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| Aufgabe 1 | Eine Münze mit dem Parameter p werde 6 mal geworfen. Geben Sie für
H : p [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm] gegen K: p < [mm] \bruch{1}{2}[/mm]
einen möglichst guten Test zum Niveau [mm] \alpha [/mm] = 0,01 an. Wie sieht der Test aus, wenn Sie H und K vertauschen? |
| Aufgabe 2 | | Wie viele Würfe mit einer Münze müssen durchgeführt werden, um bei einer relativen Häufigkeit von 0,55 für die Anzahl der Kopfwürfe in der Versuchsreihe die Hypothese, die Münze ist fair (also H : p = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]), auf dem Niveau [mm] \alpha [/mm] = 0,01 verwerfen zu können. |
| Aufgabe 3 | Die Sollstärke der Rohrwände bei der Röhrenproduktion in einer Fabrik beträgt My0 = 2,00 cm. Eine Stichprobe von 10 Rohren aus der Produktion einer Maschine liefert die
Messwerte
2,12 ; 2,05 ; 1,95 ; 1,96 ; 2,15 ; 2,10 ; 2,01 ; 2, 03 ; 2,17 ; 2,12:
Man nimmt an, dass die Rohrwandstärke einer N(my,sigma²)-Verteilung genügt.
(i) Schätzen Sie sigma² erwartungstreu.
(ii) Testen Sie zum Niveau [mm] \alpha [/mm] = 0,01, ob die Maschine neu justiert werden muss, wenn die Maschine eine Produktionsvarianz sigma² = 0,006 cm² aufweist. |
Hallo Leute ich habe mit den Aufgaben so mein Problem und bräuchte einige hilfreiche Tips von euch wie ich da ran gehen soll.
Also ich weiß dass man für einen Test eine Nullhypothese und eine Gegenhypothese braucht. Für die Nullhypothese macht man den Test, und kommt man auf einen Wert der nicht zur Nullhypothese passt, so ist die Gegenhypothese richtig. Um eine gewisse Fehlerquote zu haben nimmt man das Niveau. Was 1%, 5% oder 10% ist.
So und dann weiß ich noch, dass es folgende Tests gibt:
Parametrischer statistischer Test
und diesen
Neyman-Pearson-Test
Aber wie finde ich den richtigen Test zu Aufgabe 1? Was muss ich dafür machen? Und was ist K in dieser Aufgabe? Die Gegenhypothese?
Welchen Test brauche ich für Aufgabe 2... bzw wie kann ich da ran gehen?
Welche Verteilung ist in Aufgabe 3 gemeint und wie schätze ich sigma²?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Mary1986,
> Eine Münze mit dem Parameter p werde 6 mal geworfen. Geben
> Sie für
> H : p [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm] gegen K: p < [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> einen möglichst guten Test zum Niveau [mm]\alpha[/mm] = 0,01 an.
> Wie sieht der Test aus, wenn Sie H und K vertauschen?
> Wie viele Würfe mit einer Münze müssen durchgeführt
> werden, um bei einer relativen Häufigkeit von 0,55 für
> die Anzahl der Kopfwürfe in der Versuchsreihe die
> Hypothese, die Münze ist fair (also H : p = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]),
> auf dem Niveau [mm]\alpha[/mm] = 0,01 verwerfen zu können.
> Die Sollstärke der Rohrwände bei der Röhrenproduktion
> in einer Fabrik beträgt My0 = 2,00 cm. Eine Stichprobe von
> 10 Rohren aus der Produktion einer Maschine liefert die
> Messwerte
> 2,12 ; 2,05 ; 1,95 ; 1,96 ; 2,15 ; 2,10 ; 2,01 ; 2, 03 ;
> 2,17 ; 2,12:
> Man nimmt an, dass die Rohrwandstärke einer
> N(my,sigma²)-Verteilung genügt.
> (i) Schätzen Sie sigma² erwartungstreu.
> (ii) Testen Sie zum Niveau [mm]\alpha[/mm] = 0,01, ob die Maschine
> neu justiert werden muss, wenn die Maschine eine
> Produktionsvarianz sigma² = 0,006 cm² aufweist.
> Hallo Leute ich habe mit den Aufgaben so mein Problem und
> bräuchte einige hilfreiche Tips von euch wie ich da ran
> gehen soll.
> Also ich weiß dass man für einen Test eine Nullhypothese
> und eine Gegenhypothese braucht. Für die Nullhypothese
> macht man den Test, und kommt man auf einen Wert der nicht
> zur Nullhypothese passt, so ist die Gegenhypothese richtig.
