Tensorrechnung, kovariante Bas < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:24 Fr 04.02.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
ich beschäftige mich zur Zeit mit Tensorrechnung, Indexnotation, etc. Ich kann mir nicht wirklich was unter dem Begriff einer kovarianten Basis vorstellen.
Mein schlaues buch sagt (ich beschränke mich hier auf den dreidimensionalen Raum):
Ist [mm] $g_1,g_2,g_3$ [/mm] eine Basis im euklidischen Raum die wir kovariant nennen, so ist [mm] $g^1,g^2,g^3$ [/mm] eine kontravariante Basis sofern die Beziehung:
[mm] $g_i\cdot g^j=\delta_i^j$ [/mm] gilt
das [mm] $\delta_i^j$ [/mm] ist nicht näher spezifiziert, aber ich gehe davon aus, dass es die gleiche Bedeutung wie das gewöhnliche Kronecker-Delta hat.
Sehe ich das richtig, dass jede Basis die orthonormal zu einer anderen (kovarianten) Basis ist, kontravariant genannt werden kann? Und wenn ja, was macht das für einen Sinn, bzw. wozu definiert man sowas?
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Fr 04.02.2011 | | Autor: | pelzig |
Also ich bin jetzt auch kein Experte auf dem Gebiet, aber ich habe mich schon seit einiger Zeit immer mal wieder mit dererlei Fragen beschäftigt. Ich habe bisher keine mathematisch brauchbare Definition für ko- und kontravariante Vektoren in nicht-mathematischer Literatur gesehen, das betrifft auch dein schlaues buch, denn da steht ja nicht, WAS eine kontravariante Basis sein soll, sondern nur wie man das notiert.
Die kurze Antwort auf deine Frage lautet: Nein, denn ko- und kontravariante leben nichtmal in demselben Vektorraum, daher macht es keinen Sinn zu sagen, ein kovarianter Vektor stünde senkrecht auf einem kontravarianten. Dazu muss man allerdings etwas weiter ausholen, und die Antwort wird dir, fürchte ich, nicht gefallen bzw. dir nicht viel helfen.
Ein kontravarianter Vektor ist ein Element [mm]X[/mm] des Tangentialraumes [mm]T_pM[/mm] deiner Mannigfaltigkeit im Punkt [mm]p[/mm], d.h. nach Wahl von Koordinaten [mm]x:U\to\IR^m[/mm] um [mm]p[/mm] kann ich schreiben
[mm]X=\sum_{k=1}^mX^k\left.\frac{\partial}{\partial x^k}\right|_p.[/mm]
Die Zahlen [mm]X^k[/mm] heißen die Komponenten von [mm]X[/mm] bzgl. den Koordinaten [mm]x[/mm]. Ist [mm]\tilde{x}:\tilde{U}\to\IR^m[/mm] ein weiteres Koordinatensystem um [mm]p[/mm], so gilt für die Komponenten [mm]\tilde{X}^i[/mm] von [mm]X[/mm] in den neuen Koordinaten
[mm]\tilde{X}^i=X(\tilde{x}^i)=\sum_{k=1}^m X^k\frac{\partial{\tilde{x}^i}}{\partial x^k}(p)[/mm]
Dazu sagt der Physiker: "Die Komponenten von [mm]X[/mm] transformieren sich kontravariant". Ein kovarianter Vektor im Punkt [mm]p[/mm] ist dagegen ein Element des [mm]f[/mm] Dualraumes [mm]T_p^\*M[/mm], d.h. mit den Koordinaten [mm]x,\tilde{x}[/mm] wie oben haben wir[mm]f=\sum_{k=1}^mf_k dx^k(p)\qquad\text{und} \tilde{f}_i=f\left(\left.\frac{\partial}{\partial\tilde{x}^i}\right|_p\right)=\sum_{j=1}^mf_j\frac{\partial x^j}{\partial\tilde{x}^i}(p)[/mm]
Der Physiker sagt "Die Komponenten von $f$ transformieren sich kovariant". Hat man dann in [mm]T_pM[/mm] auch noch ein Skalarprodukt, so kann man kontravariante und kovariante Vektoren ineinander übersetzen, das entspricht dem Rauf- und Runterziehen der Indizes, aber das führt jetzt zu weit.
