dazu genügt es, zu zeigen: [mm] (s_{2n}) [/mm] ist divergent.
Nun ist
[mm] s_{2n}= \summe_{k=1}^{n}a_{2k}-\summe_{k=1}^{n}a_{2k-1}= b_n -c_n,
[/mm]
wobei [mm] b_n= \summe_{k=1}^{n}a_{2k} [/mm] und [mm] c_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{2k-1}
[/mm]
[mm] b_n [/mm] ist gerade die n-te Teilsumme der harmonischen Reihe, also ist [mm] (b_n) [/mm] divergent.
[mm] c_n [/mm] ist die n-te Teilsumme der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2}, [/mm] also ist [mm] (c_n) [/mm] konvergent.
Weiter ist [mm] s_{2n}+c_n=b_n
[/mm]
Wäre nun ( [mm] s_{2n}) [/mm] konvergent, so wäre [mm] (b_n) [/mm] konvergent. Widerspruch !
Somit ist [mm] (s_n) [/mm] divergent
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mo 15.11.2010 | | Autor: | phychem |
Danke für diese ausführliche Antwort.
Du hast mir nicht nur einen sehr eleganten Beweis geliefert, sondern mir auch gerade bewusst gemacht, warum die Formulierung auf wiki für mich so sinnlos erschien. Die Aussage
"Die Reihe S mit diesen Koeffizienten hat als positive Terme die harmonische Reihe, die divergiert, und als negative Terme die Reihe der reziproken Quadrate, die konvergiert. Insgesamt ist diese Reihe also divergent."
ist meiner Meinung nach irreführend. Sie vermittelt dem Leser, die Divergenz von
[mm]s_n:[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^n (-1)^k a_k.[/mm]
folge unmittelbar aus der Konvergenz von
[mm] \summe_{k}(-1)a_{2k-1}
[/mm]
und der Divergenz von
[mm] \summe_{k}a_{2k}
[/mm]
Wie du aber sehr schön gezeigt hast, ergibt sich diese erst über die Divergenz der Teilfolge [mm] (s_{2n}).
[/mm]
Ich dank dir recht herzlich. Nun ist alles klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für diese ausführliche Antwort.
>
>
> Du hast mir nicht nur einen sehr eleganten Beweis
> geliefert, sondern mir auch gerade bewusst gemacht, warum
> die Formulierung auf wiki für mich so sinnlos erschien.
> Die Aussage
>
> "Die Reihe S mit diesen Koeffizienten hat als positive
> Terme die harmonische Reihe, die divergiert, und als
> negative Terme die Reihe der reziproken Quadrate, die
> konvergiert. Insgesamt ist diese Reihe also divergent."
Ja, auch in Wiki ist vieles mit Vorsicht zu genießen. Oft findet man dort sehr schlampige und unpräzise Formulierungen
FRED
>
> ist meiner Meinung nach irreführend. Sie vermittelt dem
> Leser, die Divergenz von
> [mm]s_n:[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^n (-1)^k a_k.[/mm]
> folge unmittelbar aus der Konvergenz von
> [mm]\summe_{k}(-1)a_{2k-1}[/mm]
> und der Divergenz von
> [mm]\summe_{k}a_{2k}[/mm]
>
> Wie du aber sehr schön gezeigt hast, ergibt sich diese
> erst über die Divergenz der Teilfolge [mm](s_{2n}).[/mm]
>
>
> Ich dank dir recht herzlich. Nun ist alles klar.
>
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>
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