Test bei Normalverteilung < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe ein generelles Verständnisproblem:
Ich habe einen Test bei Normalverteilungsannahme. Die Hypothesen sind [mm] H_{0}: \mu=\mu_{0} [/mm] und [mm] H_{1}: \mu=\mu_{1} [/mm] bei bekannter Varianz.
In meinem Skript steht, dass man [mm] H_{0} [/mm] ablehnt, falls [mm] \bruch{\overline{x}-\mu}{\delta}*\wurzel{n}>c_{1-\alpha} [/mm] ist.
Aber warum? Mir fehlt irgendwie die anschauliche Bedeutung von dem Ausdruck. Warum gerade wenn das größer ist als [mm] c_{1-\alpha}?
[/mm]
[mm] \bruch{\overline{x}-\mu}{\delta}*\wurzel{n} [/mm] ist ja dann eine konkrete Zahl, was sagt sie aus?
Vielen lieben Dank schonmal!!!
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> Hallo!
> Ich habe ein generelles Verständnisproblem:
> Ich habe einen Test bei Normalverteilungsannahme. Die
> Hypothesen sind [mm]H_{0}: \mu=\mu_{0}[/mm] und [mm]H_{1}: \mu=\mu_{1}[/mm]
> bei bekannter Varianz.
> In meinem Skript steht, dass man [mm]H_{0}[/mm] ablehnt, falls
> [mm]\bruch{\overline{x}-\mu}{\delta}*\wurzel{n}>c_{1-\alpha}[/mm]
> ist.
> Aber warum? Mir fehlt irgendwie die anschauliche Bedeutung
> von dem Ausdruck. Warum gerade wenn das größer ist als [mm] c_{1-\alpha}?
[/mm]
> [mm]\bruch{\overline{x}-\mu}{\delta}*\wurzel{n}[/mm] ist ja dann
> eine konkrete Zahl, was sagt sie aus?
> Vielen lieben Dank schonmal!!!
Mit dem [mm] \delta [/mm] ist vermutlich die Differenz
[mm] \delta=\mu_1-\mu_0 [/mm] gemeint, oder...
... oder hast du nur [mm] \sigma [/mm] und [mm] \delta [/mm] verwechselt ?
Aber wo geht dann der Wert von [mm] \mu_1 [/mm] überhaupt in
die Rechnung ein ?
Und die Formel sollte wohl so lauten:
[mm]\bruch{\overline{x}-\blue{\mu_0}}{\delta}*\wurzel{n}>c_{1-\alpha}[/mm]
Ferner: Was genau soll [mm] c_{1-\alpha} [/mm] sein ?
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Nein, sorry. Mit [mm] \delta [/mm] ist eigentlich Sigma gemeint, den Buchstaben hab ich aber nicht gefunden. Das kommt von [mm] \overline{X} [/mm] ~ [mm] N(\mu,\bruch{\delta^{2}}{n} [/mm] ).
Mit [mm] c_{1-\alpha} [/mm] meine ich das [mm] (1-\alpha)-Quantil [/mm] der Normalverteilung.
Sorry für die ungenaue Ausdrucksweise...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Sa 27.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Betty,
deine Fragestelleung bezieht sich auf einen Test der Hypothese [mm] H$_0:\mu=\mu_0$ [/mm] gegen [mm] H$_1:\mu=\mu_1$ ($\mu_0$ [/mm] , [mm] $\mu_1$ [/mm] fest vorgebenene Zahlen mit [mm] $\mu_1>\mu_0$ [/mm] (!)), wobei die Grundgesamtheit [mm] $N(\mu,\sigma^2)$ [/mm] verteilt ist (\sigma).
Ist [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] eine Stichprobe, so stellt [mm] $\bar X=\sum X_i/n$ [/mm] einen erwartungstreuen Schaetzer fuer [mm] $\mu$ [/mm] dar. Das arithmetische Mittel wird also einen Wert "in der Naehe von" [mm] $\mu_0$ [/mm] bzw. [mm] $\mu_1$ [/mm] annehmen, wenn H$_0$ bzw. H$_1$ zutrifft.