Du siehst, wenn man das wirklich ganz klar verstehen will, dann muss man noch ein Paar Hürden überwinden. Der einzige wirklich gute Rat den ich dir also geben kann ist: Lerne Analysis auf Mannigfaltigkeiten.
Viele Grüße, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Fr 04.02.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo Robert,
danke erstmal für die ausführliche Antwort.
> Also ich bin jetzt auch kein Experte auf dem Gebiet, aber
> ich habe mich schon seit einiger Zeit immer mal wieder mit
> dererlei Fragen beschäftigt. Ich habe bisher keine
> mathematisch brauchbare Definition für ko- und
> kontravariante Vektoren in nicht-mathematischer Literatur
> gesehen, das betrifft auch dein schlaues buch, denn da
> steht ja nicht, WAS eine kontravariante Basis sein soll,
> sondern nur wie man das notiert.
>
> Die kurze Antwort auf deine Frage lautet: Nein, denn ko-
> und kontravariante leben nichtmal in demselben Vektorraum,
> daher macht es keinen Sinn zu sagen, ein kovarianter Vektor
> stünde senkrecht auf einem kontravarianten. Dazu muss man
Das bedeutet ja, dass mein Buch gar nicht so schlau ist, denn meines Wissens ist ein Skalarprodukt doch nur für Vektoren des selben Vektorraums definiert, oder?
Also ich muss gestehen, das Buch trägt den Zusatz "... für Ingenieure" im Namen, aber etwas mehr mathematischen Gehalt hätte ich mir dann doch erhofft.
> allerdings etwas weiter ausholen, und die Antwort wird dir,
> fürchte ich, nicht gefallen bzw. dir nicht viel helfen.
>
Das stimmt leider.
> Ein kontravarianter Vektor ist ein Element [mm]X[/mm] des
> Tangentialraumes [mm]T_pM[/mm] deiner Mannigfaltigkeit im Punkt [mm]p[/mm],
> d.h. nach Wahl von Koordinaten [mm]x:U\to\IR^m[/mm] um [mm]p[/mm] kann ich
> schreiben
> [mm]X=\sum_{k=1}^mX^k\left.\frac{\partial}{\partial x^k}\right|_p.[/mm]
>
> Die Zahlen [mm]X^k[/mm] heißen die Komponenten von [mm]X[/mm] bzgl. den
> Koordinaten [mm]x[/mm]. Ist [mm]\tilde{x}:\tilde{U}\to\IR^m[/mm] ein weiteres
> Koordinatensystem um [mm]p[/mm], so gilt für die Komponenten
> [mm]\tilde{X}^i[/mm] von [mm]X[/mm] in den neuen Koordinaten
> [mm]\tilde{X}^i=X(\tilde{x}^i)=\sum_{k=1}^m X^k\frac{\partial{\tilde{x}^i}}{\partial x^k}(p)[/mm]
>
> Dazu sagt der Physiker: "Die Komponenten von [mm]X[/mm]
> transformieren sich kontravariant". Ein kovarianter Vektor
> im Punkt [mm]p[/mm] ist dagegen ein Element des [mm]f[/mm] Dualraumes
> [mm]T_p^\*M[/mm], d.h. mit den Koordinaten [mm]x,\tilde{x}[/mm] wie oben
> haben wir[mm]f=\sum_{k=1}^mf_k dx^k(p)\qquad\text{und} \tilde{f}_i=f\left(\left.\frac{\partial}{\partial\tilde{x}^i}\right|_p\right)=\sum_{j=1}^mf_j\frac{\partial x^j}{\partial\tilde{x}^i}(p)[/mm]
>
> Der Physiker sagt "Die Komponenten von [mm]f[/mm] transformieren
> sich kovariant". Hat man dann in [mm]T_pM[/mm] auch noch ein
> Skalarprodukt, so kann man kontravariante und kovariante
> Vektoren ineinander übersetzen, das entspricht dem Rauf-
> und Runterziehen der Indizes, aber das führt jetzt zu
> weit.
