Term-bestimmung + integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Kisuna |
| Aufgabe | f(x) is ne ganzrationale funktion dritten grades. ihr graph Gf hat in A(3;6) die gerade, t: 11x - y - 27 = 0 als Tangente und in W(1;0) einen Wendepunkt.
a) bestimme den term von f(x)
b) berechne den inhalt des flächenstücks, dass zwischen Gf und der x-achse liegt |
so...
also, ganzrationale funktion dritten grades -> y= ax³+ bx² + cx + d
y' = 3ax² + 2bx + c (erste ableitung)
y'' = 6ax + 2b (zweite ableitung)
t: 11x - y - 27 = 0
11x - 27 = y
1. 6 = 27a + 9b + 3c + d (der Punkt A in f(x) eingesetzt)
2. 0 = 6a + 2b (Punkt W in 2. ableitung eingesetzt)
ja... und nun.... ? fehlen ja noch 2 gleichungen um die Punkte überhaupt berechnen zu können.
in der schule meinte noch wer,
11 = 27a + 6b + c , sei eine weitere gleichung, aber wie kommt man darauf? und was is die 4. gleichung?
thx
Kisu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
[mm] \text{Hi,}
[/mm]
> f(x) is ne ganzrationale funktion dritten grades. ihr graph
> Gf hat in A(3;6) die gerade, t: 11x - y - 27 = 0 als
> Tangente und in W(1;0) einen Wendepunkt.
> a) bestimme den term von f(x)
> b) berechne den inhalt des flächenstücks, dass zwischen Gf
> und der x-achse liegt
> so...
>
> also, ganzrationale funktion dritten grades -> y= ax³+ bx²
> + cx + d
>
[mm] \text{Klar.}
[/mm]
> y' = 3ax² + 2bx + c (erste ableitung)
> y'' = 6ax + 2b (zweite ableitung)
>
[mm] \text{Auch klar.}
[/mm]
> t: 11x - y - 27 = 0
> 11x - 27 = y
>
[mm] \text{Auch klar. Aber hier steckt noch eine Angabe darin. Die Tangente ist angelegt an den Punkt A, also stimmten die Graphen-}
[/mm]
[mm] \text{steigung und die der Tangente miteinander überein. So folgt die dritte Bedingung.}
[/mm]
> 1. 6 = 27a + 9b + 3c + d (der Punkt A in f(x)
> eingesetzt)
> 2. 0 = 6a + 2b (Punkt W in 2. ableitung eingesetzt)
>
> ja... und nun.... ? fehlen ja noch 2 gleichungen um die
> Punkte überhaupt berechnen zu können.
>
> in der schule meinte noch wer,
> 11 = 27a + 6b + c , sei eine weitere gleichung, aber wie
> kommt man darauf?
[mm] \text{siehe oben.}
[/mm]
> und was is die 4. gleichung?
[mm] \text{Da blicke ich im Moment auch nicht durch. Mein WinFunktion sagt mir aber, dass}
[/mm]
[mm] \text{a = 1 und b = -3 und c = 2 und d = 0 ist. Wendet wohl irgend ein uns unbekanntes Verfahren an.}
[/mm]
[mm] \text{Ich hab' das aber kontrolliert, ist völlig korrekt.}
[/mm]
>
> thx
> Kisu
>
[mm] \text{Gruß, Stefan.}
[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Kisuna |
> t: 11x - y - 27 = 0
> 11x - 27 = y
>
>Auch klar. Aber hier steckt noch eine Angabe darin. Die Tangente ist >angelegt an den Punkt A, also stimmten die Graphen-
>steigung und die der Tangente miteinander überein. So folgt die dritte >Bedingung.
hmm...
also 11x - 27 =y
allgemein, mx + t = y
m = f'(x)
ja.. aber ich kann mir grad die gleichung
> 11= 27a + 6b + c
nicht erklären
und die 4. gleichung, mist, ich schreib über sowas klasur in paar Tagen, muss also solche gleicxhungen aufstellen absolut drauf haben :/
>Mein WinFunktion sagt mir aber, dass
>a = 1 und b = -3 und c = 2 und d = 0 ist. Wendet wohl irgend ein uns >unbekanntes Verfahren an.
