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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:10 Sa 27.08.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Hallo,
moechte gerne die folgende Aufgabe berechnen, aber weis nicht genau wie.
Sei $ V = R ^2$
und seien
[mm] $v_1= \vektor{1\\ 1},v_2= \vektor{1\\ -1},v_3= \vektor{0\\ 1}$
[/mm]
Man bestimme die Dimension des von den Vektoren
[mm] $v_1\otimes v_1, v_2 \otimes v_2, v_2 \otimes v_3, v_3 \otimes v_1$
[/mm]
erzeugten R-Unterraums von $V [mm] \otimes [/mm] _R V $.
Loesung:
Ich habe mich bemueht, aber komme irgenwie nicht weiter.
Zuerst brauche ich eine Basis von V, hier kann ich [mm] $v_1,v_3$ [/mm] benutzen, da diese V spannen.
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] v_1 [/mm] - [mm] 2v_3$
[/mm]
Nun ist
[mm] $v_1 \otimes v_1= [/mm] 1$
[mm] $v_2 \otimes v_2= (v_1 [/mm] - [mm] 2v_3) \otimes (v_1 [/mm] - [mm] 2v_3) [/mm] = [mm] v_1\otimes v_1 [/mm] - [mm] 2v_1\otimes v_3 [/mm] - [mm] 2v_3\otimes v_1 [/mm] + [mm] 4v_3\otimes v_3 [/mm] $
[mm] $v_2 \otimes v_3= v_1-2v_3) \otimes v_3= v_1 \otimes v_3 -2v_3$ [/mm] $
[mm] $v_3 \otimes v_1= [/mm] 1 $
Im Prinzip weiss ich wie man so ne Basis bestimmt, nur ich versteh das ganze aber nicht.
Wieso brauche ich zu beginn die zwei Basen [mm] $v_1,v_3$ [/mm] und wieso muss ich [mm] $v_2$ [/mm] mit der Basis darstellen.
und wie bestimme ich nun die Dimension?
Viele Gruesse
Nadia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 So 28.08.2011 | | Autor: | hippias |
Dein Ansatz ist vielversprechend, nur diese Gleichugen
> [mm]v_1 \otimes v_1= 1[/mm]
> [mm]v_3 \otimes v_1= 1 [/mm]
sind etwas irritierend. Ihr habt sicher bewiesen, dass wenn man einen VR mit Basis [mm] b_{1},..., b_{n} [/mm] hat, dass dann [mm] b_{i}\otimes b_{j} [/mm] eine Basis von [mm] V\otimes [/mm] V ist, bei Dir also [mm] b_{1}\otimes b_{1}, b_{1}\otimes b_{3}, b_{3}\otimes b_{1}, b_{3}\otimes b_{3}. [/mm] Du hast schon die gegebenen Vektoren in dieser Basis dargestellt und braeuchtest z.B. nur noch den Rang der entsprechenden Koeffizientenmatrix bestimmen; also ist die Vorgehensweise vermutlich genau so, wie auch sonst die Dimension berechnet haettest, nur die Basis sieht hier etwas merkwuerdig aus - benenne die Basisvektoren vielleicht mir [mm] c_{1}, c_{2} [/mm] usw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 29.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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