Der Test macht sich sich diese Eigenschaft zunutze. Nimm an, H$_0$ ist wahr. Dann sollte [mm] $\bar X-\mu_0$ [/mm] keinen "zu grossen" Wert annehmen, denn das wuerde fuer H$_1$ sprechen. Was aber heisst "zu gross". Darueber entscheidet die Verteilung von [mm] $\bar X-\mu_0$: [/mm] Nimmt [mm] $\bar X-\mu_0$ [/mm] einen groesseren Wert an als beispielsweise der 95%-Punkt der Verteilung, so sagt man: "Es spricht Einiges fuer H$_1$".
Ist [mm] H$_0:\mu=\mu_0$ [/mm] wahr, so ist [mm] $\bar X-\mu_0$ [/mm] normalverteilt mit Erwartungswert [mm] $\mu=0$ [/mm] und Varianz [mm] $\sigma_{\bar x}^2=\sigma^2/n$, [/mm] so dass der 95%-Punkt gegeben ist durch [mm] $\mu+c_{1-0.05}\sigma_{\bar x}=0+c_{0.95}\sigma/\sqrt{n}$. [/mm] Stellt man das um, so lautet die Entscheidungsregel
[mm] $\text{Verwirf } H_0:\mu=\mu_0 \iff \bruch{\overline{x}-\mu}{\sigma}\wurzel{n}>c_{1-\alpha}\,. [/mm] $
vg Luis
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> Moin Betty,
>
> deine Fragestelleung bezieht sich auf einen Test der
> Hypothese H[mm]_0:\mu=\mu_0[/mm] gegen H[mm]_1:\mu=\mu_1[/mm] ([mm]\mu_0[/mm] , [mm]\mu_1[/mm]
> fest vorgebenene Zahlen mit [mm]\mu_1>\mu_0[/mm] (!)), wobei die
> Grundgesamtheit [mm]N(\mu,\sigma^2)[/mm] verteilt ist
> [mm]([code]\sigma[/code]).[/mm]
>
> Ist [mm]X_1,\dots,X_n[/mm] eine Stichprobe, so stellt [mm]\bar X=\sum X_i/n[/mm]
> einen erwartungstreuen Schaetzer fuer [mm]\mu[/mm] dar. Das
> arithmetische Mittel wird also einen Wert "in der Naehe
> von" [mm]\mu_0[/mm] bzw. [mm]\mu_1[/mm] annehmen, wenn H[mm]_0[/mm] bzw. H[mm]_1[/mm]
> zutrifft.
>
> Der Test macht sich sich diese Eigenschaft zunutze. Nimm
> an, H[mm]_0[/mm] ist wahr. Dann sollte [mm]\bar X-\mu_0[/mm] keinen "zu
> grossen" Wert annehmen, denn das wuerde fuer H[mm]_1[/mm] sprechen.
> Was aber heisst "zu gross". Darueber entscheidet die
> Verteilung von [mm]\bar X-\mu_0[/mm]: Nimmt [mm]\bar X-\mu_0[/mm] einen
> groesseren Wert an als beispielsweise der 95%-Punkt der
> Verteilung, so sagt man: "Es spricht Einiges fuer H[mm]_1[/mm]".
> Ist H[mm]_0:\mu=\mu_0[/mm] wahr, so ist [mm]\bar X-\mu_0[/mm] normalverteilt
> mit Erwartungswert [mm]\mu=0[/mm] und Varianz [mm]\sigma_{\bar x}^2=\sigma^2/n[/mm],
> so dass der 95%-Punkt gegeben ist durch
> [mm]\mu+c_{1-0.05}\sigma_{\bar x}=0+c_{0.95}\sigma/\sqrt{n}[/mm].
> Stellt man das um, so lautet die Entscheidungsregel
>
> [mm]\text{Verwirf } H_0:\mu=\mu_0 \iff \bruch{\overline{x}-\red{\mu}}{\sigma}\wurzel{n}>c_{1-\alpha}\,.[/mm]
Das sollte doch wohl [mm] \mu_0 [/mm] sein, oder ?
>
> vg Luis
Hallo Luis,
danke für die Erläuterungen. Trotzdem habe ich da
noch die Frage, weshalb denn da der konkrete Wert
von [mm] \mu_1 [/mm] bzw. die Größe der Abweichung [mm] |\mu_1-\mu_0|
[/mm]
überhaupt nicht in die Rechnung eingehen soll. Ist
diese Abweichung klein, müsste man doch viel
eher zum Schluss kommen, dass man sich nicht
mit Bestimmtheit für eine der Alternativen ent-
scheiden könne als wenn diese Abweichung groß
ist !