>
>Ich hab' das aber kontrolliert, ist völlig korrekt.
ja stimmt.
( was ist denn WinFunktion für n prog?)
|
|
|
| |
|
> > t: 11x - y - 27 = 0
> > 11x - 27 = y
> >
> >Auch klar. Aber hier steckt noch eine Angabe darin. Die
> Tangente ist >angelegt an den Punkt A, also stimmten die
> Graphen-
> >steigung und die der Tangente miteinander überein. So
> folgt die dritte >Bedingung.
>
> hmm...
> also 11x - 27 =y
> allgemein, mx + t = y
>
> m = f'(x)
>
> ja.. aber ich kann mir grad die gleichung
>
> > 11= 27a + 6b + c
>
> nicht erklären
[mm] \text{Die Ableitung an der Stelle 3 ist gleich 11}
[/mm]
[mm] \text{Die 11 kannst du ablesen an der Geradengleichung - der Vorfaktor des x beschreibt die Steigung der Tangente, die ja,}
[/mm]
[mm] \text{wie gesagt, identisch ist mit der Graphensteigung. Daraus folgt folgendes:}
[/mm]
$f'(3)=11 [mm] \Rightarrow 11=3*a*3^2+2*b*3+c$
[/mm]
>
>
> und die 4. gleichung, mist, ich schreib über sowas klasur
> in paar Tagen, muss also solche gleicxhungen aufstellen
> absolut drauf haben :/
>
> >Mein WinFunktion sagt mir aber, dass
> >a = 1 und b = -3 und c = 2 und d = 0 ist. Wendet wohl
> irgend ein uns >unbekanntes Verfahren an.
> >
> >Ich hab' das aber kontrolliert, ist völlig korrekt.
>
> ja stimmt.
> ( was ist denn WinFunktion für n prog?)
[mm] \text{Das ist eine Software, mit der man viel machen kann, zum Beispiel integrieren, differenzieren, Graphen zeichnen lassen,}
[/mm]
[mm] \text{(Un-)Gleichungen bestimmen, Statistiken auswerten, Stochastik, etc. etc.}
[/mm]
[mm] \text{Derive ist für Gleichungen aber besser geeignet.}
[/mm]
[mm] \text{Gruß, Stefan.} [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Kisuna |
aaah, ich debberle... A hat ja diese steigung, daher der x-wert = 3 .
hab die 4. gleichung rausbekommen
4. 0 = a + b + c + d (W liegt ja auch auf f(x) )
naja.. ich komm zwar nich auf deine lösungen, bzw. überhaupt auf lösungen, aber dass wohl nur durch meine ungeschicktheit im rechnen, oder so..
naja, angenommen ich hätte deine lösungen raus. dann wäre die funktion
y = x³ - 3x² +2x
soo... dann käme ja nun teilaufgabe b) ...
dann bräcuhte ich doch erstmal die schnittpunkte mit der x-achse, um zu wissen von wo bis wo ich integrieren muss?
0= x³ - 3x² + 2x , x1 = 0
0 = x² -3x +2
dann durch die lösungsformel(keine ahnung wie ich den rechenweg hier schreiben soll/kann) erhalte ich
x2 = -2
x3 = -1
hmm... also muss ich einmal von -2 bis -1 integrieren und einmal von -1 bis 0 ?
auf jedenfall brauch ich dochh erstmal die integralfunktion..
f(x) = x³ - 3x² +2x
dann is F(x) = 1/4 [mm] x^4 [/mm] - x³ + x² (integralfunktion)
soo.. und nun 1. F(-1) - F(-2) = F(x1)
und dann 2. F(0) - F(-1) = F(x2)
und dann F(x1) + F(x2) = F(x) ?
|
|
|
| |
|
[mm] \text{Na, das ich die 4. Bedingung nicht gesehen hab' ... kleiner Aussetzer meinerseits. ;)}
[/mm]
[mm] \text{Stefan.}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Mo 20.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da ja ein Punkt W schon ne Nullstelle ist muss der auch rauskommen.
