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| Aufgabe | Wir betrachten einen Tensoren
[mm]t=\sum_{i \in \{1,2,3\}, j\in \{1,2\}} a_{i,j} \cdot e_i \otimes f_j \in K^3\otimes_K K^2[/mm]
Ferner betrachten wir die drei Funktionen
[mm]\varphi_k:K^3 \otimes_K K^2 \to K[/mm] ,die durch
[mm]\varphi_1(t)=a_{2,1}a_{3,2}-a_{3,1}a_{2,2}[/mm]
[mm]\varphi_2(t)=a_{1,1}a_{3,2}-a_{3,1}a_{1,2}[/mm]
[mm]\varphi_3(t)=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}[/mm]
gegeben sind.
(i) Zeigen Sie: Ist t ein zerfallender Tensor,so gilt:
[mm]\varphi_k(t)=0[/mm] für alle [mm]k \in \{1,2,3\}[/mm].
(ii) Beweisen Sie: Gilt [mm]\varphi_k(t)=0[/mm] für alle [mm]k \in \{1,2,3\}[/mm], so ist t zerfallend.
(iii) Zeigen Sie, dass es für jede echte Teilmenge [mm]I\subsetneq \{1,2,3\}[/mm] nicht zerfallende Tensoren t mit [mm]\varphi_k(t)=0[/mm] für alle [mm]k \in I[/mm] gibt. |
Hallo,
also mein Problem fängt bei dieser Aufgabe schon da, dass ich nicht weiß, was genau ein Tensor ist. Kann mir einfach nichts drunter vorstellen,vor allem nicht, was da nachher rauskommen soll. Eine Zahl, ein Vektor??
Sitze gerade an meinem neuen Übungsblatt und bin völlig am verzweifeln, da nicht verstehe was ein Tensor sein soll und wie ich damit rechne...
Bei (i) muss ich ja jetzt zeigen, dass unter anderem
[mm]\varphi_1(t)=0[/mm] ist.Also folglich soll [mm]a_{2,1}a_{3,2}-a_{3,1}a_{2,2} = 0[/mm] sein.
In meinem Skript steht unter anderem, dass für einen zerfallenden Tensor t [mm]a_{11}a_{22}=a_{12}a_{21}[/mm] gilt...
Komme trotzdem nicht weiter und wäre deshalb für jede Hilfe dankbar.
LG Sujentha.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:09 So 23.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Würd die Aufgabe echt gerne lösen,doch ich weiß einfach nicht wie, wäre echt super,wenn mir jemand helfen könnte.
Sorry für's pushen, aber die Aufgabe treibt mich echt noch zur Verzweiflung. 
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Hallo Sujentha,
zuerst nehme ich mal an, dass $K$ ein Körper oder zumindest ein kommutativer Ring sein soll.
Ein Tensor ist ein Element eines Tensorproduktes. Was ein Tensorprodukt ist, solltest Du selbst nachschlagen.
Hier ist ein zerfallender Tensor ein Tensor der Form [mm] $v\otimes [/mm] w$ mit [mm] $v\in K^3$ [/mm] und $w [mm] \in K^2$.
[/mm]
Lass uns einen zerfallenden Tensor $t$ betrachten:
$ t= [mm] (b_1e_1 [/mm] + [mm] b_2e_2+b_3e_3) \otimes (c_1f_1 [/mm] + [mm] c_2f_2)$ [/mm] , [mm] $(c_i,b_i \in [/mm] K)$
[mm] $\varphi_1(t) [/mm] = [mm] a_{2,1}a_{3,2}-a_{3,1}a_{2,2}= b_2c_1b_3c_2-b_3c_1b_2c_2 [/mm] = 0$
Das sollte als Hinweis reichen, oder?
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 23.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Oh man, ich versteh's einfach nicht... Ich weiß einfach nicht,warum das gleich Null sein soll und schon gar nicht, wie ich das dann zeige.
Wenn das: $ [mm] \varphi_1(t) [/mm] = [mm] a_{2,1}a_{3,2}-a_{3,1}a_{2,2}= b_2c_1b_3c_2-b_3c_1b_2c_2 [/mm] = 0 $ gelten soll, könnte ich ja zeigen,dass
[mm]b_2c_1b_3c_2=b_3c_1b_2c_2[/mm] ist. Nur wie,weiß ich nicht, irgendwie kommt da nichts vernünftiges bei raus...
Trotzdem vielen Dank.
LG Sujentha.
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Hallo Sujentha!
> Oh man, ich versteh's einfach nicht... Ich weiß einfach
> nicht,warum das gleich Null sein soll und schon gar nicht,
> wie ich das dann zeige.
>
> Wenn das: [mm]\varphi_1(t) = a_{2,1}a_{3,2}-a_{3,1}a_{2,2}= b_2c_1b_3c_2-b_3c_1b_2c_2 = 0[/mm]
> gelten soll, könnte ich ja zeigen,dass
> [mm]b_2c_1b_3c_2=b_3c_1b_2c_2[/mm] ist.
Ja, genau!
> Nur wie,weiß ich nicht,
> irgendwie kommt da nichts vernünftiges bei raus...
$ [mm] b_2c_1b_3c_2=b_3c_1b_2c_2 [/mm] $ gilt, weil $K$ kommutativ ist (siehe meine Bemerkung in der 1. Antwort) und $ [mm] b_2c_1b_3c_2$ [/mm] die gleichen Faktoren
wie [mm] $b_3c_1b_2c_2$ [/mm] hat. Ist [mm] $3\cdot4\cdot5\cdot6 [/mm] = [mm] 5\cdot4\cdot3\cdot6$ [/mm] in [mm] $\mathbb{R}$?
[/mm]
> Trotzdem vielen Dank.
>
> LG Sujentha.
>
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 23.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Oh man stimmt, das ist ja schon fast peinlich, dass ich das nicht gesehen habe. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Riesen Dank,dann ist die Aufgabe ja doch viel leichter als gedacht...
LG Sujentha.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 So 23.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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