Man sagt eher, die Nullhypothese kann abgelehnt (oder verworfen) werden. Dass die Gegenhyp. richtig ist "weiss" man ja nie wirklich, man könnte ja einen Fehler 1.Art begehen.
> Um eine gewisse Fehlerquote zu haben nimmt man das Niveau.
> Was 1%, 5% oder 10% ist.
Genauer: mit Niveau (meist mit [mm] \alpha [/mm] bezeichnet) wird die höchste tolerierte W'keit für einen Fehler 1.Art bezeichnet,dh. [mm] P(H_0 [/mm] trifft zu, wird aber [mm] abgeleht)\le\alpha
[/mm]
> So und dann weiß ich noch, dass es folgende Tests gibt:
> Parametrischer statistischer Test
> und diesen
> Neyman-Pearson-Test
Mit parametrischen Tests ist gemeint,dass ein bestimmter Parameter (bei 1) u 2) zB das p einer Binomialverteilung) getestet wird, ob er einen bestimmten Wert oder Menge von Werten annimmt. Es gibt auch (nicht-parametrische) Tests, die zB Testen, ob eine bestimmte Verteilung vorliegt, oder zwei Stichproben unabhängig sind.
Es gibt gute Tests und schlechte Tests, die NP Tests sind Test bestimmter Art (die,die man so aus der Schule kennt),die optimal sind. Genauer weiss ichs auch grad nicht.
>
> Aber wie finde ich den richtigen Test zu Aufgabe 1? Was
> muss ich dafür machen? Und was ist K in dieser Aufgabe?
> Die Gegenhypothese?
Sollte das nicht in deiner Vorlesung stehen?
Falls dir Begriffe unbekannt sind, solltest du sie nachlesen (Wikipedia hilft oft) zB: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Hypothesentest mit Beispiel.
Oder hier auf'm Forum gibts auch viele Threads zum Thema, falls du gerne stöberst, versuch mal die Suche nach "Test" Hypothese" oder Hypothesentest"
Hier ist mit K tatsächlich die Gegenhypoth. gemeint.
Du brauchst einen Binomialtest, ich führe mal kurz aus:
Fehler 1.Art soll kleinergleich 0,01 sein. Die Nullhypoth. wird abgelehnt, falls die Anzahl der auftretenden Wappen (Kopf ginge natürlich auch) gering ist, also für
X:Anzahl Wappen bei 6 Würfen, soll gelten:
[mm] P_{H_0}(X\le k)\le [/mm] 0,01
Der Index bedeutet: unter der Bedingung,dass [mm] H_0 [/mm] zutrifft, also für p=0,5
Du musst jetzt k so bestimmen (durch in einer W'keitstabelle nachkucken oder per Hand ausrechnen), dass der [mm] \alpha [/mm] Fehler möglichst Nahe bei 0.01 liegt (aber nicht überschritten wird).
Wenn du H und K vertauscht, wirst du [mm] H_0 [/mm] ablehnen, falls viele Wappen auftreten, dann muss du k so bestimmen, dass [mm] P_{H_0}(X\ge k)\le [/mm] 0,01
>
> Welchen Test brauche ich für Aufgabe 2... bzw wie kann ich
> da ran gehen?
Bei 2-seitigen Tests wird das Niveau normalerweise gleichmässsig auf beide Seiten des Ablehnugsbereichs aufgeteilt.
Getestet wird wieder der Parameter p einer Binomialverteilung. Bei X: Anzahl der Köpfe bei n Würfen, wirst du [mm] H_0 [/mm] ablehen, falls [mm] \bruch{X}{n}(\in [/mm] [0;1]) zu gross oder zu klein ist. Eine Beobachtung von 0.55 liegt im rechten Ablehnungsbereich, für dessen W'keit die Hälfte von 0.01 vorgesehen ist.
Also [mm] P_{H_0}(\bruch{X}{n}\ge0,55)\le0,005 [/mm] bzw. [mm] P_{H_0}(X\ge0,55n)\le0,005
[/mm]
und es gilt n zu bestimmen, wobei mir ehrlich gesagt grade nicht einfällt, wie man das gut machen kann, ausser auszuprobieren (nicht empfohlen) oder die Binomialverteilung durch die Normalverteilung zu approximieren. Da X binomialvert. ist, ist [mm] Z:=\bruch{X-\mu}{\sigma}=\bruch{X-n*p}{\wurzel{n*p(1-p)}} [/mm] annährend standardnormalverteilt,falls die Faustregel np(1-p)>9 erfüllt ist, was wir hier einfach mal annehmen.