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Sa 27.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Hallo Al,
> danke für die Erläuterungen. Trotzdem habe ich da
> noch die Frage, weshalb denn da der konkrete Wert
> von [mm]\mu_1[/mm] bzw. die Größe der Abweichung [mm]|\mu_1-\mu_0|[/mm]
> überhaupt nicht in die Rechnung eingehen soll.
Tut sie ja implizit. Ist H$_1$ wahr, so ist [mm] $\operatorname{E}[\bar X-\mu_0]=\mu_1-\mu_0$.
[/mm]
vg Luis
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> Hallo Al,
> > danke für die Erläuterungen. Trotzdem habe ich da
> > noch die Frage, weshalb denn da der konkrete Wert
> > von [mm]\mu_1[/mm] bzw. die Größe der Abweichung [mm]|\mu_1-\mu_0|[/mm]
> > überhaupt nicht in die Rechnung eingehen soll.
>
> Tut sie ja implizit. Ist H[mm]_1[/mm] wahr, so ist
> [mm]\operatorname{E}[\bar X-\mu_0]=\mu_1-\mu_0[/mm].
>
> vg Luis
Hallo Luis,
Das verstehe ich nicht. [mm] \bar{X} [/mm] hat mit [mm] \mu_1 [/mm] (und auch
mit [mm] \mu_0) [/mm] unmittelbar überhaupt nichts zu tun,
und [mm] \mu_1 [/mm] kommt in der Formel
$ [mm] \bruch{\overline{x}-\red{\mu_0}}{\delta}\cdot{}\wurzel{n}>c_{1-\alpha} [/mm] $
(so müsste sie doch lauten, oder ?)
nirgends vor.
Nach meiner Ansicht bedeutet es einen wesentlichen
Unterschied, ob die Hypothese [mm] H_1 [/mm] lautet:
[mm] \mu=\mu_1 [/mm] (mit einem vorgegebenen Wert [mm] \mu_1 [/mm] mit [mm] \mu_1>\mu_0)
[/mm]
oder aber einfach:
[mm] \mu>\mu_0
[/mm]
LG Al
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Sa 27.06.2009 | | Autor: | luis52 |
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> Das verstehe ich nicht. [mm]\bar{X}[/mm] hat mit [mm]\mu_1[/mm] (und auch
> mit [mm]\mu_0)[/mm] unmittelbar überhaupt nichts zu tun,
> und [mm]\mu_1[/mm] kommt in der Formel
>
> [mm]\bruch{\overline{x}-\red{\mu_0}}{\delta}\cdot{}\wurzel{n}>c_{1-\alpha}[/mm]
>
> (so müsste sie doch lauten, oder ?)
> nirgends vor.
Noch genauer:
[mm]\bruch{\overline{x}-\red{\mu_0}}{\sigma}\cdot{}\wurzel{n}>c_{1-\alpha}[/mm]
> Nach meiner Ansicht bedeutet es einen wesentlichen
> Unterschied, ob die Hypothese [mm]H_1[/mm] lautet:
>
> [mm]\mu=\mu_1[/mm] (mit einem vorgegebenen Wert [mm]\mu_1[/mm] mit
> [mm]\mu_1>\mu_0)[/mm]
>
> oder aber einfach:
>
> [mm]\mu>\mu_0[/mm]
>
> LG Al
Das ist egal, weil man mit der Verteilung der Pruefgroesse arbeitet, die unter H$_0$ gilt.
Wie unterscheiden sich denn deiner Meinung nach die Entscheidungsregeln des Tests von [mm] H$_0:\mu=\mu_0$ [/mm] gegen [mm] H$_1:\mu=\mu_1$ ($\mu_0<\mu_1$) [/mm] von der der des Tests von [mm] H$_0:\mu=\mu_0$ [/mm] gegen [mm] H$_1:\mu>\mu_0$?
