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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mi 04.01.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Berechnen Sie: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{(3n+1)(3n+4)}+\bruch{1}{n(n+1)(n+2)}})
[/mm]
Hinweis: Teleskopreihe. Lösung: 1/3 |
Hallo ihr Lieben :)
Bekanntlich machen mir die Reihen sehr zu schaffen und wiedereinmal steh ich vor einer Teleskopreihe, die ein paar Fragen mit sich bring.
Ich habe mir nun überlegt diese Summe mittels Partialbruchzerlegung anders auf zu schreiben:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{(3n+1)(3n+4)}+\bruch{1}{n(n+1)(n+2)}}) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{9n+3}-\bruch{1}{9n+12}+\bruch{1}{4n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2(n+2)}})
[/mm]
Bei der Berechnung von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{k(k+1)}}) [/mm] funktioniert dies ja auch wunderbar.
Nun habe ich mir überlegt, einfach die summe von n=1 bis i laufen zu lassen, und einige Glieder zu notieren.
[mm] \summe_{n=1}^{i}({\bruch{1}{9n+3}-\bruch{1}{9n+12}+\bruch{1}{4n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2(n+2)}})
[/mm]
=(1/11)-(1/21)+(1/4)-(1/2)+(1/6)+(1/19)-(1/30)+(1/8)-(1/3)+(1/8)+(1/30)-(1/39)+(1/12)-(1/4)+(1/10)......
hier kann man wieder einiges wegkürzen...
= (1/11)-(1/21)-(1/2)+(1/6)+(1/19)+(1/8)-(1/3)+(1/8)-(1/39)+(1/12)+(1/10)...
ich habe in meinem Analysis Skriptum eine Summe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{(b+k-1)(b+k)}})
[/mm]
gefunden, die mittels Partialbruchzerlegung auf [mm] a(k)=\bruch{1}{b+k-1}-\bruch{1}{b+k} [/mm] gebracht wird.
Demnach folgt: [mm] s(n)=\bruch{1}{b}-\bruch{1}{b+1}+\bruch{1}{b+1}-...-\bruch{1}{b+n}
[/mm]
also konvergiert die Reihe und es gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{(b+k-1)(b+k)}})=\bruch{1}{b}
[/mm]
Nun habe ich mir gedacht, dass meine Summe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{9n+3}-\bruch{1}{9n+12}+\bruch{1}{4n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2(n+2)}})
[/mm]
ja eine ähnliche Gestalt besitzt und mein b in diesem fall offensichtlich 3 ist --> daher [mm] \summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{9n+3}-\bruch{1}{9n+12}+\bruch{1}{4n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2(n+2)}})=\bruch{1}{3}
[/mm]
Stellt sich nur die Frage ob die Argumentation richtig ist. Bzw ob ihr meine Antwort anerkennen würdet. (weiß ja leider nicht ob das alles stimmt was ich gerade geschrieben habe)
Hoffe ihr könnt mir wieder helfen :)
Liebe Grüße Meely :)
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Hallo Meely,
> Berechnen Sie:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{(3n+1)(3n+4)}+\bruch{1}{n(n+1)(n+2)}})[/mm]
>
> Hinweis: Teleskopreihe. Lösung: 1/3
> Hallo ihr Lieben :)
>
> Bekanntlich machen mir die Reihen sehr zu schaffen und
> wiedereinmal steh ich vor einer Teleskopreihe, die ein paar
> Fragen mit sich bring.
>
> Ich habe mir nun überlegt diese Summe mittels
> Partialbruchzerlegung anders auf zu schreiben:
Das ist schonmal eine sehr gute Idee!
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{(3n+1)(3n+4)}+\bruch{1}{n(n+1)(n+2)}})[/mm]
> =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{9n+3}-\bruch{1}{9n+12}+\bruch{1}{4n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2(n+2)}})[/mm]
Für den hinteren Teil, also [mm]\frac{1}{n(n+1)(n+2)}[/mm] komme ich auf die PBZ [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)[/mm]
Mache dein Gezuppel mal wieder gleichnamig, ich komme da nicht wieder auf [mm]\frac{1}{n(n+1)(n+2)}[/mm]
>
> Bei der Berechnung von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{k(k+1)}})[/mm] funktioniert
> dies ja auch wunderbar.
