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| Aufgabe | Berechnen Sie:
(b) [mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}$ $(n\in\IN)$ [/mm] |
Hallo.
Eine kurze Frage zu dieser Aufgabe:
Warum hat man bei der Erstellung von [mm] $a_{k}$ [/mm] und [mm] $a_{k+1}$ [/mm] innerhalb der Klammer [mm] $\bruch{1}{k+1}$ [/mm] eingefügt; hätte man nicht genausogut
[mm] $\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k} \right):=a_{k}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+2} \right):=a_{k+1}$
[/mm]
schreiben können?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
Musterlösung:
Untersuchen der Summanden ("Partialbruchzerlegung"):
[mm] $\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+2}=\bruch{k+2}{k(k+2)}-\bruch{k}{k(k+2)}=\bruch{(k+2)-k}{k(k+2)}=\bruch{2}{k(k+2)}$
[/mm]
Also gilt:
[mm] $\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+2} \right)=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k+2} \right)=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k+1} \right)-\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+1}+\bruch{1}{k+2} \right)$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k}+\bruch{1}{k+1} \right):=a_{k}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+1}+\bruch{1}{k+2} \right):=a_{k+1}$
[/mm]
Damit haben wir wieder eine teleskopische Summe erzeugt, und damit bekommen wir:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\summe_{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=a_{1}-a_{n+1}=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{1}+\bruch{1}{2} \right)-\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2} \right)=\bruch{3}{4}-\bruch{1}{2}\bruch{(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+2)}=\bruch{3}{4}-\bruch{2n+3}{2(n+1)(n+2)}$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Mi 07.04.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Berechnen Sie:
>
> (b) [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}[/mm] [mm](n\in\IN)[/mm]
> Hallo.
> Eine kurze Frage zu dieser Aufgabe:
> Warum hat man bei der Erstellung von [mm]a_{k}[/mm] und [mm]a_{k+1}[/mm]
> innerhalb der Klammer [mm]\bruch{1}{k+1}[/mm] eingefügt; hätte man
> nicht genausogut
>
> [mm]\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k} \right):=a_{k}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+2} \right):=a_{k+1}[/mm]
>
> schreiben können?
>
Wenn [mm] a_k=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k} \right) [/mm] ist dann ist
[mm] a_{k+1}=\bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+1} \right) [/mm] und nicht [mm] \bruch{1}{2}\left( \bruch{1}{k+2} \right)
[/mm]
Genügt die Antwort?
mfg ullim
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Mi 07.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank, ullim. Die Antwort passt perfekt! 
Gruß
el_grecco
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