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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:40 Sa 20.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
[mm] $\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}$ [/mm] linear unabhängig [mm] $\gdw$ $a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}=0$
[/mm]
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Vor.: [mm] $\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}$ [/mm] linear unabhängig
Bew.: [mm] $\Rightarrow$ $k_1*\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}+k_2*\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}=0\ \gdw\ k_1=k_2=0$
[/mm]
[mm] \begin{array}{r|rrrrl}
\Rightarrow\ 1&&k_1*a_{11}&+k_2*a_{12}&=&0\\
&\wedge &k_1*a_{21}&+k_2*a_{22}&=&0
\end{array} [/mm]
Zu zeigen: [mm] $a_{22}*a_{11}-a_{12}*a_{21}\not=0$
[/mm]
1. Fall: [mm] $a_{11}=a_{21}=0$
[/mm]
Dieser Fall ist nicht möglich, da dann auch [mm] $k_1\not=0$ [/mm] eine Lösung wäre.
2. Fall: [mm] $a_{11}\not=0,a_{21}\not=0$
[/mm]
Multipliziere erste Gleichung mit [mm] $a_{21}$, [/mm] zweite mit [mm] $a_{11}$:
[/mm]
[mm] \begin{array}{r|rrrrl}
\Rightarrow\ 2&&k_1*a_{11}*a_{21}&+k_2*a_{12}*a_{21}&=&0\\
&\wedge &k_1*a_{21}*a_{11}&+k_2*a_{22}*a_{11}&=&0
\end{array} [/mm]
Erste Gleichung minus zweite Gleichung:
[mm] \begin{array}{r|rrrrl}
\Rightarrow\ 3&&k_1*a_{11}&+k_2*a_{12}&=&0\\
&\wedge &&k_2*a_{22}*a_{11}-k_2*a_{12}*a_{21}&=&0
\end{array} [/mm]
[mm] \begin{array}{r|rrrrl}
\Rightarrow\ 4&&k_1*a_{11}&+k_2*a_{12}&=&0\\
&\wedge &&k_2*(a_{22}*a_{11}-a_{12}*a_{21})&=&0
\end{array} [/mm]
Angenommen [mm] $a_{22}*a_{11}-a_{12}*a_{21}=0$, [/mm] dann wäre auch [mm] $k_1=1$ [/mm] und [mm] $k_2=-\bruch{a_{12}}{a_{11}}$ [/mm] eine Lösung, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit.
[mm] $\Rightarrow\ a_{22}*a_{11}-a_{12}*a_{21}\not=0$
[/mm]
3. Fall: [mm] ($a_{11}=0$ [/mm] und [mm] $a_{21}\not=0$) [/mm] oder [mm] ($a_{11}\not=0$ [/mm] und [mm] $a_{21}=0$)
[/mm]
OBdA sei [mm] $a_{21}=0$ [/mm] und [mm] $a_{11}\not=0$ [/mm] (sonst vertausche einfach die Gleichungen und benenne die Variablen um)
[mm] \begin{array}{r|rrrrl}
\Rightarrow\ 2&&k_1*a_{11}&+k_2*a_{12}&=&0\\
&\wedge &&k_2*a_{22}&=&0
\end{array} [/mm]
Wie im 2. Fall folgt nun: Angenommen [mm] $a_{22}=0$, [/mm] dann wäre auch [mm] $k_1=1$ [/mm] und [mm] $k_2=-\bruch{a_{12}}{a_{11}}$ [/mm] eine Lösung, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit.
[mm] $\Rightarrow\ a_{22}\not=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ a_{22}*\underbrace{a_{11}}_{\not=0}\not=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ a_{22}*a_{11}-\underbrace{a_{12}*a_{21}}_{=0}\not=0$
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Vor.: [mm] $a_{22}*a_{11}-a_{12}*a_{21}\not=0$
[/mm]
Bew.: Wie oben betrachte ich die Vektorgleichung
[mm] $k_1*\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}+k_2*\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}=0$
[/mm]
[mm] \begin{array}{r|rrrrl}
\Rightarrow\ 1&&k_1*a_{11}&+k_2*a_{12}&=&0\\
&\wedge &k_1*a_{21}&+k_2*a_{22}&=&0
\end{array} [/mm]
und werde zeigen, dass unter der obigen Voraussetzung [mm] $k_1=k_2=0$ [/mm] folgt.
1. Fall: [mm] $a_{11}=a_{21}=0$
[/mm]
Offenbar nicht möglich, da sonst [mm] $a_{22}*a_{11}-a_{12}*a_{21}=0$
[/mm]
2. Fall: [mm] $a_{11}\not=0,a_{21}\not=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \ldots$ [/mm] (die Umformungen 2 und 3 wie oben)
[mm] \begin{array}{r|rrrrl}
\Rightarrow\ 4&&k_1*a_{11}&+k_2*a_{12}&=&0\\
&\wedge &&k_2*(a_{22}*a_{11}-a_{12}*a_{21})&=&0
\end{array} [/mm]
Dividiere durch [mm] $a_{22}*a_{11}-a_{12}*a_{21}\not=0$:
[/mm]
[mm] \begin{array}{r|rrrrl}
\Rightarrow\ 5&&k_1*a_{11}&+k_2*a_{12}&=&0\\
&\wedge &&k_2&=&0
\end{array} [/mm]
[mm] $\Rightarrow\ k_1=k_2=0$
[/mm]
3. Fall: [mm] ($a_{11}=0$ [/mm] und [mm] $a_{21}\not=0$) [/mm] oder [mm] ($a_{11}\not=0$ [/mm] und [mm] $a_{21}=0$)
[/mm]
OBdA sei [mm] $a_{21}=0$ [/mm] und [mm] $a_{11}\not=0$ [/mm] (sonst vertausche einfach die Gleichungen und benenne die Variablen um)
[mm] \begin{array}{r|rrrrl}
\Rightarrow\ 2&&k_1*a_{11}&+k_2*a_{12}&=&0\\
&\wedge &&k_2*a_{22}&=&0
\end{array} [/mm]
Wegen [mm] $a_{21}=0$ [/mm] wird folgt aus der Vor. [mm] $a_{22}*a_{11}-a_{12}*\underbrace{a_{21}}_{=0}\not=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ a_{22}*\underbrace{a_{11}}_{\not=0}\not=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ a_{22}\not=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ k_1=k_2=0$
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Bin gespannt, ob es nicht vielleicht auch noch einen kürzeren Beweis gibt?!
Viele Grüße,
Marc
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