>
> Nun habe ich mir überlegt, einfach die summe von n=1 bis i
> laufen zu lassen, und einige Glieder zu notieren.
Ja, das geht wegen [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{i\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{i}a_n[/mm]
Formal schöner als "einige Glieder aufschreiben" mache eine Indexverschiebung!
>
> [mm]\summe_{n=1}^{i}({\bruch{1}{9n+3}-\bruch{1}{9n+12}+\bruch{1}{4n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2(n+2)}})[/mm]
>
> =(1/11)-(1/21)+(1/4)-(1/2)+(1/6)+(1/19)-(1/30)+(1/8)-(1/3)+(1/8)+(1/30)-(1/39)+(1/12)-(1/4)+(1/10)......
>
> hier kann man wieder einiges wegkürzen...
>
> =
> (1/11)-(1/21)-(1/2)+(1/6)+(1/19)+(1/8)-(1/3)+(1/8)-(1/39)+(1/12)+(1/10)...
>
> ich habe in meinem Analysis Skriptum eine Summe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{(b+k-1)(b+k)}})[/mm]
>
> gefunden, die mittels Partialbruchzerlegung auf
> [mm]a(k)=\bruch{1}{b+k-1}-\bruch{1}{b+k}[/mm] gebracht wird.
> Demnach folgt:
> [mm]s(n)=\bruch{1}{b}-\bruch{1}{b+1}+\bruch{1}{b+1}-...-\bruch{1}{b+n}[/mm]
> also konvergiert die Reihe und es gilt:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{(b+k-1)(b+k)}})=\bruch{1}{b}[/mm]
>
>
> Nun habe ich mir gedacht, dass meine Summe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{9n+3}-\bruch{1}{9n+12}+\bruch{1}{4n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2(n+2)}})[/mm]
> ja eine ähnliche Gestalt besitzt und mein b in diesem
> fall offensichtlich 3 ist --> daher
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}({\bruch{1}{9n+3}-\bruch{1}{9n+12}+\bruch{1}{4n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2(n+2)}})=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Stellt sich nur die Frage ob die Argumentation richtig ist.
> Bzw ob ihr meine Antwort anerkennen würdet. (weiß ja
> leider nicht ob das alles stimmt was ich gerade geschrieben
> habe)
Uff, das ist ja die Hölle.
Ich würde es so schreiben (mit meiner Version der PBZ für den hinteren Teil)
[mm]\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{i}\left(\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+4}\right) \ + \ \frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{i}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)[/mm]
[mm]=\frac{1}{3}\cdot{}\left( \ \left[ \ \sum\limits_{n=1}^{i}\frac{1}{3n+1} \ \right] \ - \ \left[ \ \sum\limits_{n=1}^{i}\frac{1}{3n+4} \ \right] \right) \ + \ \frac{1}{2}\cdot{}\left( \left[ \ \sum\limits_{n=1}^{i}\frac{1}{n} \ \right] \ -2\cdot{}\left[ \ \sum\limits_{n=1}^{i}\frac{1}{n+1} \ \right] \ + \ \left[ \ \sum\limits_{n=1}^{i}\frac{1}{n+2} \ \right] \ \right)[/mm]
Nun mache eine Indexverschiebung:
Erhöhe den Index n an der zweiten Summe um 1 und gleiche das aus, indem du das n innerhalb der Summe um 1 reduzierst.
Also [mm]\sum\limits_{n=1}^{i}\frac{1}{3n+4}=\sum\limits_{n=2}^{i+1}\frac{1}{3(n-1)+4}=\sum\limits_{n=2}^{i+1}\frac{1}{3n+1}[/mm]
Das kannst du mit der ersten Summe verrechnen, es bleibt aus beiden Summen nur [mm]\frac{1}{3\cdot{}1+1}[/mm] von der ersten Summe und [mm]-\frac{1}{3(i+1)+1}[/mm] von der zweiten Summe. Der Rest hebt sich weg.
Das mache ähnlich bei den hinteren drei Summen und du solltest auf:
[mm]\ldots=\frac{1}{3}\cdot{}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3i+4}\right) \ + \ \frac{1}{2}\cdot{}\left(1-\frac{2}{i+1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{i+1}+\frac{1}{i+2}\right)[/mm]
Was für [mm]i\to\infty[/mm] schließlich zu [mm]\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}[/mm] führt ...