> aaah, ich debberle... A hat ja diese steigung, daher der
> x-wert = 3 .
>
> hab die 4. gleichung rausbekommen
>
> 4. 0 = a + b + c + d (W liegt ja auch auf f(x) )
>
> naja.. ich komm zwar nich auf deine lösungen, bzw.
> überhaupt auf lösungen, aber dass wohl nur durch meine
> ungeschicktheit im rechnen, oder so..
>
> naja, angenommen ich hätte deine lösungen raus. dann wäre
> die funktion
>
> y = x³ - 3x² +2x
>
> soo... dann käme ja nun teilaufgabe b) ...
>
> dann bräcuhte ich doch erstmal die schnittpunkte mit der
> x-achse, um zu wissen von wo bis wo ich integrieren muss?
>
> 0= x³ - 3x² + 2x , x1 = 0
>
> 0 = x² -3x +2
>
> dann durch die lösungsformel(keine ahnung wie ich den
> rechenweg hier schreiben soll/kann) erhalte ich
>
> x2 = -2
> x3 = -1
Vorzeichen falsch! x2=2, x1=1
(Ob die Gleichung richtig ist hab ich nicht überprüft!
>
> hmm... also muss ich einmal von -2 bis -1 integrieren und
> einmal von -1 bis 0 ?
>
> auf jedenfall brauch ich dochh erstmal die
> integralfunktion..
>
> f(x) = x³ - 3x² +2x
>
> dann is F(x) = 1/4 [mm]x^4[/mm] - x³ + x² (integralfunktion)
>
> soo.. und nun 1. F(-1) - F(-2) = F(x1)
> und dann 2. F(0) - F(-1) = F(x2)
>
> und dann F(x1) + F(x2) = F(x) ?
Immer die Beträge addieren, wenn ein F negativ ist.
Gruss leduart
>
|
|
|
| |
|
ich wiederhole nur nochmal ein bisschen, damit ich selbst besser durchstiege!
y=a [mm] x^{3} [/mm] + b [mm] x^{2} [/mm] + cx + d (das ist vollkommen richtig)
Die Ableitungen auch!
1. A einsetzen ist auch richtig!
6=27a + 9b + 3c + d
2. W ist auch ein Punkt von f(x) somit gilt:
0=a + b + c + d
3. x=1 in 2. Ableitung einsetzen ist auch okay :
0=6a + 2b
4. Der Anstieg der Geraden t ist gleich der 1. Ableitung von der Funktion dritten Grades für x=3 :
11=27a + 6b + c
So das wären jetzt alle 4 Gleichungen (mal sehen ob's klappt):
Gleichungssystem:
I 27a + 9b + 3c + d = 6
II a + b + c + d = 0
III 6a + 2b = 0
IV 27a + 6b + c = 11
I-II = 26a + 8b + 2c = 6
IV - 2(I-II) = -25a - 10b = -1
5*III + (IV - 2(I-II)) = 5a = -1
a= - [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
b= [mm] \bruch{3}{5}
[/mm]
c= 12 [mm] \bruch{4}{5}
[/mm]
d= -13 [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
Also die Lösung passt auf keinen Fall, habe jetzt aber keine Zeit noch nachzurechnen. Ist bestimmt ein Vorzeichenfehler oder sowas drin. Einfach mal durchschauen oder ich habe schon so viel in dem halben Jahr vergessen, seit ich aus der Schule bin, dass ich nichts mehr kann?
|
|
|
| |
|
> ich wiederhole nur nochmal ein bisschen, damit ich selbst
> besser durchstiege!
>
> y=a [mm]x^{3}[/mm] + b [mm]x^{2}[/mm] + cx + d (das ist vollkommen richtig)
>
> Die Ableitungen auch!
>
> 1. A einsetzen ist auch richtig!