>
> Du siehst, wenn man das wirklich ganz klar verstehen will,
> dann muss man noch ein Paar Hürden überwinden. Der
Gibt für dieses Thema denn keine nicht so mathematische, aber dafür anschauliche Umschreibung? Ich muss es nicht 100% klar und bis ins kleinste mathematische Detail verstehen, es reicht mir, wenn ich damit rechnen kann.
Ich kann mir einfach nichts unter dem Begriff vorstellen.
Darf ich die euklidische Standardbasis kovariant nennen? Wenn ja, wie kann ich eine dazu kontravariante Basis bestimmnen?
Ich habe mal in einer Vorlesung gehört, dass bei lokal orthogonalen Koordinatensystemen ko- und kontravariante Basis identisch sind. Bei geradlinig schiefwinkligen Systemen (die ja in der Praxis äußerst selten vorkommen) würden sich die Basen dann unterscheiden.
Das war allerdings eine anwendungsorientierte Vorlesung und ich habe so etwas, oder Ähnliches noch in keinem Buch gefunden.
> einzige wirklich gute Rat den ich dir also geben kann ist:
> Lerne Analysis auf Mannigfaltigkeiten.
>
> Viele Grüße, Robert
>
Gruß,
notinX
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Hallo notinX,
ich gehe weiter unten auf Deine Fragen ein, nachdem ich die Begriffe (hoffentlich) sauber (für den Spezialfall eines euklidschen Raumes) definiert habe.
Also, ich erläutere mal Roberts schöne Darstellung für den Spezialfall des euklidschen Raums $V := [mm] \mathbb{R}^{n}$ [/mm] mit einem Skalarprodukt $g$ auf $V$. Die Elemente von $V$ heißen kontravariante Vektoren. Der Dualraum [mm] $V^\*$ [/mm] von $V$ ist der Raum [mm] $\text{Hom}_\mathbb{R}(V,\mathbb{R})$ [/mm] der [mm] $\mathbb{R}$-Linearformen [/mm] auf $V$. Die Elemente von [mm] $V^\*$ [/mm] heißen kovariante Vektoren. Die Standardbasis von $V$ sei [mm] $\mathbf{e}_i,\, [/mm] i [mm] \in [/mm] I$ ($I := [mm] \{1,\ldots,n\}$).
[/mm]
Wir definieren die Koordinaten (Koeffizienten, Komponenten) [mm] $g_{ij}$ [/mm] von $g$:
[mm] $g_{ij} [/mm] := [mm] g(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j)$ [/mm] (Ist $g$ das Standardskalarprodukt, so gilt: [mm] $g_{ij} [/mm] = [mm] \delta_{ij}$)
[/mm]
Eine Basis [mm] $\mathbf{\tilde{v}}^i$, $i\in [/mm] I$ von [mm] $V^\*$ [/mm] heißt Dualbasis zu einer Basis [mm] $\mathbf{v}_i$, $i\in [/mm] I$ von $V$, wenn
[mm] $\mathbf{\tilde{v}}^i(\mathbf{v}^j) [/mm] = [mm] \delta_{ij}$, [/mm] für [mm] $i,j\in [/mm] I$
Sei [mm] $\omega^i$, $i\in [/mm] I$ die Dualbasis zur Standardbasis [mm] $\mathbf{e}_i,\, [/mm] i [mm] \in [/mm] I$.
Dann definiert man die Linearform [mm] $a_i\omega^i$ [/mm] (Ich benutze die einsteinsche Summenkonvention) durch:
[mm] $a_i\omega^i(\mathbf{v})=g(a^i\mathbf{e}_{i}, \mathbf{v})$ [/mm] für alle [mm] $\mathbf{v} \in [/mm] V$
Üblichderweise werden kontravariante bzw. kovariante Vektoren mit ihren Koordinaten (Komponenten) identifiziert:
[mm] $a_i\omega^i$ [/mm] wird mit [mm] $a_i$, [/mm] $i [mm] \in [/mm] I$ und
[mm] $a^i\mathbf{e}_{i}$ [/mm] wird mit [mm] $a^i$, [/mm] $i [mm] \in [/mm] I$ identifiziert.