> Hoffe ihr könnt mir wieder helfen :)
>
> Liebe Grüße Meely :)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Mi 04.01.2012 | | Autor: | meely |
Wow wie immer genial ! Schenk mir bitte dein Gehirn :D
Habe gerade erst bemerkt, dass ich mich bei der PBZ verrechnet habe :/ Muss das leider erst alles nachvollziehen - klingt bis jetzt alles sehr schlüssig :)
Eine Frage hätte ich doch:
Das mit der Indexerhöhung um 1 (bei der summe nr 2 und nr 4) habe ich schön öfter gesehen. Ist dies eine "Standardvorgehensweise" die immer hilft ? Oder kann man das nicht bei jeder Teleskopsumme anwenden?
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Hallo nochmal,
> Wow wie immer genial !
Danke, danke 
> Schenk mir bitte dein Gehirn :D
Na, da gibt's nicht so viel zu verschenken ...
>
>
> Habe gerade erst bemerkt, dass ich mich bei der PBZ
> verrechnet habe :/ Muss das leider erst alles
> nachvollziehen
Ist ja normal, ich habe das schnell schnell in einer Schmierrechnung gemacht, fummel dich mal durch ...
> - klingt bis jetzt alles sehr schlüssig :)
Jo, vor allem, da es zum Ergebnis passt ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
>
> Eine Frage hätte ich doch:
>
> Das mit der Indexerhöhung um 1 (bei der summe nr 2 und nr
> 4) habe ich schön öfter gesehen. Ist dies eine
> "Standardvorgehensweise" die immer hilft ?
Jo, du musst ja die Summanden irgenwie gleichnamig machen, damit sich da was weghebt, da bietet sich so eine Indexverschiebung eigentlich ganz gut an. Bei der letzten Summe musst du sogar um 2 erhöhen und dann in der Summe entsprechend um 2 erniedrigen.
> Oder kann man
> das nicht bei jeder Teleskopsumme anwenden?
Ich wüsste keinen Grund, warum das mal nicht klappen sollte.
Es kann halt mehr oder weniger sinnvoll sein, das hängt von der konkreten Summe ab.
Wenn du - wie hier - Brüche hast, so ist das Gleichnamigmachen doch sinnvoll.
Dazu brauchst du die Indexverschiebung.
Du kannst das natürlich auch mit "Pünktchen" aufschreiben, aber ich persönlich mache das nicht so gerne, ich finde eine Indexverschiebung immer ganz "stylisch"
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mi 04.01.2012 | | Autor: | meely |
> > Eine Frage hätte ich doch:
> >
> > Das mit der Indexerhöhung um 1 (bei der summe nr 2 und nr
> > 4) habe ich schön öfter gesehen. Ist dies eine
> > "Standardvorgehensweise" die immer hilft ?
>
> Jo, du musst ja die Summanden irgenwie gleichnamig machen,
> damit sich da was weghebt, da bietet sich so eine
> Indexverschiebung eigentlich ganz gut an. Bei der letzten
> Summe musst du sogar um 2 erhöhen und dann in der Summe
> entsprechend um 2 erniedrigen.
>
> > Oder kann man
> > das nicht bei jeder Teleskopsumme anwenden?
>
> Ich wüsste keinen Grund, warum das mal nicht klappen
> sollte.
>
> Es kann halt mehr oder weniger sinnvoll sein, das hängt
> von der konkreten Summe ab.
>
> Wenn du - wie hier - Brüche hast, so ist das
> Gleichnamigmachen doch sinnvoll.
>
> Dazu brauchst du die Indexverschiebung.
>
> Du kannst das natürlich auch mit "Pünktchen"
> aufschreiben, aber ich persönlich mache das nicht so
> gerne, ich finde eine Indexverschiebung immer ganz
> "stylisch"
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Ah ! Ok jetzt verstehe ich :) Das mit der Indexverschiebung gefällt mir sehr gut - vorallem weil ich jetzt verstanden habe, dass sie nicht willkürlich gemacht wird (also Idee dahinter). Sieht nicht nur stylisch sondern auch professionell aus :)
Danke, danke, danke..
Liebe Grüße Meely :)
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