Dann gilt [mm] P_{H_0}(X\ge0,55n)\approx P(\bruch{X-n*0,5}{\wurzel{n*0,5(1-0,5)}}\ge\bruch{0,55n-0,5n}{\wurzel{n*0,5*(1-0,5)}})=P(Z\ge 0,1\wurzel{n})\le0,005 [/mm] also [mm] \Phi(0,1\wurzel{n})\ge0,995, [/mm] wobei mit [mm] \Phi [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung gemeint ist.
Das liest du in einer Tabelle ab und rechnest auf n zurück, ich komme auf n=666 klingt nicht total unrealistisch.
>
> Welche Verteilung ist in Aufgabe 3 gemeint und wie schätze
> ich sigma²?
>
Hier ist die Normalverteilung mit Parametern Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] gemeint. (Wenn du das nicht kennst, musst du es unbedingt nachlesen!)
Einen erwartungstreuen Schätzer der Stichprobenvarianz gibts
(wie fast immer) in der Wikipedia, dort korrigierte Stichprobenvarianz genannt.
Den Test, den du bei (ii) brauchst, ist übrigens der Gauß-Test
Hoffe, das hilft schonmal. Wenn du noch fragen hast, poste nochmal.
LG Walde
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Hallo,
ich muss die Aufgaben auch bearbeiten.
Bei Aufgabe 1 hab ich dazu folgende Frage:
Ich habe mir die Wahrscheinlichkeiten für [mm] P_{H_0}(X\le k)\le [/mm] 0,01 berechnet.
Für k = 0 ist [mm] P_{H_0}(X\le [/mm] 0) = [mm] \bruch{1}{64}. [/mm]
Für k = 1 ist [mm] P_{H_0}(X\le [/mm] 1) = [mm] \bruch{6}{64}+\bruch{1}{64}=\bruch{7}{64}.
[/mm]
Allerdings ist ja [mm] \bruch{1}{64} \ge [/mm] 0,01.
Das hieße ja, ich nehme nie die Alternative K an, richtig?
Ich könnte allerdings den Test noch randomisieren, und dann mit [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{9}{25} [/mm] K annehmen.
Oder hab ich da irgendwo nen Fehler drin?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 So 24.01.2010 | | Autor: | Walde |
> Hallo,
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> ich muss die Aufgaben auch bearbeiten.
>
> Bei Aufgabe 1 hab ich dazu folgende Frage:
> Ich habe mir die Wahrscheinlichkeiten für [mm]P_{H_0}(X\le k)\le[/mm]
> 0,01 berechnet.
> Für k = 0 ist [mm]P_{H_0}(X\le[/mm] 0) = [mm]\bruch{1}{64}.[/mm]
> Für k = 1 ist [mm]P_{H_0}(X\le[/mm] 1) =
> [mm]\bruch{6}{64}+\bruch{1}{64}=\bruch{7}{64}.[/mm]
> Allerdings ist ja [mm]\bruch{1}{64} \ge[/mm] 0,01.
> Das hieße ja, ich nehme nie die Alternative K an,
> richtig?
Ich glaube, du hast recht. Soweit hatte ich nicht gerechnet. Man würde [mm] H_0 [/mm] nie verwerfen.
>
> Ich könnte allerdings den Test noch randomisieren, und
> dann mit [mm]\gamma[/mm] = [mm]\bruch{9}{25}[/mm] K annehmen.
>
> Oder hab ich da irgendwo nen Fehler drin?
>
Oh, da musste ich mal nachkucken, was ein randomisierte Test ist, da kenn ich mich nicht so aus. Aber müsste dann nicht [mm] \gamma=\bruch{16}{25} [/mm] sein.
Es wäre doch [mm] P_{p=0,5}(H_0 [/mm] wird [mm] abgelehnt)=P(X=0)*\gamma=0,01
[/mm]
also, [mm] \gamma=0,01*64=\bruch{64}{100}=\bruch{16}{25}
[/mm]
Aber ohne Gewähr.
Ich stell die Frage trotzdem mal auf beantwortet, ich hoffe luis passt etwas auf,dass ich nicht zuviel Schrott erzähle, der kennt sich bisschen besser aus, als ich 
LG Walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 So 24.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Mary,
es waere wohl besser, wenn du die Aufgaben hier getrennt zur Diskussion stellen wuerdest, denn so erhoehen sich deine Chancen, Antworten zu erhalten. Ich fuerchte ferner, dass du dich zunaechst ausfuehrlicher mit den theortetischen Hintergruenden vertraut machen musst...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 26.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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