Die $n$-Tupel mit unteren Inices (kovariante Indices) sind also die kovarianten Vektoren und die $n$-Tupel mit oberen Indices (kontravariante Indices) die kontravarianten Vektoren. Der Begriff kovariant ('sich gleichverändernd (mit den Basisvektoren des Koordinatensystems unter der Koordinatentransformation [mm] $A_{i'}^{i}$) [/mm] ') bedeutet, dass die folgenden beiden Gleichungen die gleiche Gestalt haben:
[mm] $a_{i'} [/mm] = [mm] A_{i'}^{i}a_i$
[/mm]
[mm] $\mathbf{e}_{i'} [/mm] = [mm] A_{i'}^{i}\mathbf{e}_{i}$
[/mm]
Analog für die Kontravarianz:
[mm] $a^{i'} [/mm] = [mm] A^{i'}_{i}a^i$ [/mm]
[mm] $\omega^{i'} [/mm] = [mm] A^{i'}_{i}\omega^{i}$
[/mm]
> Hallo Robert,
>
> danke erstmal für die ausführliche Antwort.
>
> > Also ich bin jetzt auch kein Experte auf dem Gebiet, aber
> > ich habe mich schon seit einiger Zeit immer mal wieder mit
> > dererlei Fragen beschäftigt. Ich habe bisher keine
> > mathematisch brauchbare Definition für ko- und
> > kontravariante Vektoren in nicht-mathematischer Literatur
> > gesehen, das betrifft auch dein schlaues buch, denn da
> > steht ja nicht, WAS eine kontravariante Basis sein soll,
> > sondern nur wie man das notiert.
> >
> > Die kurze Antwort auf deine Frage lautet: Nein, denn ko-
> > und kontravariante leben nichtmal in demselben Vektorraum,
> > daher macht es keinen Sinn zu sagen, ein kovarianter Vektor
> > stünde senkrecht auf einem kontravarianten. Dazu muss man
>
> Das bedeutet ja, dass mein Buch gar nicht so schlau ist,
> denn meines Wissens ist ein Skalarprodukt doch nur für
> Vektoren des selben Vektorraums definiert, oder?
> Also ich muss gestehen, das Buch trägt den Zusatz "...
> für Ingenieure" im Namen, aber etwas mehr mathematischen
> Gehalt hätte ich mir dann doch erhofft.
>
> > allerdings etwas weiter ausholen, und die Antwort wird dir,
> > fürchte ich, nicht gefallen bzw. dir nicht viel helfen.
> >
>
> Das stimmt leider.
>
> > Ein kontravarianter Vektor ist ein Element [mm]X[/mm] des
> > Tangentialraumes [mm]T_pM[/mm] deiner Mannigfaltigkeit im Punkt [mm]p[/mm],
> > d.h. nach Wahl von Koordinaten [mm]x:U\to\IR^m[/mm] um [mm]p[/mm] kann ich
> > schreiben
> > [mm]X=\sum_{k=1}^mX^k\left.\frac{\partial}{\partial x^k}\right|_p.[/mm]
>
> >
> > Die Zahlen [mm]X^k[/mm] heißen die Komponenten von [mm]X[/mm] bzgl. den
> > Koordinaten [mm]x[/mm]. Ist [mm]\tilde{x}:\tilde{U}\to\IR^m[/mm] ein weiteres
> > Koordinatensystem um [mm]p[/mm], so gilt für die Komponenten
> > [mm]\tilde{X}^i[/mm] von [mm]X[/mm] in den neuen Koordinaten
> > [mm]\tilde{X}^i=X(\tilde{x}^i)=\sum_{k=1}^m X^k\frac{\partial{\tilde{x}^i}}{\partial x^k}(p)[/mm]
>
> >
> > Dazu sagt der Physiker: "Die Komponenten von [mm]X[/mm]
> > transformieren sich kontravariant". Ein kovarianter Vektor
> > im Punkt [mm]p[/mm] ist dagegen ein Element des [mm]f[/mm] Dualraumes
> > [mm]T_p^\*M[/mm], d.h. mit den Koordinaten [mm]x,\tilde{x}[/mm] wie oben
> > haben wir[mm]f=\sum_{k=1}^mf_k dx^k(p)\qquad\text{und} \tilde{f}_i=f\left(\left.\frac{\partial}{\partial\tilde{x}^i}\right|_p\right)=\sum_{j=1}^mf_j\frac{\partial x^j}{\partial\tilde{x}^i}(p)[/mm]
>
> >
> > Der Physiker sagt "Die Komponenten von [mm]f[/mm] transformieren
> > sich kovariant". Hat man dann in [mm]T_pM[/mm] auch noch ein
> > Skalarprodukt, so kann man kontravariante und kovariante
> > Vektoren ineinander übersetzen, das entspricht dem Rauf-
> > und Runterziehen der Indizes, aber das führt jetzt zu
> > weit.