>
> 6=27a + 9b + 3c + d
>
> 2. W ist auch ein Punkt von f(x) somit gilt:
>
> 0=a + b + c + d
>
> 3. x=1 in 2. Ableitung einsetzen ist auch okay :
>
> 0=6a + 2b
>
> 4. Der Anstieg der Geraden t ist gleich der 1. Ableitung
> von der Funktion dritten Grades für x=3 :
>
> 11=27a + 6b + c
>
> So das wären jetzt alle 4 Gleichungen (mal sehen ob's
> klappt):
>
> Gleichungssystem:
>
> I 27a + 9b + 3c + d = 6
> II a + b + c + d = 0
> III 6a + 2b = 0
> IV 27a + 6b + c = 11
>
> I-II = 26a + 8b + 2c = 6
>
> IV - 2(I-II) = -25a - 10b = -1
>
> 5*III + (IV - 2(I-II)) = 5a = -1
$ I: 27a+9b+3c+d=6$
$ II: a+b+c+d=0$
$ III: 6a+2b=0$
$ IV: 27a+6b+c=11$
$V: I-II: 26a+8b+2c=6$
$IV: 27a+6b+c=11$
$VI: V-2*IV: -28a-4b=-16$
$III: 6a+2b=0$
[mm] $\Rightarrow [/mm] -28a-4(-3a)=-16 [mm] \gdw [/mm] -28a+12a=-16 [mm] \gdw [/mm] -16a=-16 [mm] \gdw [/mm] a=1 [mm] \Rightarrow [/mm] b=-3 [mm] \Rightarrow [/mm] c=2 [mm] \Rightarrow [/mm] d=0$
>
> a= - [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
> b= [mm]\bruch{3}{5}[/mm]
> c= 12 [mm]\bruch{4}{5}[/mm]
> d= -13 [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Also die Lösung passt auf keinen Fall, habe jetzt aber
> keine Zeit noch nachzurechnen. Ist bestimmt ein
> Vorzeichenfehler oder sowas drin. Einfach mal durchschauen
> oder ich habe schon so viel in dem halben Jahr vergessen,
> seit ich aus der Schule bin, dass ich nichts mehr kann?
[mm] \text{--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------}
[/mm]
> soo... dann käme ja nun teilaufgabe b) ...
>
> dann bräcuhte ich doch erstmal die schnittpunkte mit der x-achse, um zu wissen von
> wo bis wo ich integrieren muss?
>
> 0= x³ - 3x² + 2x , x1 = 0
>
> 0 = x² -3x +2
>
> dann durch die lösungsformel(keine ahnung wie ich den rechenweg hier schreiben
> soll/kann) erhalte ich
>
> x2 = -2
> x3 = -1
>
> hmm... also muss ich einmal von -2 bis -1 integrieren und einmal von -1 bis 0 ?
>
> auf jedenfall brauch ich dochh erstmal die integralfunktion..
>
> f(x) = x³ - 3x² +2x
>
> dann is F(x) = 1/4 $ [mm] x^4 [/mm] $ - x³ + x² (integralfunktion)
>
> soo.. und nun 1. F(-1) - F(-2) = F(x1)
> und dann 2. F(0) - F(-1) = F(x2)
>
> und dann F(x1) + F(x2) = F(x) ?
[mm] \text{Alles völlig korrekt!}
[/mm]
[mm] \text{Gruß, Stefan.}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Kisuna |
vielen vielen dank ihr beiden! :)
|
|
|
| |
|
Ich würde die Funktion einfach mal zeichnen, dann weiß man auch von wo bis wo man jeeils integrrieren muss. Also habe ich wirklich rigendwo nur einen kleien Rechenfehler gemacht oder? Naja ich hatte heute 8 Stunden Mathe an der Uni, da hört's irgendwann mal auf...
|
|
|
| |
|
meine Mathelehrerin sagte immer: "Mathe macht Spaß, viel Mathe macht viel Spaß und schließlich will man ja Spaß im Leben haben" Also in dem Sinne, gute Nacht!
|
|
|
|
