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| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] colim(M_{\lambda})\otimes [/mm] N [mm] \cong colim(M_{\lambda}\otimes [/mm] N)
wobei [mm] M_{\lambda} [/mm] und N Moduln über einem Ring seien |
Heyho!
Also nach der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes existiert genau eine lineare Abbildung [mm] \phi:colim(M_{\lambda})\otimes N\to colim(M_{\lambda}\otimes [/mm] N) mit [mm] \phi(x\otimes [/mm] y)= [mm] x\otimes [/mm] y natürlich jeweils module was auch immer...
Dieses [mm] \phi [/mm] sollte ein Isomorphismus sein, Surjektivität ist klar, man kriegt ja jeden Elementartensor und die erzeugen das ganze Gedöns, doch warum ist es injektiv? Wenn [mm] x_{1}\otimes y_{1} [/mm] und [mm] x_{2} \otimes y_{2} [/mm] äquivalent sind im Colimes, dann ist auf jeden fall [mm] f_{\lambda,\nu}(x_{1})\otimes y_{1} [/mm] = [mm] f_{\mu,\nu}(x_{2})\otimes y_{2}, [/mm] wobei [mm] x_{1} [/mm] in [mm] M_{\lambda} [/mm] sei, [mm] x_{2} [/mm] in [mm] M_{\mu}, M_{\nu} [/mm] über diesen beiden Moduln und die f diese Abbildungen des zugrundeliegenden induktiven Systems seien. Wäre schön, wenn man jetzt schließen könnte, dass [mm] f_{\lambda,\nu}(x_{1})=f_{\mu,\nu}(x_{2}) [/mm] und [mm] y_{1}=y_{2}
[/mm]
Das kann man aber wohl nicht, wie man zum Beispiel am Tensorprodukt von [mm] \IZ/m [/mm] und [mm] \IZ/n [/mm] für teilerfremde m und n erkennt, welches trivial ist.
Also wie zeig ich, dass dieses Ding injektiv ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 01.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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