> >
> > Du siehst, wenn man das wirklich ganz klar verstehen will,
> > dann muss man noch ein Paar Hürden überwinden. Der
>
> Gibt für dieses Thema denn keine nicht so mathematische,
> aber dafür anschauliche Umschreibung?
Mir ist leider nichts bekannt, das Deine Bedürfnisse befriedigt und gleichzeitig zu empfehlen ist.
> Ich muss es nicht
> 100% klar und bis ins kleinste mathematische Detail
> verstehen, es reicht mir, wenn ich damit rechnen kann.
> Ich kann mir einfach nichts unter dem Begriff vorstellen.
> Darf ich die euklidische Standardbasis kovariant nennen?
Nein, die Standardbasis besteht aus kontravarianten Vektoren, da alle Vektoren von $V$ kontravariant sind.
Ein Vektor aus $V$ ist invariant gegenüber Koordinatentransformationen (physikalische Bedeutung) und deshalb müssen sich seine Koordinaten kontravariant transformieren: [mm] $a^{i'}\mathbf{e}_{i'} [/mm] = [mm] A_i^{i'}a^iA^i_{i'}\mathbf{e}_i [/mm] = [mm] a^{i}\mathbf{e}_{i}$ [/mm] , da [mm] $A^{i'}_{i}A^{i}_{i'} [/mm] = 1$
Die Invarianz eines Skalars:
[mm] $a_{i'}a^{i'} [/mm] = [mm] A^{i}_{i'}a_{i}A^{i'}_{i}a^{i}=a_{i}a^{i} [/mm] $
> Wenn ja, wie kann ich eine dazu kontravariante Basis
> bestimmnen?
Nein, aber zur Beziehung dieser Basen siehe oben .
> Ich habe mal in einer Vorlesung gehört, dass bei lokal
> orthogonalen Koordinatensystemen ko- und kontravariante
> Basis identisch sind. Bei geradlinig schiefwinkligen
> Systemen (die ja in der Praxis äußerst selten vorkommen)
> würden sich die Basen dann unterscheiden.
Bei orthonormalen Basisvektoren gilt: [mm] $b_ib^i [/mm] = [mm] \delta_{ij}b^ib^j= b^ib^i$. [/mm] Daher sind Koordinaten eines kontravarianten Vektors [mm] $\mathbf{v} [/mm] = [mm] b^i\mathbf{e}_i$ [/mm] gleich den Koordinaten des kovarianten Vektors [mm] $b_i\omega^i$!
[/mm]
> Das war allerdings eine anwendungsorientierte Vorlesung und
> ich habe so etwas, oder Ähnliches noch in keinem Buch
> gefunden.
>
>
> > einzige wirklich gute Rat den ich dir also geben kann ist:
> > Lerne Analysis auf Mannigfaltigkeiten.
> >
> > Viele Grüße, Robert
> >
>
> Gruß,
>
> notinX
Ich hoffe, dass keine Schreibfehler (oder sonstiger Unfug) zu weiteren Unklarheiten führen.
LG mathfunnel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 12.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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