[/mm]
vg Luis
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> >
> > Das verstehe ich nicht. [mm]\bar{X}[/mm] hat mit [mm]\mu_1[/mm] (und auch
> > mit [mm]\mu_0)[/mm] unmittelbar überhaupt nichts zu tun,
> > und [mm]\mu_1[/mm] kommt in der Formel
> >
> >
> [mm]\bruch{\overline{x}-\red{\mu_0}}{\delta}\cdot{}\wurzel{n}>c_{1-\alpha}[/mm]
> >
> > (so müsste sie doch lauten, oder ?)
> > nirgends vor.
>
> Noch genauer:
>
> [mm]\bruch{\overline{x}-\red{\mu_0}}{\sigma}\cdot{}\wurzel{n}>c_{1-\alpha}[/mm]
Klar. Ich habe nur die Formel mit dem [mm] \delta [/mm] kopiert
und vergessen, dieses durch [mm] \sigma [/mm] zu ersetzen.
> > Nach meiner Ansicht bedeutet es einen wesentlichen
> > Unterschied, ob die Hypothese [mm]H_1[/mm] lautet:
> >
> > [mm]\mu=\mu_1[/mm] (mit einem vorgegebenen Wert [mm]\mu_1[/mm] mit
> > [mm]\mu_1>\mu_0)[/mm]
> >
> > oder aber einfach:
> >
> > [mm]\mu>\mu_0[/mm]
> >
> > LG Al
>
>
> Das ist egal, weil man mit der Verteilung der Pruefgroesse
> arbeitet, die unter H[mm]_0[/mm] gilt.
>
> Wie unterscheiden sich denn deiner Meinung nach die
> Entscheidungsregeln des Tests von H[mm]_0:\mu=\mu_0[/mm] gegen
> H[mm]_1:\mu=\mu_1[/mm] ([mm]\mu_0<\mu_1[/mm]) von der der des Tests von
> H[mm]_0:\mu=\mu_0[/mm] gegen H[mm]_1:\mu>\mu_0[/mm]?
Eigentlich vergleicht man ja üblicherweise
etwa die Nullhypothese [mm] H_0: \mu\le \mu_0
[/mm]
(wobei man als "extremen Fall" [mm] H_0: \mu=\mu_0 [/mm] setzt)
mit der Alternative [mm] H_1: \mu>\mu_0 [/mm] .
Das sind wirklich im eigentlichen Sinn Alter-
nativen, denn genau eine von ihnen muss
zutreffen.
Hingegen sind [mm] H_0: \mu=\mu_0 [/mm] und [mm] H_1: \mu=\mu_1
[/mm]
gar nicht Alternativen, sondern nur zwei von
im Prinzip unendlich vielen Möglichkeiten.
Für den Fall, dass man sicher wäre, dass genau
eine der beiden Möglichkeiten
[mm] H_0: \mu=\mu_0 [/mm] oder [mm] H_1: \mu=\mu_1
[/mm]
vorliegen müsste, kann ich mir vorstellen, dass
die Entscheidungsregel dann ganz einfach so
lauten müsste:
Nimm [mm] H_0, [/mm] falls [mm] \bar{X}\le\bruch{\mu_0+\mu_1}{2} [/mm] (in dubio pro reo)
und [mm] H_1, [/mm] falls [mm] \bar{X}>\bruch{\mu_0+\mu_1}{2} [/mm] (immer [mm] \mu_0<\mu_1 [/mm] vorausgesetzt)
Allerdings wären dann eben die Wahrscheinlich-
keiten für Fehlentscheidungen groß, falls [mm] |\mu_1-\mu_0|
[/mm]
klein ist. Die entsprechenden Rechnungen habe
ich aber (wenigstens bisher) nicht durchgeführt.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Sa 27.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> > [mm]\text{Verwirf } H_0:\mu=\mu_0 \iff \bruch{\overline{x}-\red{\mu}}{\sigma}\wurzel{n}>c_{1-\alpha}\,.[/mm]
>
> Das sollte doch wohl [mm]\mu_0[/mm] sein, oder ?
> >
Ja.
vg Luis
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Vielen vielen lieben Dank!!! Habs verstanden, danke für die ausführliche Antwort!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Sa 27.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Vielen vielen lieben Dank!!! Habs verstanden, danke für die
> ausführliche Antwort!!!
Gerne.
vg Luis
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